Công thức Bernoulli được sử dụng khi nào? Đặc điểm số của một biến ngẫu nhiên có phân phối theo luật nhị thức

1. Bogolyubov A.N. Toán học. Cơ học: một hướng dẫn tiểu sử. – Kyiv: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Phân tích, đánh giá mức độ ưu tiên các phần của các ngành toán học của sinh viên các chuyên ngành kinh tế của các trường đại học nông nghiệp // Bản tin APK của Stavropol. – 2013. – Số 1 (9). – Tr 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Triển vọng của việc sử dụng các phương pháp toán học trong nghiên cứu kinh tế // Khoa học nông nghiệp, sáng tạo, tăng trưởng. – 2013. – S. 255-257.

Trong toán học, khá thường xuyên có những bài toán trong đó có một số lượng lớn sự lặp lại của cùng một điều kiện, bài kiểm tra hoặc thí nghiệm. Kết quả của mỗi lần kiểm tra sẽ được coi là một kết quả hoàn toàn khác với lần trước. Sự phụ thuộc vào kết quả cũng sẽ không được quan sát. Theo kết quả thử nghiệm, có thể phân biệt một số khả năng xảy ra các hệ quả cơ bản: sự xuất hiện của một sự kiện (A) hoặc sự xuất hiện của một sự kiện bổ sung cho A.

Sau đó, hãy thử giả sử rằng xác suất xuất hiện của sự kiện Р (А) là thường xuyên và bằng р (0<р<1).

Ví dụ về một thử thách như vậy có thể là một số lượng lớn các nhiệm vụ, chẳng hạn như tung đồng xu, lấy quả bóng đen và trắng từ một chiếc túi tối hoặc sinh ra những con thỏ đen và trắng.

Một thử nghiệm như vậy được gọi là một cấu hình thử nghiệm độc lập lặp lại hoặc một lược đồ Bernoulli.

Jacob Bernoulli sinh ra trong một gia đình làm nghề dược. Người cha đã cố gắng hướng dẫn con trai mình theo con đường y học, nhưng J. Bernoulli lại tự mình hứng thú với toán học, và sau này nó trở thành nghề nghiệp của ông. Anh sở hữu nhiều danh hiệu khác nhau trong các công trình về chủ đề lý thuyết xác suất và số, chuỗi và phép tính vi phân. Sau khi nghiên cứu lý thuyết xác suất từ ​​một trong những công trình của Huygens “Về các phép tính trong cờ bạc”, Jacob bắt đầu quan tâm đến điều này. Trong cuốn sách này, thậm chí không có định nghĩa rõ ràng về khái niệm “xác suất”. Chính J. Bernoulli là người đã đưa hầu hết các khái niệm hiện đại của lý thuyết xác suất vào toán học. Bernoulli cũng là người đầu tiên phát biểu phiên bản của mình về quy luật số lớn. Tên của Jacob được mang theo bởi nhiều công trình, định lý và lược đồ khác nhau: “Số Bernoulli”, “Đa thức Bernoulli”, “Phương trình vi phân Bernoulli”, “Phân phối Bernoulli” và “Phương trình Bernoulli”.

Hãy quay lại với sự lặp lại. Như đã đề cập ở trên, do kết quả của các thử nghiệm khác nhau, có thể có hai kết quả: hoặc sự kiện A sẽ xuất hiện, hoặc sự kiện ngược lại với sự kiện này. Bản thân lược đồ Bernoulli biểu thị việc tạo ra số thứ n các thí nghiệm miễn phí điển hình và trong mỗi thí nghiệm này, sự kiện A mà chúng ta cần có thể xuất hiện (xác suất của sự kiện này đã biết: P (A) \ u003d p), xác suất của sự kiện ngược lại với sự kiện A được biểu thị bằng q \ u003d P (A) = 1-p. Yêu cầu xác định xác suất để khi kiểm tra một ẩn số thì biến cố A xảy ra đúng k lần.

Điều quan trọng cần nhớ là điều kiện chính khi giải các bài toán bằng lược đồ Bernoulli là hằng số. Không có nó, kế hoạch mất tất cả ý nghĩa.

Lược đồ này có thể được sử dụng để giải các bài toán có nhiều mức độ phức tạp khác nhau: từ đơn giản (cùng một loại tiền) đến phức tạp (lãi suất). Tuy nhiên, sơ đồ Bernoulli thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến việc kiểm soát các thuộc tính của các sản phẩm khác nhau và sự tin tưởng vào nhiều cơ chế khác nhau. Chỉ để giải quyết vấn đề, trước khi bắt đầu công việc, tất cả các điều kiện và giá trị \ u200b \ u200b phải được biết trước.

Không phải tất cả các vấn đề trong lý thuyết xác suất đều giảm thành hằng số trong các điều kiện. Ngay cả khi chúng ta lấy các quả bóng đen và trắng trong một chiếc túi tối làm ví dụ: khi một quả bóng được rút ra, tỷ lệ số lượng và màu sắc của các quả bóng trong túi đã thay đổi, có nghĩa là xác suất chính nó đã thay đổi.

Tuy nhiên, nếu các điều kiện của chúng ta không đổi, thì chúng ta có thể xác định chính xác xác suất yêu cầu từ chúng ta rằng sự kiện A sẽ xảy ra đúng k lần trong số n có thể.

Thực tế này đã được Jacob Bernoulli biên soạn thành một định lý, mà sau này được biết đến với tên của ông. “Định lý Bernoulli” là một trong những định lý chính trong lý thuyết xác suất. Nó được xuất bản lần đầu tiên trong tác phẩm của J. Bernoulli “Nghệ thuật của những giả định”. Định lý này là gì? “Nếu xác suất p để xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử là không đổi, thì xác suất Pk, n để biến cố xảy ra k lần trong n lần thử độc lập với nhau bằng :, trong đó q = 1-p . ”

Trong phần chứng minh tính hiệu quả của công thức, các nhiệm vụ có thể được đưa ra.

Nhiệm vụ 1:

Hết n lọ thủy tinh mỗi tháng bảo quản, k bị vỡ. Lấy ngẫu nhiên m lon. Tìm xác suất để trong số các lọ này có l không bị vỡ. n = 250, k = 10, m = 8, l = 4.

Giải pháp: Chúng tôi có một lược đồ Bernoulli với các giá trị:

p = 10/250 = 0,04 (xác suất ngân hàng bị vỡ);

n = 8 (số lần thử nghiệm);

k = 8-4 = 4 (số lọ bị vỡ).

Chúng tôi sử dụng công thức Bernoulli

Lấy:

Trả lời: 0,0141

Nhiệm vụ 2:

Xác suất để trong quá trình sản xuất có một sản phẩm bị lỗi là 0,2. Tìm xác suất để trong số 10 sản phẩm được sản xuất tại cơ sở sản xuất này, có đúng k phải ở tình trạng tốt. Chạy giải cho k = 0, 1, 10.

Chúng ta quan tâm đến sự kiện A – sản xuất các bộ phận có thể sử dụng được, xảy ra mỗi giờ một lần với xác suất p = 1-0,2 = 0,8. Chúng ta cần tìm xác suất để biến cố đã cho xảy ra k lần. Sự kiện A đối lập với sự kiện “không phải A”, tức là sản xuất một sản phẩm bị lỗi.

Do đó, ta có: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Kết quả là ta tìm được xác suất để trong 10 sản phẩm sản xuất ra thì có tất cả các sản phẩm đều bị lỗi (k = 0), có một sản phẩm ở tình trạng tốt (k = 1), không có sản phẩm nào bị lỗi (k = 10) :

Kết lại, tôi muốn lưu ý rằng trong thời hiện đại, nhiều nhà khoa học đang cố gắng chứng minh rằng “công thức Bernoulli” không tuân thủ các quy luật tự nhiên và rằng các vấn đề có thể được giải quyết mà không cần áp dụng nó vào sử dụng. Tất nhiên, điều này là có thể, hầu hết các vấn đề trong lý thuyết xác suất có thể được thực hiện mà không cần công thức Bernoulli, điều chính là không để bị nhầm lẫn trong một khối lượng lớn các con số.

Liên kết thư mục

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. CÔNG THỨC CỦA BERNULLI TRONG LÝ THUYẾT KHẢ NĂNG TĂNG CƯỜNG // Bản tin Khoa học Sinh viên Quốc tế. – 2015. – Số 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (ngày truy cập: 03/12/2019). Chúng tôi mang đến cho bạn sự chú ý của các tạp chí do nhà xuất bản “Học viện Lịch sử Tự nhiên” xuất bản

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. CÔNG THỨC CỦA BERNULLI TRONG LÝ THUYẾT KHẢ NĂNG TĂNG CƯỜNG // Bản tin Khoa học Sinh viên Quốc tế. – 2015. – Số 3-4 .;URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (ngày truy cập: 03/12/2019). Chúng tôi mang đến cho bạn sự chú ý của các tạp chí do nhà xuất bản “Học viện Lịch sử Tự nhiên” xuất bản

Lý thuyết ngắn gọn

Lý thuyết xác suất đề cập đến các thí nghiệm có thể được lặp lại (ít nhất là trên lý thuyết) không giới hạn số lần. Hãy để một số thử nghiệm được lặp lại một lần và kết quả của mỗi lần lặp lại không phụ thuộc vào kết quả của các lần lặp lại trước đó. Các chuỗi lặp lại như vậy được gọi là các thử nghiệm độc lập. Một trường hợp đặc biệt của các bài kiểm tra như vậy là các thử nghiệm Bernoulli độc lập, được đặc trưng bởi hai điều kiện:

1) kết quả của mỗi thử nghiệm là một trong hai kết quả có thể xảy ra, được gọi tương ứng là “thành công” hoặc “thất bại”.

2) xác suất “thành công” trong mỗi thử nghiệm tiếp theo không phụ thuộc vào kết quả của các thử nghiệm trước đó và không đổi.

Định lý Bernoulli

Nếu một loạt các thử nghiệm Bernoulli độc lập được thực hiện, trong mỗi thử nghiệm “thành công” xảy ra với xác suất, thì xác suất “thành công” trong các thử nghiệm xảy ra đúng một lần được biểu thị bằng công thức:

xác suất thất bại ở đâu.

– số lượng kết hợp của các phần tử bằng (xem các công thức cơ bản của tổ hợp)

Công thức này được gọi là Công thức Bernoulli.

Công thức Bernoulli cho phép bạn loại bỏ một số lượng lớn các phép tính – cộng và nhân các xác suất – với số lượng thử nghiệm đủ lớn.

Sơ đồ kiểm tra Bernoulli còn được gọi là sơ đồ nhị thức, và các xác suất tương ứng được gọi là nhị thức, được liên kết với việc sử dụng các hệ số nhị thức.

Đặc biệt, phân phối theo lược đồ Bernoulli cho phép tìm ra số lần xuất hiện một sự kiện có thể xảy ra nhất.

Nếu số lần thử N tuyệt vời, sau đó tận hưởng:

Ví dụ về giải pháp vấn đề

Nhiệm vụ

Tỷ lệ nảy mầm của hạt của một loại cây nào đó là 70%. Xác suất để trong 10 hạt được gieo: 8, ít nhất 8 hạt; ít nhất 8?

Giải pháp của vấn đề

Hãy sử dụng công thức Bernoulli:

Trong trường hợp của chúng ta

Hãy để sự kiện – cứ 10 hạt thì 8 hạt nảy mầm:

Hãy để sự kiện – tăng ít nhất 8 (nghĩa là 8, 9 hoặc 10)

Hãy để sự kiện tăng ít nhất 8 (nghĩa là 8,9 hoặc 10)

Trả lời

Trung bình chi phí giải quyết công việc kiểm soát là 700 – 1200 rúp (nhưng không dưới 300 rúp cho toàn bộ đơn hàng). Giá cả bị ảnh hưởng mạnh bởi tính khẩn cấp của quyết định (từ vài ngày đến vài giờ). Chi phí trợ giúp trực tuyến trong bài kiểm tra / bài kiểm tra – từ 1000 rúp. cho các giải pháp vé.

Ứng dụng có thể được để trực tiếp trong cuộc trò chuyện, trước đó đã loại bỏ điều kiện của nhiệm vụ và thông báo cho bạn về thời hạn giải quyết nó. Thời gian trả lời là vài phút.

Các thử nghiệm độc lập lặp đi lặp lại được gọi là thử nghiệm Bernoulli nếu mỗi thử nghiệm chỉ có hai kết quả có thể xảy ra và xác suất của các kết quả không đổi đối với tất cả các thử nghiệm.

Thông thường hai kết quả này được gọi là “thành công” (S) hoặc “thất bại” (F) và các xác suất tương ứng được ký hiệu là P và q. Rõ ràng là P
0, q³ 0 và P+q=1.

Không gian biến cố sơ cấp của mỗi phép thử gồm hai biến cố Y và H.

Không gian của các sự kiện sơ cấp N Thử nghiệm Bernoulli Ω
chứa 2 N sự kiện cơ bản, là chuỗi (chuỗi) của N ký hiệu Y và H. Mỗi sự kiện cơ bản là một trong những kết quả có thể xảy ra của chuỗi N Thử nghiệm Bernoulli. Vì các phép thử là độc lập, do đó, theo định lý nhân, các xác suất được nhân lên, nghĩa là, xác suất của bất kỳ dãy cụ thể nào là sản phẩm thu được bằng cách thay các ký hiệu U và H bằng P và q tương ứng, đó là, ví dụ: R(
) = (U U N U N … N U) = p p q p q … q q p .

Lưu ý rằng kết quả của phép thử Bernoulli thường được biểu thị bằng 1 và 0, sau đó là sự kiện cơ bản trong chuỗi N Kiểm tra Bernoulli – có một chuỗi bao gồm các số không và một. Ví dụ:  = (1, 0, 0, …, 1, 1, 0).

Thử nghiệm Bernoulli là sơ đồ quan trọng nhất được xem xét trong lý thuyết xác suất. Đề án này được đặt theo tên của nhà toán học Thụy Sĩ J. Bernoulli (1654-1705), người đã nghiên cứu sâu về mô hình này trong các công trình của mình.

Vấn đề chính mà chúng ta sẽ quan tâm ở đây là: xác suất của sự kiện trong N Thử nghiệm Bernoulli đã xảy ra m sự thành công?

Nếu các điều kiện này được đáp ứng, xác suất mà trong các thử nghiệm độc lập, một sự kiện sẽ được quan sát chính xác m
thời gian (bất kể thí nghiệm nào), được xác định bởi Công thức Bernoulli:

(21.1)

ở đâu – xác suất xảy ra trong mọi bài kiểm tra, và
là xác suất mà trong một trải nghiệm nhất định, một sự kiện Đã không xảy ra.

Nếu chúng ta xem xét P N (m) như một chức năng m, sau đó nó xác định một phân phối xác suất, được gọi là nhị thức. Hãy cùng khám phá mối quan hệ này P N (m) từ m,
0£ m£ N.

Sự kiện B m ( m
= 0, 1, …, N) bao gồm một số lần xuất hiện khác nhau của sự kiện NHƯNG trong N kiểm tra, không tương thích và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Vì thế,
.

Hãy xem xét tỷ lệ:

=
=
=
.

Do đó nó theo sau đó P N (m + 1)>P N (m), nếu (N–
m) p>
(m + 1) q, I E. hàm số P N (m) tăng nếu m<
np–
q. Tương tự như vậy, P N (m + 1)<
P N (m), nếu (N–
m) p<
(m + 1) q, I E. P N (m) giảm nếu m>
np–
q.

Do đó có một số m 0, tại đó P N (m)đạt giá trị cao nhất của nó. Hãy tìm m 0
.

Theo ý nghĩa của con số m 0 chúng tôi có P N (m 0)³ P N (m 0
-1) và P N (m 0)
³ P N (m 0
+1), do đó

,
(21.2)

.
(21.3)

Giải các bất đẳng thức (21.2) và (21.3) đối với m 0, chúng tôi nhận được:

P/
m 0

³

q/(N–
m 0
+1)
Þ

m 0

£
np+
P,

q/(N–
m 0
)
³

P/(m 0
+1)
Þ

m 0

³
np–
q.

Vì vậy, con số mong muốn m 0 thỏa mãn các bất đẳng thức

np–
q£ m 0

£ np + p.
(21.4)

Như P+q= 1 thì độ dài của khoảng xác định bởi bất đẳng thức (21.4) bằng một và có ít nhất một số nguyên m 0 thỏa mãn các bất đẳng thức (21.4):

1) nếu np
– q là một số nguyên, sau đó có hai giá trị m 0, cụ thể là: m 0
= np
– q và m 0
= np
– q
+ 1 = np
+ P;

2) nếu np
– q– phân số, sau đó có một số m 0, cụ thể là số nguyên duy nhất giữa các số phân số thu được từ bất đẳng thức (21.4);

3) nếu np là một số nguyên, sau đó có một số m 0, cụ thể là m 0
= np.

Con số m 0 được gọi là giá trị (số) có khả năng xảy ra cao nhất hoặc có thể xảy ra nhất của sự kiện Một trong một loạt N các bài kiểm tra độc lập.

Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm xác suất của một sự kiện xảy ra trong các thử nghiệm độc lập khi các thử nghiệm được lặp lại. . Các thử nghiệm được gọi là độc lập nếu xác suất của một hoặc kết quả khác của mỗi thử nghiệm không phụ thuộc vào kết quả của các thử nghiệm khác.
. Các thử nghiệm độc lập có thể được thực hiện trong cùng một điều kiện và các điều kiện khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, xác suất của một sự kiện xảy ra trong tất cả các thử nghiệm là như nhau; trong trường hợp thứ hai, nó thay đổi theo từng phiên tòa.

Ví dụ về các thử nghiệm độc lập
:

• một trong các nút thiết bị hoặc hai hoặc ba nút sẽ bị lỗi, và lỗi của mỗi nút không phụ thuộc vào nút kia và xác suất thất bại của một nút là không đổi trong tất cả các thử nghiệm;
• một bộ phận được sản xuất trong những điều kiện công nghệ không đổi nhất định, hoặc ba, bốn, năm bộ phận, sẽ trở thành không đạt tiêu chuẩn và một bộ phận có thể trở thành không đạt tiêu chuẩn bất kể bộ phận nào khác và xác suất bộ phận đó sẽ hóa ra phi tiêu chuẩn là không đổi trong tất cả các thử nghiệm;
• trong số một số phát bắn trúng mục tiêu, một, ba hoặc bốn phát bắn trúng mục tiêu bất kể kết quả của các phát bắn khác và xác suất bắn trúng mục tiêu là không đổi trong tất cả các thử nghiệm;
• khi đồng xu được đưa vào, máy sẽ hoạt động chính xác một, hai hoặc một số lần khác, bất kể những gì mà các đồng xu được đưa vào, và xác suất để máy hoạt động chính xác là không đổi trong tất cả các lần thử.

Những sự kiện này có thể được mô tả bằng một lược đồ. Mỗi sự kiện xảy ra trong mỗi thử nghiệm với cùng một xác suất, không thay đổi nếu biết kết quả của các thử nghiệm trước đó. Các bài kiểm tra như vậy được gọi là độc lập và kế hoạch được gọi là Đề án Bernoulli
. Giả thiết rằng các thử nghiệm như vậy có thể được lặp lại nhiều lần như mong muốn.

Nếu xác suất P Sự kiện Một là không đổi trong mỗi lần thử, thì xác suất trong N sự kiện thử nghiệm độc lập Một sẽ đến m thời gian, nằm trên Công thức Bernoulli
:

(ở đâu q= 1 – P– xác suất mà sự kiện sẽ không xảy ra)

Hãy đặt nhiệm vụ – để tìm xác suất để một sự kiện thuộc loại này xảy ra N các thử nghiệm độc lập sẽ đến m Một lần.

Công thức Bernoulli: các ví dụ về giải quyết vấn đề

ví dụ 1 Tìm xác suất để trong năm bộ phận được chọn ngẫu nhiên có hai bộ phận là tiêu chuẩn, nếu xác suất để mỗi bộ phận đạt tiêu chuẩn là 0,9.

Quyết định. Xác suất sự kiện NHƯNG, bao gồm thực tế là một phần được lấy ngẫu nhiên là tiêu chuẩn, là P= 0,9 và xác suất nó không phải là tiêu chuẩn là q=1–P= 0,1. Sự kiện được chỉ ra trong điều kiện của vấn đề (chúng tôi biểu thị nó bằng TẠI) xảy ra nếu, ví dụ, hai phần đầu tiên là tiêu chuẩn và ba phần tiếp theo là không tiêu chuẩn. Nhưng sự kiện TẠI cũng xảy ra nếu phần đầu tiên và phần thứ ba là tiêu chuẩn và phần còn lại là không tiêu chuẩn, hoặc nếu phần thứ hai và thứ năm là tiêu chuẩn và phần còn lại là không tiêu chuẩn. Có những khả năng khác để sự kiện xảy ra. TẠI. Bất kỳ phần nào trong số chúng đều có đặc điểm là trong số năm phần được lấy, thì hai phần, chiếm bất kỳ vị trí nào trong số năm phần, sẽ trở thành tiêu chuẩn. Do đó, tổng số các khả năng xảy ra một sự kiện khác nhau TẠI bằng số khả năng đặt hai bộ phận tiêu chuẩn ở năm vị trí, tức là bằng với số lượng kết hợp của năm phần tử của hai, và.

Xác suất của mỗi khả năng, theo định lý nhân xác suất, bằng tích của năm yếu tố, trong đó hai yếu tố, tương ứng với sự xuất hiện của các bộ phận tiêu chuẩn, bằng 0,9, và ba yếu tố còn lại, tương ứng với sự xuất hiện của các yếu tố khác. -phần tiêu chuẩn, bằng 0,1, tức là xác suất này là. Vì mười khả năng này là các sự kiện không tương thích, nên theo định lý cộng, xác suất của một sự kiện TẠI, mà chúng tôi biểu thị

Ví dụ 2 Xác suất để máy cần sự chú ý của công nhân trong vòng một giờ là 0,6. Giả sử rằng các hư hỏng trên các máy là độc lập, hãy tìm xác suất để một trong bốn máy do anh ta bảo dưỡng trong một giờ, sự chú ý của công nhân sẽ được thực hiện.

Quyết định. Sử dụng Công thức Bernoulli tại N=4
, m=1
, P= 0,6 và q=1–P= 0,4, chúng tôi nhận được

Ví dụ 3Để hoạt động bình thường của kho xe, phải có ít nhất tám xe trực tuyến và có mười xe trong số đó. Xác suất để mỗi ô tô không thoát ra khỏi hàng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để tổng kho hoạt động bình thường trong ngày hôm sau.

Quyết định. Autobase sẽ hoạt động tốt (sự kiện F) nếu một trong hai hoặc tám sẽ vào dòng (sự kiện NHƯNG), hoặc chín (sự kiện TẠI), hoặc tất cả mười sự kiện ô tô (sự kiện C). Theo định lý cộng xác suất,

Chúng tôi tìm thấy từng thuật ngữ theo công thức Bernoulli. Đây N=10
, m= 8; 10 và P\ u003d 1-0,1 \ u003d 0,9, kể từ P phải có nghĩa là xác suất để một chiếc ô tô đi vào hàng; sau đó q= 0,1. Kết quả là, chúng tôi nhận được

Ví dụ 4 Gọi xác suất khách hàng cần một đôi giày nam cỡ 41 là 0,25. Tìm xác suất để trong sáu người mua có ít nhất hai người cần đôi giày cỡ 41.

Định nghĩa các bài kiểm tra độc lập lặp lại. Bernoulli công thức tính xác suất và con số có thể xảy ra nhất. Công thức tiệm cận của công thức Bernoulli (cục bộ và tích phân, định lý Laplace). Sử dụng định lý tích phân. Công thức Poisson, cho các sự kiện ngẫu nhiên không chắc chắn.

Các bài kiểm tra độc lập lặp đi lặp lại

Trong thực tế, người ta phải giải quyết các công việc như vậy có thể được biểu diễn dưới dạng các thử nghiệm lặp đi lặp lại nhiều lần, do kết quả của mỗi sự kiện A có thể xuất hiện hoặc không. Đồng thời, kết quả được quan tâm không phải là kết quả của từng “thử nghiệm riêng lẻ, mà là tổng số lần xuất hiện của biến cố A là kết quả của một số thử nghiệm nhất định. Trong các bài toán này, người ta phải xác định được xác suất trong số m bất kỳ lần xuất hiện của sự kiện A là kết quả của n lần thử nghiệm. Hãy xem xét trường hợp khi các phép thử là độc lập và xác suất xuất hiện của sự kiện A trong mỗi lần thử nghiệm là không đổi. Các phép thử như vậy được gọi là độc lập lặp đi lặp lại.

Một ví dụ về thử nghiệm độc lập sẽ là thử nghiệm tính phù hợp của các sản phẩm được lấy từ một trong số các lô. Nếu các lô này có tỷ lệ phần trăm khuyết tật như nhau, thì xác suất để sản phẩm được chọn bị lỗi trong mỗi trường hợp là một số không đổi.

Công thức Bernoulli

Hãy sử dụng khái niệm sự kiện khó khăn, có nghĩa là sự kết hợp của một số sự kiện cơ bản, bao gồm sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của sự kiện A trong bài kiểm tra thứ i. Cho n phép thử độc lập được tiến hành, trong mỗi phép thử A có thể xuất hiện với xác suất p hoặc không xuất hiện với xác suất q = 1-p. Hãy xem xét sự kiện B_m, bao gồm thực tế là sự kiện A trong n lần thử này sẽ xảy ra đúng m lần và do đó, sẽ không xảy ra đúng (n-m) lần. Chứng tỏ A_i ~ (i = 1,2, \ ldots, (n)) sự kiện A, a \ overline (A) _i – không xảy ra sự kiện A trong thử nghiệm thứ i. Do các điều kiện thử nghiệm không đổi, chúng tôi có

Sự kiện A có thể xuất hiện m lần theo các chuỗi hoặc kết hợp khác nhau, xen kẽ với sự kiện ngược lại \ overline (A). Số tổ hợp có thể có của loại này bằng số tổ hợp của n phần tử theo m, tức là C_n ^ m. Do đó, sự kiện B_m có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các sự kiện phức tạp không tương thích với nhau và số hạng bằng C_n ^ m:

B_m = A_1A_2 \ cdots (A_m) \ overline (A) _ (m + 1) \ cdots \ overline (A) _n + \ cdots + \ overline (A) _1 \ overline (A) _2 \ cdots \ overline (A) _ ( n-m) A_ (n-m + 1) \ cdots (A_n),

trong đó sự kiện A xảy ra trong mỗi sản phẩm m lần và \ overline (A) – (n-m) lần.

trong đó sự kiện A xảy ra trong mỗi sản phẩm m lần và \ overline (A) – (n-m) lần.

Xác suất của mỗi sự kiện phức hợp có trong công thức (3.1), theo định lý nhân xác suất cho các sự kiện độc lập, bằng p ^ (m) q ^ (n-m). Vì tổng số các sự kiện như vậy bằng C_n ^ m, do đó, sử dụng định lý cộng xác suất cho các sự kiện không tương thích, chúng ta thu được xác suất của sự kiện B_m (chúng tôi ký hiệu là P_ (m, n))

P_ (m, n) = C_n ^ mp ^ (m) q ^ (n-m) \ quad \ text (hoặc) \ quad P_ (m, n) = \ frac (n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}.
!}

Công thức (3.2) được gọi là Công thức Bernoulli, và các thử nghiệm lặp đi lặp lại thỏa mãn điều kiện về tính độc lập và ổn định của các xác suất xảy ra sự kiện A trong mỗi thử nghiệm được gọi là Thử nghiệm Bernoulli, hoặc kế hoạch Bernoulli.

Ví dụ 1. Xác suất vượt ra khỏi trường dung sai khi gia công các chi tiết trên máy tiện là 0,07. Xác định xác suất để trong số năm bộ phận được chọn ngẫu nhiên trong ca, một trong các kích thước đường kính không tương ứng với dung sai quy định.

Quyết định. Điều kiện của bài toán thỏa mãn các yêu cầu của sơ đồ Bernoulli. Do đó, giả sử n = 5, \, m = 1, \, p = 0, \! 07, theo công thức (3.2) chúng ta thu được

P_ (1,5) = C_5 ^ 1 (0, \! 07) ^ (1) (0, \! 93) ^ (5-1) \ khoảng 0, \! 262.

Ví dụ 2. Các quan sát đã xác định rằng ở một số khu vực vào tháng 9 có 12 ngày mưa. Xác suất để trong 8 ngày được lấy ngẫu nhiên trong tháng này, 3 ngày có mưa là bao nhiêu?

Quyết định.

P_ (3; 8) = C_8 ^ 3 (\ left (\ frac (12) (30) \ right) \^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787.
!}

Số lần xuất hiện sự kiện có khả năng xảy ra cao nhất

Xuất hiện nhiều khả năng sự kiện A trong n phép thử độc lập là một số m_0 mà xác suất tương ứng với số này lớn hơn hoặc ít nhất không nhỏ hơn xác suất của mỗi số có thể xảy ra khác của sự kiện A. Để xác định số có khả năng xảy ra cao nhất, không cần tính các xác suất của số lần xuất hiện biến cố, chỉ cần biết số lần thử n và xác suất xuất hiện của biến cố A trong một lần thử riêng là đủ. Gọi P_ (m_0, n) biểu thị xác suất tương ứng với số có khả năng xảy ra nhất m_0. Sử dụng công thức (3.2), chúng tôi viết

P_ (m_0, n) = C_n ^ (m_0) p ^ (m_0) q ^ (n-m_0) = \ frac (n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}.
!}

Theo định nghĩa về số có khả năng xảy ra cao nhất, xác suất của sự kiện A xảy ra lần lượt là m_0 + 1 và m_0-1, ít nhất không được vượt quá xác suất P_ (m_0, n), tức là

P_ (m_0, n) \ geqslant (P_ (m_0 + 1, n)); \ quad P_ (m_0, n) \ geqslant (P_ (m_0-1, n))

Thay giá trị P_ (m_0, n) và các biểu thức cho các xác suất P_ (m_0 + 1, n) và P_ (m_0-1, n) vào các bất đẳng thức, chúng ta thu được

Giải các bất phương trình này cho m_0, chúng ta thu được

M_0 \ geqslant (np-q), \ quad m_0 \ leqslant (np + p)

Kết hợp các bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta nhận được một bất đẳng thức kép, được sử dụng để xác định số có khả năng xảy ra nhất:

Np-q \ leqslant (m_0) \ leqslant (np + p).

Vì độ dài của khoảng được xác định bởi bất đẳng thức (3.4) bằng một, tức là

(np + p) – (np-q) = p + q = 1,

và một sự kiện có thể xảy ra trong n lần thử nghiệm chỉ với một số nguyên lần, khi đó cần lưu ý rằng:

và một sự kiện có thể xảy ra trong n lần thử nghiệm chỉ với một số nguyên lần, khi đó cần lưu ý rằng:

1) nếu np-q là một số nguyên thì có hai giá trị của số có xác suất lớn nhất, đó là: m_0 = np-q và m “_0 = np-q + 1 = np + p;

2) nếu np-q là số phân số thì có một số có khả năng xảy ra cao nhất, đó là: số nguyên duy nhất giữa các số phân số thu được từ bất đẳng thức (3.4);

3) nếu np là một số nguyên thì có một số có khả năng xảy ra cao nhất, đó là: m_0 = np.

Đối với các giá trị lớn của n, sẽ không thuận tiện khi sử dụng công thức (3.3) để tính xác suất tương ứng với số có khả năng xảy ra cao nhất. Nếu trong đẳng thức (3.3), chúng ta thay thế công thức Stirling

N! \ Khoảng (n ^ ne ^ (- n) \ sqrt (2 \ pi (n))),

hợp lệ với n đủ lớn và lấy số có khả năng xảy ra cao nhất m_0 = np, sau đó chúng ta thu được công thức tính gần đúng xác suất tương ứng với số có khả năng xảy ra cao nhất:

hợp lệ với n đủ lớn và lấy số có khả năng xảy ra cao nhất m_0 = np, sau đó chúng ta thu được công thức tính gần đúng xác suất tương ứng với số có khả năng xảy ra cao nhất:

P_ (m_0, n) \ khoảng \ frac (n ^ ne ^ (- n) \ sqrt (2 \ pi (n)) \, p ^ (np) q ^ (nq)) ((np) ^ (np) e ^ (- np) \ sqrt (2 \ pi (np)) \, (nq) ^ (nq) e ^ (- nq) \ sqrt (2 \ pi (nq))) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi (npq))) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi) \ sqrt (npq)).

Ví dụ 2. Được biết, \ frac (1) (15) một số sản phẩm do nhà máy cung cấp cho cơ sở kinh doanh không đáp ứng tất cả các yêu cầu của tiêu chuẩn. Một lô sản phẩm với số lượng 250 cái đã được giao tận nơi. Tìm số sản phẩm có khả năng đáp ứng các yêu cầu của tiêu chuẩn là nhiều nhất và tính xác suất để lô này chứa số sản phẩm có khả năng xảy ra nhiều nhất.

Quyết định. Theo điều kiện n = 250, \, q = \ frac (1) (15), \, p = 1- \ frac (1) (15) = \ frac (14) (15). Theo bất đẳng thức (3.4), ta có

250 \ cdot \ frac (14) (15) – \ frac (1) (15) \ leqslant (m_0) \ leqslant250 \ cdot \ frac (14) (15) + \ frac (1) (15)

ở đâu

233, \! 26 \ leqslant (m_0) \ leqslant234, \! 26

. Do đó, số lượng sản phẩm đáp ứng các yêu cầu của tiêu chuẩn nhiều nhất trong một lô là 250 chiếc. bằng 234. Thay dữ liệu vào công thức (3.5), ta tính được xác suất để có số mặt hàng có khả năng xảy ra nhiều nhất trong lô:

ở đâu. Do đó, số lượng sản phẩm đáp ứng các yêu cầu của tiêu chuẩn nhiều nhất trong một lô là 250 chiếc. bằng 234. Thay dữ liệu vào công thức (3.5), ta tính được xác suất để có số mặt hàng có khả năng xảy ra nhiều nhất trong lô:

P_ (234.250) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi \ cdot250 \ cdot \ frac (14) (15) \ cdot \ frac (1) (15))) \ khoảng0, \! 101

Định lý Laplace cục bộ

Sử dụng công thức Bernoulli cho các giá trị lớn của n là rất khó. Ví dụ, nếu n = 50, \, m = 30, \, p = 0, \! 1, sau đó để tìm xác suất P_ (30,50) cần tính giá trị của biểu thức

P_ (30,50) = \ frac (50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20}
!}

Đương nhiên, câu hỏi được đặt ra: có thể tính xác suất lãi mà không sử dụng công thức Bernoulli không? Nó chỉ ra bạn có thể. Định lý Laplace cục bộ đưa ra một công thức tiệm cận cho phép bạn tìm gần đúng xác suất xuất hiện của các sự kiện chính xác m lần trong n lần thử nghiệm, nếu số lần thử nghiệm đủ lớn.

Định lý 3.1. Nếu xác suất p của sự kiện A xuất hiện trong mỗi lần thử nghiệm là không đổi và khác 0 và một, thì xác suất P_ (m, n) để sự kiện A xuất hiện trong n lần thử nghiệm đúng m lần là xấp xỉ bằng nhau (càng chính xác , n càng lớn) đến giá trị của hàm

Y = \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \ frac (e ^ (- x ^ 2/2)) (\ sqrt (2 \ pi)) = \ frac (\ varphi (x)) (\ sqrt (npq)) tại .

Có các bảng chứa các giá trị hàm \ varphi (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \, e ^ (- x ^ 2/2)), tương ứng với các giá trị dương của đối số x. Đối với các giá trị đối số phủ định, các bảng giống nhau được sử dụng, vì hàm \ varphi (x) là chẵn, tức là \ varphi (-x) = \ varphi (x).

Vì vậy, xấp xỉ xác suất sự kiện A sẽ xuất hiện trong n lần thử đúng m lần,

Vì vậy, xấp xỉ xác suất sự kiện A sẽ xuất hiện trong n lần thử đúng m lần,

P_ (m, n) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (npq)) \, \ varphi (x),ở đâu x = \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)).

Ví dụ 3. Tìm xác suất để biến cố A xảy ra đúng 80 lần trong 400 lần thử nếu xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi lần thử là 0,2.

Quyết định. Theo điều kiện n = 400, \, m = 80, \, p = 0, \! 2, \, q = 0, \! 8. Chúng tôi sử dụng công thức Laplace tiệm cận:

P_ (80.400) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8)) \, \ varphi (x) = \ frac (1) (8) \, \ varphi (x).

Hãy tính giá trị x được xác định bởi dữ liệu bài toán:

X = \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (80-400 \ cdot0, \! 2) (8) = 0.

Theo table adj, 1 chúng tôi tìm thấy \ varphi (0) = 0, \! 3989. Xác suất mong muốn

P_ (80,100) = \ frac (1) (8) \ cdot0, \! 3989 = 0, \! 04986.

Công thức Bernoulli dẫn đến kết quả gần như giống nhau (các phép tính bị bỏ qua do tính phức tạp của chúng):

P_ (80,100) = 0, \! 0498.

Định lý tích phân Laplace

Giả sử rằng có n phép thử độc lập, trong mỗi phép thử xác suất xảy ra biến cố A là không đổi và bằng p. Cần tính xác suất P _ ((m_1, m_2), n) để biến cố A xuất hiện trong n lần thử ít nhất là m_1 và nhiều nhất m_2 lần (để ngắn gọn, chúng ta sẽ nói “từ m_1 đến m_2 lần”). Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng định lý tích phân Laplace.

Định lý 3.2. Nếu xác suất p của sự kiện A xuất hiện trong mỗi thử nghiệm là không đổi và khác 0 và một, thì xấp xỉ xác suất P _ ((m_1, m_2), n) sự kiện A sẽ xuất hiện trong các thử nghiệm từ m_1 đến m_2 lần,

P _ ((m_1, m_2), n) \ khoảng \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ giới hạn_ (x “) ^ (x” “) e ^ (- x ^ 2/2) \, dx,ở đâu .

Khi giải các bài toán yêu cầu áp dụng định lý tích phân Laplace, các bảng đặc biệt được sử dụng, vì tích phân không xác định \ int (e ^ (- x ^ 2/2) \, dx) không được thể hiện dưới dạng các chức năng cơ bản. Bảng tích phân \ Phi (x) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limit_ (0) ^ (x) e ^ (- z ^ 2/2) \, dzđược đưa ra trong ứng dụng. 2, trong đó các giá trị của hàm \ Phi (x) được cung cấp cho các giá trị dương của x, cho x<0
используют ту же таблицу (функция \Phi(x)
нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x)
). Таблица содержит значения функции \Phi(x)
лишь для x\in
; для x>5 có thể lấy \ Phi (x) = 0, \! 5.

Vì vậy, xấp xỉ xác suất sự kiện A sẽ xuất hiện trong n lần thử nghiệm độc lập từ m_1 đến m_2 lần,

P _ ((m_1, m_2), n) \ khoảng \ Phi (x “”) – \ Phi (x “),ở đâu x “= \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)); ~ x” “= \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)).

Ví dụ 4. Xác suất một bộ phận được sản xuất vi phạm tiêu chuẩn, p = 0, \! 2. Tìm xác suất để trong 400 bộ phận không đạt tiêu chuẩn được chọn ngẫu nhiên sẽ có từ 70 đến 100 bộ phận.

Quyết định. Theo điều kiện p = 0, \! 2, \, q = 0, \! 8, \, n = 400, \, m_1 = 70, \, m_2 = 100. Hãy sử dụng định lý tích phân Laplace:

P _ ((70,100), 400) \ khoảng \ Phi (x “”) – \ Phi (x “).

Hãy để chúng tôi tính toán các giới hạn của tích hợp:

thấp hơn

thấp hơn

X “= \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (70-400 \ cdot0, \! 2) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8)) = -1, \! 25,

phía trên

phía trên

X “” = \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) = \ frac (100-400 \ cdot0, \! 2) (\ sqrt (400 \ cdot0, \! 2 \ cdot0, \! 8) ) = 2, \! 5,

Như vậy

P _ ((70,100), 400) \ khoảng \ Phi (2, \! 5) – \ Phi (-1, \! 25) = \ Phi (2, \! 5) + \ Phi (1, \! 25) .

Theo ứng dụng bảng. 2 tìm thấy

\ Phi (2, \! 5) = 0, \! 4938; ~~~~~ \ Phi (1, \! 25) = 0, \! 3944.

Xác suất mong muốn

P _ ((70,100), 400) = 0, \! 4938 + 0, \! 3944 = 0, \! 8882.

Ứng dụng của định lý tích phân Laplace

Nếu số m (số lần xuất hiện của sự kiện A trong n lần thử nghiệm độc lập) sẽ thay đổi từ m_1 thành m_2, thì phân số \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) sẽ thay đổi từ \ frac (m_1-np) (\ sqrt (npq)) = x ” trước \ frac (m_2-np) (\ sqrt (npq)) = x “”. Do đó, định lý tích phân Laplace cũng có thể được viết như sau:

P \ left \ (x “\ leqslant \ frac (m-np) (\ sqrt (npq)) \ leqslant (x” “) \ right \) = \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ limit_ (x “) ^ (x” “) e ^ (- x ^ 2/2) \, dx.

Hãy đặt nhiệm vụ để tìm xác suất để giá trị tuyệt đối của độ lệch của tần số tương đối \ frac (m) (n) so với xác suất không đổi p không vượt quá số cho trước \ varepsilon> 0. Nói cách khác, chúng tôi tìm thấy xác suất của sự bất bình đẳng \ left | \ frac (m) (n) -p \ right | \ leqslant \ varepsilon, giống nhau – \ varepsilon \ leqslant \ frac (m) (n) -p \ leqslant \ varepsilon. Xác suất này sẽ được ký hiệu như sau: P \ left \ (\ left | \ frac (m) (n) -p \ right | \ leqslant \ varepsilon \ right \). Tính đến công thức (3.6), đối với xác suất này, chúng ta thu được

P \ left \ (\ left | \ frac (m) (n) -p \ right | \ leqslant \ varepsilon \ right \) \ xấp xỉ2 \ Phi \ left (\ varepsilon \, \ sqrt (\ frac (n) (pq ))\đúng).

Ví dụ 5. Xác suất bộ phận đó không chuẩn, p = 0, \! 1. Tìm xác suất để trong số 400 bộ phận được chọn ngẫu nhiên, tần suất xuất hiện tương đối của các bộ phận không chuẩn sai lệch với xác suất p = 0, \! 1 về giá trị tuyệt đối không quá 0,03.

Quyết định. Theo điều kiện n = 400, \, p = 0, \! 1, \, q = 0, \! 9, \, \ varepsilon = 0, \! 03. Chúng ta cần tìm xác suất P \ left \ (\ left | \ frac (m) (400) -0, \! 1 \ right | \ leqslant0, \! 03 \ right \). Sử dụng công thức (3.7), chúng ta thu được

P \ left \ (\ left | \ frac (m) (400) -0, \! 1 \ right | \ leqslant0, \! 03 \ right \) \ khoảng 2 \ Phi \ left (0, \! 03 \ sqrt ( \ frac (400) (0, \! 1 \ cdot0, \! 9)) \ right) = 2 \ Phi (2)

Theo ứng dụng bảng. 2 chúng tôi tìm thấy \ Phi (2) = 0, \! 4772, do đó 2 \ Phi (2) = 0, \! 9544. Vì vậy, xác suất mong muốn xấp xỉ bằng 0,9544. Ý nghĩa của kết quả thu được như sau: nếu chúng ta lấy một số lượng đủ lớn mẫu gồm 400 phần mỗi mẫu, thì khoảng 95,44% trong số các mẫu này độ lệch của tần số tương đối so với xác suất không đổi p = 0, \! 1 in giá trị tuyệt đối sẽ không vượt quá 0,03.

Công thức Poisson cho các sự kiện không mong muốn

Nếu xác suất p của sự xuất hiện của một sự kiện trong một thử nghiệm riêng biệt gần bằng 0, thì ngay cả với một số lượng lớn thử nghiệm n, nhưng với giá trị nhỏ của tích np, xác suất P_ (m, n) thu được bởi Công thức Laplace không đủ chính xác và cần có một công thức gần đúng khác.

Định lý 3.3. Nếu xác suất p để xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử là không đổi nhưng nhỏ, số lần thử độc lập n đủ lớn nhưng giá trị của tích np = \ lambda vẫn nhỏ (không quá 10) thì xác suất sự kiện A xảy ra m lần trong các thử nghiệm này,

P_ (m, n) \ khoảng \ frac (\ lambda ^ m) (m\,e^{-\lambda}.
!}

Để đơn giản hóa các phép tính bằng công thức Poisson, một bảng giá trị của hàm Poisson đã được biên soạn \ frac (\ lambda ^ m) (m\,e^{-\lambda}
!}(xem phụ lục 3).

Ví dụ 6. Cho xác suất sản xuất một bộ phận phi tiêu chuẩn là 0,004. Tìm xác suất để trong 1000 bộ phận có 5 bộ phận không đạt tiêu chuẩn.

Quyết định. Đây n = 1000, p = 0,004, ~ \ lambda = np = 1000 \ cdot0, \! 004 = 4. Cả ba số đều thỏa mãn các yêu cầu của Định lý 3.3, do đó, để tìm xác suất của biến cố mong muốn P_ (5,1000), chúng ta sử dụng công thức Poisson. Theo bảng giá trị của hàm Poisson (ứng dụng. 3) với \ lambda = 4; m = 5, chúng ta nhận được P_ (5,1000) \ xấp xỉ 0, \! 1563.

Hãy tìm xác suất của sự kiện tương tự bằng công thức Laplace. Để làm điều này, trước tiên chúng ta tính giá trị x tương ứng với m = 5:

X = \ frac (5-1000 \ cdot0, \! 004) (\ sqrt (1000 \ cdot0, \! 004 \ cdot0, \! 996)) \ khoảng \ frac (1) (1, \! 996) \ khoảng0 , \! 501.

Do đó, theo công thức Laplace, xác suất mong muốn

P_ (5,1000) \ khoảng \ frac (\ varphi (0, \! 501)) (1, \! 996) \ khoảng \ frac (0, \! 3519) (1, \! 996) \ khoảng0, \ ! 1763

và theo công thức Bernoulli, giá trị chính xác của nó

và theo công thức Bernoulli, giá trị chính xác của nó

P_ (5,1000) = C_ (1000) ^ (5) \ cdot0, \! 004 ^ 5 \ cdot0, \! 996 ^ (995) \ khoảng 0, \! 1552.

Do đó, sai số tương đối trong việc tính toán xác suất P_ (5,1000) bằng cách sử dụng công thức Laplace gần đúng là

\ frac (0, \! 1763-0, \! 1552) (0, \! 1552) \ khoảng 0, \! 196 hoặc 13, \! 6 \%

và theo công thức Poisson –

và theo công thức Poisson –

\ frac (0, \! 1563-0, \! 1552) (0, \! 1552) \ khoảng 0, \! 007 hoặc 0, \! 7 \%

Tức là ít hơn nhiều lần.
Bỏ qua phần tiếp theo
Biến ngẫu nhiên một chiều Javascript bị tắt trong trình duyệt của bạn.
Các điều khiển ActiveX phải được kích hoạt để thực hiện các phép tính!