8+ công thức tổ hợp và bài tập có lời giải chi tiết – ToanHoc.org
Ứng dụng nhiều trong thực tế nên tổ hợp được đưa vào toán 11 bậc trung học phổ thông. Thuộc chủ đề khó, dễ gây nhầm lẫn với hoán vị, chỉnh hợp nếu ban đầu học hời hợt. Nếu bạn đang gặp tình trạng như vậy thì bài viết này là tài liệu hữu ích giành cho bạn bởi các công thức tổ hợp và lý thuyết được hệ thống bài bản, chi tiết.
Để các em hiểu rõ hơn về tổ hợp chúng ta cùng tới phần lý thuyết cần nhớ của bài biết này nhé
1. Tổ hợp là gì?
Tổ hợp là cách chọn bất kì một nhóm a từ nhóm A. Như vậy a là con của A ( hay a ⊂ A)
Chú ý: Gọi n là số phần tử phân biệt của nhóm mẹ A thì n ≥ 1.
2. Công thức tổ hợp
Cách chọn bất kì nhóm con có k (1≤ k ≤ n) phần tử từ nhóm mẹ A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
- Kí hiệu: $C_n^k$
- Công thức:
Quy ước: $C_n^0 = 1$
Những tính chất quan trọng:
3. Bài tập tổ hợp có lời giải chi tiết
Bài tập 1. (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm có 10 học sinh
A. ${2^{10}}$
B. ${10^2}$
C. $A_{10}^2$
D. $C_{10}^2$
Hướng dẫn giải
Chọn 2 học sinh bất kỳ trong số 10 học sinh, số cách chọn bằng số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử: $C_{10}^2$
Chọn đáp án D.
Bài tập 2. Một đa giác lồi có n đỉnh ( với n > 3). Hỏi số Δ có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác lồi trên
A. n!
B. $\frac{{C_n^3}}{{3!}}$
C. $C_n^3$
D. $A_n^3$
Hướng dẫn giải
số Δ có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác lồi trên là số tổ hợp chập 3 của n phần tử. Khi đó số tam giác lập được sẽ là tổ hợp $C_n^3$
Chọn đáp án C.
Bài tập 3. Trên đường thẳng d$_1$ cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d$_2$ song song với đường thẳng d$_1$ cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ (n + 5) điểm trên. Giá trị của n là
A. n = 8.
B. n =10 .
C. n = 9 .
D. n = 7 .
Hướng dẫn giải
Để tạo thành một tam giác cần 3 điểm phân biệt
Chọn đáp án D.
Bài tập 4. Trong hộp đựng bi có 4 viên màu xanh; 3 viên màu đỏ và 2 viên màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên từ hộp đựng. Theo bạn có bao nhiêu cách chọn sao cho mỗi lần chọn đều có tối thiểu 1 viên xanh, 1 viên đỏ và 1 viên vàng.
A. 521.
B. 16.
C. 220.
D. 98.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi: $C_9^5$ cách
Số cách chọn 5 viên bi chỉ có 2 màu: $C_7^5 + C_6^5 + C_5^5$
Vậy số cách chọn 5 viên bi có cả 3 màu là $C_9^5 – \left( {C_7^5 + C_6^5 + C_5^5} \right) = 98$
Chọn đáp án D.
Bài tập 5. Trong một nhóm học sinh hỏi làm sao để chọn được 5 học sinh sao cho trong 5 học sinh đó sẽ có 1 tổ phó, 1 tổ trưởng và 3 học sinh có vai trò như nhau?
A. 45214.
B. 954215.
C. 310080.
D. 15246.
Hướng dẫn giải
Theo đề sẽ có 20 cách để chọn được ra 1 tổ trưởng từ 20 người trên.
Sau khi đã có được 1 tổ trưởng thì sẽ có 19 cách để chọn ra được 1 tổ phó từ 19 người còn lại
3 Thành viên còn lại sẽ có số cách là $C_18^3$
Vậy kết quả cần tìm là $20.19.C_{18}^3 = 310080$
Chọn đáp án C.
Bài tập 6. Một mắc áo có 6 chiếc áo màu xanh, 5 chiếc áo màu đỏ và 4 chiếc áo màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 chiếc áo sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là
A. 6254.
B. 5427.
C. 1452.
D. 2170.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn 5 chiếc áo bất kì trong mắc là $C_{15}^5$ cách. Khi chọn bất kì thì bao gồm các trường hợp sau
Suy ra số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán (có đủ ba màu) là
- $a = C_{15}^5 – C_6^5 + C_5^5$
- ${b = C_{11}^5 – C_6^5 – C_5^5}$
- ${c = C_9^5 – C_5^5}$
- ${d = C_{10}^5 – C_6^5}$
Khi đó: $a – \left[ {b + c + d} \right] = 2170$
Chọn đáp án D.
Nội dung về tổ hợp tạm dừng tại đây. Mọi góp ý hay để lại dưới phần bình luận và đừng quên quay lại toanhoc.org để đón xem những chủ đề hay tiếp theo nhé.