[CHUẨN NHẤT] Lý thuyết và Bài tập Công thức nguyên hàm chi tiết nhất – Top Đề Thi

Công thức nguyên hàm cho các hàm cơ bản và đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán lớp 12, vì nội dung về nguyên hàm thường gặp trong các đề thi học kì, để kiểm tra và đề thi THPTQG.

Bài viết này Top đề thi chia sẻ đến các bạn học sinh hệ thống công thức nguyên hàm sơ cấp thông dụng, nguyên hàm của hàm hợp, hàm mở rộng,… giúp các em tiện theo dõi và ghi nhớ.

Định nghĩa về nguyên hàm

Một nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một F có đạo hàm bằng f, nghĩa là, $F’=f$. Cụ thể:

Cho hàm số f xác định trên K. Nguyên hàm của hàm số f trên K tồn tại khi $F(x)$ tồn tại trên K và $F’(x)=f(x)$ (x thuộc K).

Ta có thể xét ví dụ sau để hiểu hơn về định nghĩa nguyên hàm:

Hàm số $f(x)=cosx$ có nguyên hàm là $F(x)=sinx$ vì $(sinx)’=cosx$ (tức $F’(x)=f(x)$).

Tính chất của nguyên hàm

Xét hai hàm số liên tục g và f trên K:

$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$\int kf(x)dx=k\int f(x)$ (với mọi số thực k khác 0)

Ta cùng xét ví dụ dưới đây minh họa cho tính chất của nguyên hàm:

$\int sin^{2}xdx=\int\dfrac{1-cos2x}{2}dx=\dfrac{1}{2}\int dx-\dfrac{1}{2}\int cos2xdx=\dfrac{x}{2}-\dfrac{sin2x}{4}+C$

Các phương pháp tìm nguyên hàm

– Phương pháp tìm nguyên hàm bằng cách phân tích

+ Trường hợp f(x) là một hàm đa thức

+ Trường hợp f(x) là phân thức hữu tỷ: f(x) = P(x)/Q(x)

Nếu bậc của P(x) cao hơn hoặc bằng bậc của Q(x), thì bằng phép chia đa thức ta lấy P(x) chia cho Q(x) được một đa thức A(x) và một số dư R(x) mà bậc của R(x) thấp

hơn bậc của Q(x). Như vậy tích phân của A(x) ta tính được ngay (như đã trình bày ở trên). Do vậy ta chỉ nghiên cứu cách tìm nguyên hàm của f(x) trong trường hợp bậc tử thấp hơn bậc của mẫu, nghĩa là f(x) có dạng: f(x) = R(x).

– Nguyên hàm các hàm số lượng giác

Để xác định nguyên hàm các hàm số lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:

+ Sử dụng dạng nguyên hàm cơ bản

+ Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản

+ Phương pháp đổi biến

+ Phương pháp tích phân từng phần

Tổng hợp đầy đủ các công thức nguyên hàm dành cho học sinh lớp 12

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác

Các phương pháp tính nguyên hàm nhanh nhất và bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Công thức nguyên hàm từng phần

Để giải các bài tập áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, trước tiên học sinh cần nắm được định lý sau:

$\int u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)-\int u(x).u'(x)dx$

Hay $\int udv=uv-\int vdu$

Với $du=u'(x)dx, dv=v'(x)dx)$

Ta cùng xét 4 trường hợp xét nguyên hàm từng phần (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)

Ví dụ minh họa: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $\int xsinxdx$

Giải:

Phương pháp tính nguyên hàm hàm số lượng giác

Dạng 1: $I=\int \dfrac{dx}{sin(x+a)sin(x+b)}$

• Phương pháp tính:

Dùng đồng nhất thức:

$I=\int \dfrac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\dfrac{sin[(x+a)-(x+b)]}{sin(a-b)}=\dfrac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}$

Từ đó suy ra:

$I=\dfrac{1}{sin(a-b)}\int \dfrac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx$

$=\dfrac{1}{sin(a-b)}\int [\dfrac{cos(x+b)}{sin(x+b)}]-\dfrac{cos(x+a)}{sin(x+a)}]dx$

$=\dfrac{1}{sin(a-b)}[lnsin(x+b)-lnsin(x+a)]+C$

• Ví dụ áp dụng:

Tìm nguyên hàm sau đây: $I=\int \dfrac{dx}{sinxsin(x+\dfrac{\pi}{6})}$

Giải:

Dạng 2: $I=\int tan(x+a)tan(x+b)dx$

• Phương pháp tính:

  

• Ví dụ áp dụng: Tìm nguyên hàm sau đây: $K=\int tan(x+\dfrac{\pi}{3}cot(x+\dfrac{\pi}{6})dx$

Giải:

Dạng 3: $I=\int \dfrac{dx}{asinx+bcosx}$

• 

  Phương pháp tính:

• 

  Ví dụ minh họa: Tìm nguyên hàm I=$\int \dfrac{2dx}{\sqrt{3}sinx+cosx}$

Dạng 4: $I=\int \dfrac{dx}{asinx+bcosx+c}$

• Phương pháp tính:

• 

  Ví dụ áp dụng: Tìm nguyên hàm sau đây: $I=\int \dfrac{dx}{3cosx+5sinx+3}$

Cách tính nguyên hàm của hàm số mũ

Để áp dụng giải các bài tập tìm nguyên hàm của hàm số mũ, học sinh cần nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số mũ cơ bản sau đây:

Sau đây là ví dụ minh họa phương pháp tìm nguyên hàm hàm số mũ:

Xét hàm số sau đây: y=$5.7^{x}+x^{2}$

 

Giải:

Ta có nguyên hàm của hàm số đề bài là: 

Chọn đáp án A

Phương pháp nguyên hàm đặt ẩn phụ (đổi biến số)

Phương pháp đổi biến số có hai dạng dựa trên định lý sau đây:

• Nếu $\int f(x)dx=F(x)+C$ và $u=\varphi (x)$ là hàm số có đạo hàm thì $\int f(u)du=F(u) + C$

• Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt $x=\varphi(t)$ trong đó $\varphi(t)$ cùng với đạo hàm của nó $\varphi'(t)$ là những hàm số liên tục, ta sẽ được: $\int f(x)=\int f(\varphi(t)).\varphi'(t)dt$

Từ phương pháp chung, ta có thể phân ra làm hai bài toán về phương pháp nguyên hàm đặt ẩn phụ như sau:

Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm $I=f(x)dx$

Phương pháp:

• Bước 1: Chọn $x=\varphi(t)$, trong đó $\varphi(t)$ là hàm số mà ta chọn cho thích hợp

• Bước 2: Lấy vi phân 2 vế, $dx=\varphi'(t)dt$

• Bước 3: Biển thị $f(x)dx$ theo t và dt: $f(x)dx=f(\varphi (t)).\varphi’ (t)dt=g(t)dt$

• Bước 4: Khi đó $I=\int g(t)dt=G(t)+C$

Ví dụ minh họa:

Tìm nguyên hàm của $I=\int \dfrac{dx}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}}$

Giải:

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tìm nguyên hàm $I=\int f(x)dx$

Phương pháp:

• Bước 1: Chọn $t=\psi (x)$ trong đó $\psi (x)$ là hàm số mà ta chọn cho thích hợp

• Bước 2: Tính vi phân 2 vế: $dt=\psi ‘(x)dx$

• Bước 3: Biểu thị $f(x)dx$ theo t và dt: $f(x)dx=f[\psi (x)].\psi'(x)dt=g(t)dt$

• Bước 4: Khi đó$ I=\int g(t)dt=G(t)+C$

Ví dụ minh họa:

Tìm nguyên hàm $I=\int x^{3}(2-3x^{2})^{8}dx$

Giải:

Trên đây là tất cả các kiến ​​thức cơ bản và đầy đủ các công thức của thức nguyên hàm. Hi vọng sau khi đọc xong bài viết này, các em sẽ vận dụng được các công thức để giải các bài toán nguyên hàm, từ cơ bản đến nâng cao. Chúc các em thành công.