Công thức Toán lớp 10, 11, 12

Ôn tập toán 10 – 11 – 12

CÔNG THỨC TOÁN HỌC ( 10 – 11 – 12)

1. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:

1.1. Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c

⇔

a > c

1.2. Tính chất 2: a > b

⇔

a + c > b + c

Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng

chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.

Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c

⇔

a – c > b

1.3 Tính chất 3:

a b

a c b d

c d

> ⎧

⇒ + > +

⎨

⎩

Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức

cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.

1.4 Tính chất 4:

a > b

⇔

a.c > b.c nếu c > 0

hoặc a > b

⇔

c.c < b.c nếu c < 0

1.5 Tính chất 5:

. .

a b

a c b d

c d

> > ⎧

⇒ >

⎨

> >

⎩

Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức

cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.

1.6 Tính chất 6:

a > b > 0

⇒

> b

(n nguyển dương)

1.7 Tính chất 7:

n n

a b a b > > ⇒ > (n nguyên dương)

2. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):

Định lí: Nếu 0 a ≥ và 0 b ≥ thì

a b

≥

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b

Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.

Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng

nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích

lớn nhất.

Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng

nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi

nhỏ nhất.

http://kinhhoa.violet.vn 1Ôn tập toán 10 – 11 – 12

3. Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:

> ⎧

⎨

– >

⎩

Từ định nghĩa suy ra: với mọi x R ∈ ta có:

a. |x| ≥ 0

b. |x|

= x

c. x ≤ |x| và -x ≤ |x|

Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:

|a + b| ≤ |a| + |b| (1)

|a – b| ≤ |a| + |b| (2)

|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≥ 0

|a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≤ 0

4. Định lí Vi-et:

Nếu phương trình bậc 2: ax

+ bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x

, x

≠

0) thì tổng và tích 2

nghiệm đó là:

S = x

+ x

– P = x

Chú ý:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x

= 1 và x

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x

= -1 và x

– Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương

trình: x

– S.x + P = 0

5. Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước:

a. Định nghĩa: Cho 2 điểm phân biệt A, B. Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k

nếu MA kMB =

u u u r u u u r

b. Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k

≠

1 thì với điểm O bất kì ta có:

OA kOB

– =

– u u u r u u u r

u u u u r

6. Trọng tâm tam giác:

a. Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi: 0 GA GB GC + + =

u u u r u u u r u u u r r

b. Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có: 3OG OA OB OC = + +

u u u r u u u r u u u r u u u r

7. Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác:

http://kinhhoa.violet.vn 2

nếu x ≥ 0

nếu x < 0Ôn tập toán 10 – 11 – 12

7.1. Định lí Cosin trong tam giác:

Định lí: Với mọi tam giác ABC, ta luôn có:

2 2 2

2 .cos

a b c bc A

b a c ac B

c b a ba C

= + – = + – = + – 7.2. Định lí sin trong tam giác:

Định lí: Trong tam giác ABC, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có:

sin sin sin

a b c

A B C

= = =

7.3. Công thức độ dài đường trung tuyến:

2 2 2

2 4

b c a

a c b

b a c

= – +

= – 8. Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ:

Góc

120

135

150

180

π 2

π 3

π 5

sin 0

cos 1

0 –

–

-1

tg 0

1 3 || – 3 1 –

cotg || 3 1

0 –

1 – 3 ||

9. Công thức biến đổi tích thành tổng:

http://kinhhoa.violet.vn 3Ôn tập toán 10 – 11 – 12

cos .cos [cos( ) cos( )]

sin .sin [cos( ) cos( )]

sin .cos [sin( ) sin( )]

a b a b a b

= – + +

= – – +

= + + – 10. Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos .cos

2 2

cos cos 2sin .sin

2 2

sin sin 2sin .cos

2 2

sin sin 2cos .sin

2 2

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

+ – + =

+ – – = – + – + =

+ – – =

11.Công thức nhân đôi:

2 2 2 2

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin

sin 2 2sin cos

2 ( , , )

1 2 2 2

a a a a a

a a a

tga

tg a a k a k k

tg a

π π π

= – = – = – =

= ≠ + ≠ + ∈

– Z

12. Công thức nhân ba:

sin 3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

a a a

= – = – 13. Công thức hạ bậc:

cos 2 1

cos

1 cos 2

sin

1 cos 2

3sin sin 3

sin

3cos cos3

cos

tg a

a a

– =

http://kinhhoa.violet.vn 4Ôn tập toán 10 – 11 – 12

14. Công thức cộng:

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

a b a b a b

+ = +

– = – + = – – = +

Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện:

( ) (*)

1 .

( ) (**)

1 .

tga tgb

tg a b

tga tgb

tg a b

tga tgb

– – =

+ =

– (*) có điều kiện: , ,

2 2 2

a k b k a b k

π π π

π π π ≠ + ≠ + – ≠ +

(**) có điều kiện:

, ,

2 2 2

a k b k a b k

π π π

π π π ≠ + ≠ + + ≠ +

15. Công thức tính tga, cosa, sina theo

t tg =

sin

cos

1 2

tga a k

– =

= ≠ +

– 16. Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn kém nhau 1 góc

hoặc

16.1. Hai góc bù nhau:

sin( ) sin

cos( ) cos

( )

a a

tg a tga

cotg a cotga

– =

– = – – = – – = – 16.2. Hai góc phụ nhau:

http://kinhhoa.violet.vn 5Ôn tập toán 10 – 11 – 12

sin( ) cos

cos( ) sin

( )

a a

tg a cotga

cotg a tga

– =

16.3. Hai góc đối nhau:

sin( ) sin

cos( ) cos

( )

a a

tg a tga

cotg a cotga

– = – – =

– = – – = – 16.4 Hai góc hơn kém nhau

sin( ) cos

cos( ) sin

( )

a a

tg a tga

cotg a cotga

+ =

+ = – + = – + = – 16.5 Hai góc hơn kém nhau

sin( ) sin

cos( ) cos

( )

a a

tg a tga

cotg a cotga

+ = – + = – + =

+ =

16.6. Một số công thức đặc biệt:

sin cos 2 sin( )

x x x

+ = +

– = – 17. Phương trình lượng giác

1. Phương trình cơ bản:

* sinx = sina x = a + k2π

hoặc x = π – a + k2π

http://kinhhoa.violet.vn 6Ôn tập toán 10 – 11 – 12

* cosx = cosa ⟺ x = ± a + k2π

* tgx = tg a x = a + kπ ⟺ (x ≠ k )

* cotgx = cotga ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ)

2. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:

Các phương trình lượng giác

* asin

x + bsinx.cosx + c.cos

x = 0 (1)

* asin

x + bsin

x.cosx + c.sinx.cos

x + dcos

x = 0 (2)

* asin

x + bsin

x.cosx + csin

x.cos

x + dsinx.cos

x + ecos

x = 0 (3)

gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx.

Do cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos

x, cos

cos

x đưa phương trình đã cho về phương trình mới và ta dễ dàng giải các phương trình này.

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

* sinx + bcosx + c = 0 (1), a

+ b

≠ 0 phương trình (1) có nghiệm a

+ b

– c

≥ 0

Có ba cách giải loại phương trình này :

– Giả sử a ≠ 0

(1) sin cos 0

b c

x x

a a

⇔ + + = (2)

Đặt :

φ =

(2) sin cos 0

x tg x

φ ⇔ + + = sin( ) cos

φ φ ⇔ + = – Ta dễ dàng giải phương trình này.

– Đặt :

tg t =

2 2

2 1

(1) 0

1 1

t t

a b c

t t

– ⇔ + + =

+ +

Giải phương trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải được phương trình (1).

– Do

2 2

0 a b + ≠ , chia hai vế của phương trình cho

2 2

a b +

2 2 2 2 2 2

(1) sin cos

a b c

x x

a b a b a b

⇔ + = – + + +

Đặt :

2 2

sin

cos

a b

⎧

⎪

+ ⎪

⎨

⎪

⎩

http://kinhhoa.violet.vn 7Ôn tập toán 10 – 11 – 12

2 2

(1) sin( )

a b

α ⇔ + = – +

(đây là phương trình cơ bản).

Chú ý : Ta luôn có :

2 2

| sin sin | a x b x a b + ≤ +

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin(x + a) = 1.

4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng số)

Giải phương trình (1) bằng cách đặt :

sinx + cosx = t , | | 2 t ≤

Đưa (1) về phương trình

2 ( 2 ) 0 bt at b c + – + =

Giải phương trình (2) với | | 2 t ≤ .

5. Hệ phương trình lượng giác:

1) Hệ phương trình lượng giác một ẩn. Chẳng hạn có hệ phương trình :

sin 1

cos 0

= ⎧

⎨

⎩

Có hai phương pháp giải :

* Phương pháp thế, giải một phương trình của hệ rồi thế nghiệm tìm được vào phương trình

còn lại.

* Phương pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm của mỗi phương trình trong hệ, sau đó tìm

nghiệm chung.

2) Hệ phương trình lượng giác hai ẩn. Chẳng hạn có hệ phương trình :

sin sin 1

x y

⎧

+ =

⎪

⎨

⎪

+ =

⎩

Phương pháp chung là đưa nó về hệ phương trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phương trình tổng

tích.

18. Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp:

18.1. Hoán vị:

http://kinhhoa.violet.vn 8Ôn tập toán 10 – 11 – 12

+ Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, được sắp xếp theo

một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Số tất cả các hoán vị khác nhau của n

phần tử ký hiệu là P

+ Công thức : P

=1.2.3…..n = n !

18.2 Chỉnh hợp:

+ Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 0 k n ≤ ≤ ) là một bộ sắp thứ tự gồm k

phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho. số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là

+Công thức :

( )

( 1)…( 1)

( )

k k

n n

n k

A n n n k

A n k A

A P n

A A n

– =

– = – – +

= – = =

= =

(qui ước 0! = 1)

18.3 Tổ chợp:

+ Định nghĩa: Cho một tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương). Một tổ hợp chập k

của n phần tử ( 0 k n ≤ ≤ ) là một tập con của a gồm k phần tử. Số tất cả các tổ hợp chập k của n

phần tử ký hiệu là

+ Công thức:

!( )!

( 1)…( 1)

k n k

n n n k

– – – +

+ Tính chất:

0 1

1 1

… 2

k n k

n n

n n n

k k k

n n n

C C

C C C

– + +

= =

+ + + =

+ =

18.4. Công thức Newton:

http://kinhhoa.violet.vn 9Ôn tập toán 10 – 11 – 12

là số hạng thứ k +1 của khai triển nhị thức (a + b)

k n k k

k n

T C a b

– =

0 1 1 2 2 2

( ) … …

n n n n m n m m n n

n n n n n

a b C a C a b C a b C a b C b

– – – + = + + + + + +

19. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian:

19.1 Trong mặt phẳng:

Cho các vec-tơ

1 1 2 2

( , ), ( , ) a x y b x y

r r

và các điểm

1 1 2 2

( , ), ( , ) A x y B x y

1 2 1 2

. a b x x y y = +

r r

2 2

1 1

| | a x y = +

2 2

2 1 2 1

( ) ( ) d AB x x y y = = – + – 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos( , )

x x y y

a b

x y x y

+ + +

r r

1 2 1 2

0 a b x x y y ⊥ ⇔ + =

r r

12.2 Trong không gian:

Cho các vec-tơ

1 1 1 2 2 2

( , , ), ( , , ) a x y z b x y z

r r

và các điểm

1 1 1 2 2 2

( , , ), ( , , ) A x y z B x y z

1 2 1 2 1 2

. a b x x y y z z = + +

r r

2 2 2

1 1 1

| | a x y z = + +

2 2 2

2 1 2 1 2 1

( ) ( ) ( ) d AB x x y y z z = = – + – + – 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos( , )

x x y y z z

a b

x y z x y z

+ +

+ + + +

r r

1 2 1 2 1 2

0 a b x x y y z z ⊥ ⇔ + + =

r r

20. Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian:

20.1 Đường thẳng trong mặt phẳng:

a. Khoảng cách:

+ Khoảng cách từ điểm M(x

, y

) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0

0 0

2 2

| Ax | By C

A B

+ +

http://kinhhoa.violet.vn 10Ôn tập toán 10 – 11 – 12

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C

= 0 và Ax + By + C

= 0

1 2

2 2

| | C C

A B

– +

b. Vị trí tương đối 2 đường thẳng:

) : A

x + B

y + C

= 0

) : A

x + B

y + C

= 0

1 1

1 2

2 2

1 1 1

1 2

2 2 2

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2 1 2 1 2

*( ) ( )

*( ) / /( )

*( ) ( )

A B

d d

A B

A B C

d d

A B C

d d

A B C

d d A A B B

ϕ ∩ ≠ ⇔ ≠

⇔ = ≠

≡ ⇔ = =

⊥ ⇔ +

c. Góc giữa 2 đường thẳng:

) : A

x + B

y + C

= 0

) : A

x + B

y + C

= 0

1 2

( , ) d d α =

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

| |

cos

A A B B

A B A B

+ +

d. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d

)và (d

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

A x B y C A x B y C

A B A B

+ + + +

= ±

+ +

(góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + )

e. Phương trình chùm đường thẳng có tâm là giao của 2 đường thẳng (d

)và (d

1 1 1 2 2 2

( ) ( ) 0 A x B y C A x B y C α β + + + + + =

với

2 2

0 α β + >

20.2 Đường thẳng trong không gian:

Góc giữa 2 đường thẳng:

) có vector chỉ phương

1 1 1

( , , ) u a b c =

) có vector chỉ phương

2 2 2

( , , ) v a b c =

là góc giữa (d

) và (d

)

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

| |

cos

a a b b c c

a b c a b c

+ +

+ + + +

http://kinhhoa.violet.vn 11Ôn tập toán 10 – 11 – 12

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 0 d d a a b b c c ⊥ ⇔ + + =

21. Mặt phẳng:

a. Khoảng cách từ điểm M(x

, y

) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

0 0 0

2 2 2

| | Ax By Cz D

A B C

+ + +

+ +

b. Chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng:

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) : 0

P A x B y C z D

Q A x B y C z D

+ + + =

là phương trình mặt phẳng có dạng:

1 1 1 1 2 2 2 2

( ) ( ) 0 A x B y C z D A x B y C z D α β + + + + + + + =

22.Cấp số cộng:

+ Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số

hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.

n n

n N U U d

∀ ∈ = +

+ Tính chất của cấp số cộng :

1 2 1 n n n n

U U U U

+ + +

– = – 2

n n

U U

+ Số hạng tổng quát:

( 1)

U U d n = + – + Tổng n số hạng đầu:

( )

a a n

2 ( 1)

a d n

U n

+ – =

23. Cấp số nhân:

+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng

thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1

gọi là công bội.

“n Є N

, U

n + 1

= U

+ Tính chất :

http://kinhhoa.violet.vn 12Ôn tập toán 10 – 11 – 12

1 2

n n

U U

+ +

1 2

n n n

U U U

+ +

, U

> 0

+ Số hạng tổng quát :

= U

n – 1

+ Tổng n số hạng đầu tiên:

1 2 1

…

n n

S U U U U

– = + + + =

– + Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1

1 2

…

n n

S U U U

= + + + =

– CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN 12

I. Đạo hàm:

1. Bảng các đạo hàm cơ bản:

STT Hàm số y Đạo hàm y’

1 C 0

2 x 1

3 x

4 x

2 x

5 x

n.x

n-1

– 7 e

8 a

.lna

9 ln|x|

≠

10 log

ln x a

11 x

α 1

– 12 sinx cosx

13 cosx sinx

14 tgx

cos x

http://kinhhoa.violet.vn

STT Hàm số y Đạo hàm y’

1 u

‘

‘ u

– 3 e

u’.e

4 a

.lna.u’

5 ln|u|

‘ u

6 log

‘

.ln

u a

7 sinu cosu.u’

8 cosu sinx.u’

9 tgu

‘

cos

10 cotgu

‘

sin

– 11 y=f(u) và u=g(x) y

‘

(x)

=y’

(u)

.g’

(x)

13Ôn tập toán 10 – 11 – 12

15 cotgx

sin x

– 2. Tính chất của đạo hàm:

a. (u + v)’ = u’ + v’

b. (u – v)’ = u’ – v’

c. (u.v)’ = u’.v + u.v’

d. (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’

‘

‘. ‘. u u v v u

v v

– ⎛ ⎞

⎜ ÷

⎝ ⎠

II. Nguyên hàm:

1. Bảng các nguyên hàm cơ bản:

STT Hàm số & Nguyên hàm

dx x C = +

∫

x dx C

= +

∫

( 1) α ≠ – 3

ln | |

dx x C

= +

∫

( 0) x ≠

x x

e dx e C = +

∫

a dx C

= +

∫

(0 1) a < ≠

sin cos xdx x C = – +

∫

cos sin xdx x C = +

∫

cos

dx tgx C

= +

∫

( )

x k

π ≠ +

sin

dx cotgx C

= – +

∫

( ) x kπ ≠

2. Một số nguyên hàm khác:

* Hàm y =

( )

x α – (m

≠

1) . Hàm số có dạng :

‘

= u’.u

-m

≠

1) với u = x-

Nguyên hàm là :

( )

x α – ∫

= a.

( 1)( )

m x α

– – – – + C

* Hàm y =

2ax b

ax bx c

+ +

. Đặt t =

ax bx c + +

⇒

t’ = 2ax + b

http://kinhhoa.violet.vn 14Ôn tập toán 10 – 11 – 12

Hàm số có dạng :

‘ t

⇒

Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln|

ax bx c + + | + C

⇒

ln | |

ax b

dx ax bx c C

ax bx c

= + + +

+ +

∫

* Hàm

ax bx c

+ +

. Ta có các trường hợp sau :

+ Mẫu số

ax bx c + + có 2 nghiệm phân biệt x

và giả sử x

< x

. Ta có :

ax bx c + + =

1 2

( )( ) a x x x x – – . Ta có thể viết như sau :

ax bx c + +

∫

1 2

( )( )

a x x x x – – ∫

1 2

1 2 2 1

( ) ( ) 1

( )( )

x x x x dx

a x x x x x x

⎡ ⎤ – – – ⎢ ⎥

– – – ⎣ ⎦

∫

2 1 1 2

1 1 1

( )

a x x x x x x

⎡ ⎤

– ⎢ ⎥

– – – ⎣ ⎦

∫

2 1 1

( )

x x

a x x x x

– +

– – + Mẫu số có nghiệm kép :

2 2

( ) ax bx c a x m + + = – 2 2 2

1 1 1 1

( ) ( )

dx dx

dx C

ax bx c a x m a x m a x m

– = = = +

+ + – – – ∫ ∫ ∫

+ Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm):

2 2

( ) ax bx c a x m n + + = + ± . Đặt u =

( ) x m + . Ta có :

2 2

. ax bx c a u n + + = +

⇒

au n +

∫

. Đặt

u tgt

2 2

. ax bx c a u n + + = –

⇒

au n – ∫

. Nguyên hàm là :

1 1 1 1 1

dx C

au n a a n n

a a

– = = +

– – +

∫ ∫

3. Họ nguyên hàm của các hàm vô tỉ :

3.1. Hàm số có dạng :

2 2

( ) f x

x k

;

2 2

( ) f x

x k

– * Cách 1 : Đặt

2 2

x k +

= -x + t

⇒

t = x +

2 2

x k +

⇒

dt =

2 2

(1 )

x k

2 2

x k x

x k

+ +

2 2

x k +

http://kinhhoa.violet.vn 15Ôn tập toán 10 – 11 – 12

⇒

2 2

dx dt

x k

. Do đó :

2 2

ln | | ln | |

dx dt

t C x x k C

x k

= = + = + + +

∫ ∫

*Cách 2: Biến đổi :

2 2

2 2 2 2 2 2

( )

x x k

x k x k x x k

+ +

+ + + +

( Nhân tử và mẫu với

2 2

x x k + +

)

Ta có :

2 2

( )

x k

f x

x x k

+ +

( Chia tử và mẫu cho

2 2

x k +

)

Đặt

2 2

t x x k = + +

. Suy ra :

2 2

(1 )

dt x

x k

= +

⇒

( ) f x dx =

Vậy nguyên hàm là :

2 2

( ) ln | | ln | | f x dx t C x x k C = + = + + +

∫

Tương tự :

2 2

x k – ∫

2 2

ln | | x x k C = + – + .

3.2. Hàm số dạng :

2 2

( ) f x

k x

– và

2 2

( ) f u

k u

– Đặt sin x k t = với

[ ; ]

2 2

π π – ∈

(hoặc cos x k t = với

[0; ] x π ∈

)

⇒

cos dx k tdt =

⇒

2 2 2 2

1 cos .

(1 sin )

k t dt

k x k t

– – ∫ ∫ =

cos . cos .

| cos |

cos )

k t dt t dt

k t

∫ ∫

Vì

[ ; ]

2 2

π π – ∈

nên cost > 0

⇒

cos . cos

| cos | cos

t dt t

dt dt t C

t t

= = = +

∫ ∫ ∫

Tương tự:

2 2

k u – ∫

= t C +

3.3. Hàm số dạng :

2 2

( ) f x x k = – ;

2 2

( ) f u u k = – Nguyên hàm là :

2 2 2 2 2 2

ln | |

2 2

x k

x k dx x k x x k C – = – + + – +

∫

Cách khác: đặt

sin

hoặc

cos

với

[0; ]

∈

3.4. Hàm số dạng :

( ) f x ax bx c = + +

⇒

Ta biến đổi về một trong hai dạng sau:

2 2

( ) f x u k = – hoặc

2 2

( ) f x u k = + rồi áp dụng

theo mục 3.

3.5. Hàm số dạng :

2 2

( ) f x x k = + và

2 2

( ) f u u k = +

Đặt

x ktgt =

u ktgt =

với

[- ; ]

2 2

π π

∈

http://kinhhoa.violet.vn 16Ôn tập toán 10 – 11 – 12

3.6. Hàm số dạng :

2 2

( ) f x

x m

– hoặc

2 2

( ) f u

u m

– Phân tích thành :

2 2

( ) f x

x m

– =

1 1

x m x m

– +

rồi áp dụng theo công thức đã học.

3.7. Hàm số dạng :

2 2

( ) f x

x m

hoặc

2 2

( ) f u

u m

+ Đặt

x mtgt =

u mtgt =

với

[- ; ]

2 2

π π

∈

⇒

2 2

2 2 2 2

1 1 | ost |

cos os t

( 1)

m c

dx dt dx

t c

x m m tg t

= =

+ +

∫ ∫ ∫

Vì

[- ; ]

2 2

π π

∈

nên

2 2

| ost | ost

os t 1 sin

c c

dx dt

c t

– ∫ ∫

+ Đặt tiếp : sin u t =

⇒

du = costdt .Do đó :

2 2

ost 1

1 sin 1

dt du

t u

– – ∫ ∫

1 1

2 1

– = – +

4. Các trường hợp tổng quát cần chú ý :

a. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với cosx : Đặt: t = sinx

b. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx : Đặt: t = cosx

c. Trường hợp: f(x) là hàm chẵn đới với sinx và cosx :

R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)

d. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx và cosx : Đặt: t = tgx

e.Trường hợp: f(x) chỉ chứa sinx hoặc cosx : Đặt

t tg =

* Phương pháp chung:

A. Dạng f(x) = sin

x.cos

x :

(a)

2 2

1 cos 2

sin ( )

xdx dx

– =

∫ ∫

(b)

2 2

1 cos 2

os ( )

c xdx dx

∫ ∫

(c)

2n 2

sin os

xc xdx

∫

. Thay cos

x = 1 – sin

x hoặc thay sin

x = 1 – cos

x rối chuyển về dạng

(a) hoặc (b).

B. Dạng :

sin

( )

x a

f x

c b

. Đặt t = tgx

http://kinhhoa.violet.vn 17