6.3. Xác suất đầy đủ và công thức Bayes | Môn học: Toán chuyên đề

Định nghĩa: Nhóm các sự kiện $A_1, A_2, \cdots,A_n, (n\geq 2)$ của một phép thử được gọi là một nhóm đầy đủ nếu:

1. $A_i \cap A_j= \varnothing$  (xung khắc từng đôi),
2. $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n= \Omega$.

Ví dụ: Một tiểu đoàn có 3 đại đội cùng trồng một loại bí xanh. Chọn ngẫu nhiên một quả bí xanh và gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là sự kiện quả bí xanh được chọn do đại đội 1, đại đội 2 và đại đội 3 trồng. Khi đó hệ $\{A_1, A_2, A_3\}$ là đầy đủ.

Như vậy, xác suất $P(A_i)$ của một hệ đầy đủ $\{A_1, A_2, \cdots , A_n\}$ của không gian mẫu $\Omega$, và biết các xác suất có điều kiện $P(A|A_i)$, thì ta có: $$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A\cap A_i)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i).P(A|A_i)$$ được gọi là công thức xác suất đầy đủ, để tính xác suất của sự kiện $A$.

Ví dụ: Xét một lô giày chiến sĩ được sản xuất bởi 3 nhà máy với tỉ lệ lần lượt là 20%, 30% và 50%. Xác suất giày hỏng của các nhà máy lần lượt là 0,001; 0,005 và 0,006. Lấy ngẫu nhiên một chiếc giày từ lô hàng. Tìm xác suất để chiếc giày lấy ra bị hỏng.