Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Giải Toán
Định lý Vi – et được giới thiệu, cung cấp đến học sinh từ chương trình học toán lớp 9. Nó bao gồm định lý thuận và định lý đảo. Định lý cho ta mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai và các hệ sống của phương trình đó.
1. Định lý Viet
Định lý Viet là gì?
Định lý Viet là công thức Toán học thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra. Viète được phiên âm theo tiếng Việt là Vi-ét.
Qua nhiều năm đi dạy, Gia sư môn Toán chúng tôi thấy được rằng Định lý Vi-et học ở chương trình đại số ở cấp 2 và cấp 3 có nội dung kiến thức quan trọng đối với học sinh.
-
2. Định lý Vi – et bậc 2
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c=0 (a khác 0), có hai nghiệm x1; x2 thì tổng và tích của chúng là x1+x2= -b/a; x1.x2=c/a. Ngược lại, nếu có hai số x1;x2; thỏa mãn
x1+x2=S và x1.x2=P
thì x1;x2 là nghiệm của phương trình t2 – St + P=0
Trong đó:
– Với x là ẩn số; x1,x2 là nghiệm của phương trình
– a,b,c là các số đã biết sao cho a khác 0, a,b,c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x.
– a là hệ số bậc hai
– b là hệ số bậc một
– c là hằng số hay số hạng tự do
-
3. Ứng dụng của định lý Vi – et bậc 2
– Dạng 1: Biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm
Trong khi làm bài tập dạng này, học sinh cần lưu ý sự tồn tại nghiệm của phương trình, sau đó biểu diễn các biểu thức qua x1+x2 và x1.x2 để có thể sử dụng định lý Vi – et. Các hằng đẳng thức thường dùng là:
a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab
a3 + b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)
– Dạng 2: Hệ đối xứng hai ẩn kiểu 1 là hệ gồm hai phương trình hai ẩn. Trong đó, nếu ta hoán đổi vai trò các ẩn trong từng phương trình thì mỗi phương trình đều không thay đổi. Để giải hệ đối xứng kiểu 1 bằng cách sử dụng định lý Vi – et, ta thường biểu diễn các phương trình qua tổng và tích của hai ẩn đó. Các hằng đẳng thức hay dùng là:
a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab
a3 + b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)
(a2)2 + (b2)2 = (a2+b2)2 – 2a2b2
– Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức
Định lý Vi –ét vẫn có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng thức. Tất nhiên, ở đây ta hiểu là dùng nó để biến đổi trung gian. Để có thể sử dụng định lý Vi –ét, thông thường các dữ kiện của bài toán thường đưa về được dưới dạng tổng và tích các ẩn. Qúa trình chứng minh ta có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, bất đẳng thức cổ điển, các phép biến đổi tương đương.
– Dạng 4: Ứng dụng vào bài toán tính cực trị của hàm số
Đây là dạng bài tập phổ biến trong các đề thi Đại học những năm gần đây, Điều quan trọng ở trong dạng bài tập này là làm sao học sinh biểu diễn được tọa độ điểm cực trị một cách gọn gang và nhanh chóng nhất.
– Dạng 5: Ứng dụng vào bài toán tiếp tuyến
Bài tập về tiếp tuyến thường liên quan tới các điều kiện tiếp xúc của đường cong và đường thẳng. Cần làm cho học sinh thấy rõ tọa độ điểm tiếp xúc thường là nghiệm của một phương trình nào đó mà ta có thể đưa về bậc hai để sử dụng định lý Vi –ét. Các kỹ thuật về nhẩm nghiệm cần được sử dụng tốt ở dạng bài tập này.
– Dạng 6: Tương giao của 2 đồ thị và tập hợp điểm
Đây cũng là dạng bài tập hay gặp trong các kỳ thi tuyển sinh. Khi gặp dạng bài tập này, học sinh cần viết phương trình hoành độ giao điểm. Từ phương trình đó, học sinh sử dụng định lý Vi –ét để biểu diễn các biểu thức đề bài yêu cầu qua hệ số của phương trình. Cuối cùng là đánh giá biểu thức đó thông qua hệ số vừa thay vào.
– Dạng 7: Ứng dụng của 1 hệ thức truy hồi
Việc ứng dụng hệ thức truy hồi tuyến tính giúp học sinh có thể áp dụng giải quyết được rất nhiều những dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Từ đơn giản đến phức tạp.
– Dạng 8: So sánh nghiệm của tam thức bâc 2 với 1 số
Bài toán định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức bất kỳ không còn được trình bày trong chương trình học chính khóa mà nó đã được giảm tải theo quy định của chương trình mới. Tuy nhiên, quá trình giảng dạy và làm vài tập, nếu học sinh biết sử dụng định lý đảo và bài toán so sánh nghiệm thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn rất nhiều.
Định lý đảo: Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx +c = 0 (a khác 0). Nếu có số thực α sao cho af(α) 1;x2 và
x1 <α < x2
-
4. Định lý Vi –ét bậc 3
– Nếu phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d=0 (a khác 0) có 3 nghiệm x1,x2,x3 thì
x1 + x2 + x3 = -b/a
x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a
x1x2x3 = -d/a
– Trong đó:
+ Với x là ẩn số, x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình
+ a,b,c,d là các số đã biết sao cho a khác 0; a,b,c,d là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x.
+ a là hệ số bậc ba
+ b là hệ số bậc hai
+ c là hệ số bậc một
+ d là hằng số hay số hạng tự do
Xem thêm
– Định lý Talet
– Công thức tính diện tích tam giác thường, vuông, cân
– Công thức tính chu vi và diện tích hình chữ nhật
– Tính chất và dấu hiệu nhận biết hình thoi, hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật