Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian – ToanHoc.org

Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng trong không gian

Phương pháp tọa độ trong không gian là một trong những cách giải hiệu quả để tìm góc giữa 2 đường thẳng . Dạng toán này chỉ yêu cầu bạn xác định được chính xác tọa độ của vecto chỉ phương, nhớ chính xác được công thức góc.

1. Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Giả sử có hai phương trình đường thẳng trong không gian có dạng tổng quát là Δ1: ax + by + cz + d = 0 và Δ2: Ax + By + Cz + D = 0. Vậy là

• Từ phương trình của Δ1 ta suy ra vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} $ = (a; b; c)
• Từ phương trình của Δ2 ta suy ra vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} $ = (A; B; C)

Dựa vào 2 vecto chỉ phương vừa tìm được, co có thể tìm được góc giữa hai đường thẳng dựa vào công thưc tổng quát:

cosφ = cos(Δ1; Δ2) ${ = \cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \overrightarrow {{u_2}} } \right|}}}$

${ = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}}$ (1)

Trường hợp đặc biệt:

• Góc được xác định theo (1) có giá trị: 00 ≤ φ ≤ 900
• Khi hai đường thẳng Δ1 ⊥ Δ2 <=>aA + bB + cC = 0

2. Bài tập có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng d: $\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y – 6}}{5} = \frac{{z – 2}}{2}$ với trục Ox

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường thẳng ta suy ra:

• Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_\Delta }} $ = (3; 5; 2)
• Trục tọa độ Ox có vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_{Ox}}} $ = (1; 0; 0)

Khi đã biết được vecto chỉ phương của d và Ox, ta áp dụng công thức tìm góc giữa hai đường thẳng trong không gian:

cosφ = $ \frac{{\left| {3.1 + 5.0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{3\sqrt {38} }}{{38}}$

=> φ = 1,06 (rad)

Kết luận: Góc tạo bởi 2 đường thẳng là φ = 1,06 (rad)

Bài tập 2. Phương trình của hai đường thẳng có dạng Δ1: $\frac{{x + 8}}{2} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và  Δ2: $\left\{ \begin{array}{l} z = 2 – 3t\\ y = 1 + 2t\\ x = 1 + mt \end{array} \right.$ Hãy tìm giá trị m để Δ1 ⊥ Δ2.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường thẳng:

• Đường thẳng Δ1 có vecto chỉ phương: $\overrightarrow {{u_{\Delta 1}}} $ = (2; 2; 1)
• Đường thẳng Δ2 có vecto chỉ phương: $\overrightarrow {{u_{\Delta 2}}} $ = ( m; 2; 3)

Theo đề, khi Δ1 ⊥ Δ2 nghĩa là góc giữa 2 đường thẳng trong không gian φ = 900 => cosφ = 0 (2)

Từ phương trình (1) và (2): $0 = \frac{{\left| {2.m + 2.2 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{m^2} + {2^2} + {3^2}} }} \Rightarrow m = – 3,5$

Kết luận: Để hai đường thẳng trên vuông góc với nhau thì m = – 3,5

Nếu còn thắc mắc các bạn cứ để lại câu hỏi bên dưới để toanhoc.org giải đáp!