Độ dài đường tròn, cung tròn – VnHocTap.com

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Độ dài đường tròn, cung tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.

Nội dung bài viết Độ dài đường tròn, cung tròn:
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Độ dài đường tròn 1 Độ dài đường tròn (hay Chu vi hình tròn) được kí hiệu là C. 2 Độ dài C của một đường tròn bán kình R được tính theo công thức C = 2πR. 3 Nếu gọi d là đường kính của đường tròn (d = 2R) thì C = πd. d R A B O Trong đó π đọc là pi và π ≈ 3,14 (π = 3,14159265…). 2. Độ dài cung tròn 1 Đường tròn bán kính R (ứng với cung 360◦) có độ dài là 2πR. 2 Mỗi cung 1 ◦ bán kính R có độ dài là 2πR 360 = πR 180. 3 Một cung n◦, bán kính R có độ dài l = πRn 180. B CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ 1. 1 Tính độ dài cung 60◦ của một đường tròn có bán kính 2 dm. 2 Tính chu vi của một vành xe đạp có đường kính 650 mm. LỜI GIẢI. 1 Độ dài cung 60◦ của đường tròn có bán kính 2 dm = 20 cm là l = πRn 180 = π · 20 · 60 180 = 20π 3 ≈ 20,9 (cm). 2 Chu vi của vành xe đạp đường kính 650 mm là C = πd = 650π ≈ 204,2 (cm). VÍ DỤ 2. Tính độ dài của đường tròn, biết 1 Đường tròn có bán kính bằng 6 cm. 2 Đường tròn có đường kính 8 cm. 3 Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh bằng 2 √3 cm.
LỜI GIẢI. 1 Độ dài đường tròn bán kính 6 cm là C = 2πR = 2 · π · 6 ≈ 37,7 (cm). 2 Độ dài đường tròn đường kính 8 cm là C = πd = 8π ≈ 25,1 (cm). 3 Giả sử có O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC. Qua A kẻ đường cao AH. Khi đó ta có R = OA = 2 3 AH = 2 3 · 2 √3 · √3 2 = 2 (cm). Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là C = 2πR = 2 · π · 2 = 4π ≈ 12,57 (cm). B O C A H VÍ DỤ 3. Cho (O; OM). Vẽ đường tròn (O0) đường kính OM. Một bán kính OA của (O) cắt (O0) ở B. Chứng minh hai cung MA và MB có độ dài bằng nhau. LỜI GIẢI. Trên (O0) đặt MOA = α thì BO 0M = 2α (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BM). Suy ra sđAM¯ = α, sđMB¯ = 2α. Do đó lMA¯ = π · OM · α 180◦ (1) lMB¯ = π · OM · 2α 180◦ · 2 = π · OM · α 180◦. (2) Từ (1) và (2) suy ra lMA¯ = lMB¯. Vậy hai cung MA¯ và MB¯ có độ dài bằng nhau. α 2α A M B O O0 VÍ DỤ 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Giả sử AM = 1 cm, CD = 2√3 cm. Tính 1 Độ dài đường tròn. 2 Độ dài của CAD.
LỜI GIẢI. 1 Ta có AB ⊥ CD tại M (giả thiết) nên MC = MD = CD : 2 = √3 (cm) (tính chất đường kính và dây cung). Lại có ACB = 90◦ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó, 4ACB vuông tại C có đường cao CM (CD ⊥ AB tại M). Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao trong tam giác vuông ACB ta có A M O B C D MC2 = MA · MB ⇒ MB = MC2 MA = √3 2 1 = 3 ⇒ R = 1 2 AB = 1 2 (AM + MB) = 2 (cm). Độ dài đường tròn: C = 2πR = 2π · 2 = 4π ≈ 12,57 (cm). b) Ta có AM = 1 cm, OA = 2 cm ⇒ MA = MO = 1 cm. Xét tứ giác OCAD có MC = MD (chứng minh trên) MA = MO (chứng minh trên) CD ⊥ OA (giả thiết) ⇒ OCAD là hình thoi. ⇒ CA = CO = OA (cùng bằng 2 cm) nên 4OAC đều ⇒ AOC = 60◦ ⇒ COD = 120◦. Độ dài của CAD lCAD = πRn 180 = π · 2 · 120 180 = 4π 3 ≈ 4,19 (cm). Nhận xét. 1. Trong câu a), để tính được độ dài đường tròn chúng ta cần đi tìm bán kính dựa trên việc tính độ dài của đường kính AB.
Tuy nhiên, ta cũng có thể tính được R bằng cách: Trong tam giác vuông OMC, ta có OC2 = OM2 + MC2 = (OA − AM) 2 + MC2 ⇒ R2 = (R − 1)2 + √3 2 ⇔ R = 2 (cm). 2. Trong câu b), với yêu cầu Tính độ dài của cung CAD, chúng ta cần thực hiện theo 2 bước Bước 1: Tính số đo của cung CAD, tức là tính COA. Bước 2: Sử dụng công thức tính độ dài cung. VÍ DỤ 5. Cho đường tròn (O), dây AB = 9 cm có khoảng cách đến tâm bằng một nửa bán kính của đường tròn. 1 Tính chu vi đường tròn. 2 Tính độ dài cung nhỏ AB. LỜI GIẢI. 1 Kẻ OH ⊥ AB. Khi đó HA = HB (tính chất đường kính và dây cung). ⇒ HB = 1 2 AB = 1 2 · 9 = 4,5 (cm). Trong tam giác vuông OHB, ta có sin B = OH OB = 1 2 ⇒ B = 30◦. cos B = HB OB ⇒ OB = HB cos B = 4,5 cos 30◦ = 3√3 (cm). Chu vi đường tròn: C = 2πR = 2π · 3 √3 ≈ 32,65 (cm). 2 Ta có B = 30◦ ; ⇒ BOH = 90◦ − 30◦ = 60◦ ⇒ AOB = 2BOH = 2 · 60◦ = 120◦ ⇒ sđAB˜ = 120◦. A B H O Độ dài cung nhỏ AB: lAB˜ = πRn 180 = π3 √3 · 120 180 ≈ 10,88 (cm).
Nhận xét. 1. Để tính chu vi đường tròn hoặc độ dài đường tròn, bao giờ ta cũng phải tính bán kính của nó. Bán kính này là cạnh huyền OB của tam giác vuông OHB. Tam giác đó có cạnh góc vuông OH bằng một nửa cạnh huyền. Hãy nhớ lại nếu một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng một nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó bằng 30◦. Có thể chứng minh trực tiếp điều này vào bài toán: sin B = OH OB = 1 2 ⇒ B = 30◦. 2. Trong lời giải câu b), ta tính trực tiếp độ dài cung AB, đó là 1 3 chu vi của đường tròn (vì AOB = 120◦). Nếu áp dụng công thức tính độ dài cung 120◦, ta có π · R · 120 180 = π · 3 √3 · 120 180 = 2π √3 cm. VÍ DỤ 6. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C (hình vẽ bên).
Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC. A B C LỜI GIẢI. Gọi C1, C2, C3 lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường kính AC, AB và BC. Khi đó C1 = 1 2 · π · AC = π 2 AC; C2 = 1 2 · π · AB = π 2 AB; C3 = 1 2 · π · BC = π 2 BC. Xét C2 + C3 = π 2 AB + π 2 BC = π 2 (AB + BC) = π 2 AC = C1. Vậy C1 = C2 + C3 (điều phải chứng minh). Nhận xét. 1. Người ta có thể phát biểu bài toán trên theo chiều ngược lại như sau: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh rằng độ dài đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài đường tròn đường kính AB và BC. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa A và C. 2. Từ đó, ta có kết quả tổng quát: C(AC) ≤ C(AB) + C(BC). C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 1. Một tam giác đều và một hình vuông cùng có chu vi là 72cm.
Hỏi đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu? LỜI GIẢI. Gọi a, b lần lượt là độ dài cạnh của tam giác đều và hình vuông. Suy ra 3a = 72 ⇔ a = 24(cm); 4b = 72 ⇔ b = 18(cm). Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều và hình vuông. Suy ra R1 = a 2 sin 180◦ 3 = 24 2 sin 60◦ = 8√3 (cm); R2 = b 2 sin 180◦ 4 = 18 2 sin 45◦ = 9√2 (cm). Khi đó C1 = 2πR1 = 16π √3 ≈ 87,06 (cm); C2 = 2πR2 = 18π √2 ≈ 79,97 (cm). Vậy C1 > C2 và C1 − C2 ≈ 7,08. BÀI 2. Cho đoạn thẳng AD = 12cm. Các điểm B, C cùng thuộc đoạn thẳng AD sao cho AB = CD. Vẽ các đường tròn có đường kính theo thứ tự là AD và BC. Biết chu vi đường tròn lớn bằng ba lần chu vi đường tròn nhỏ. Tính chu vi của đường tròn nhỏ.
LỜI GIẢI. Ta có đường tròn lớn là đường tròn đường kính AD nên bán kính R = AD : 2 = 6 (cm). Do chu vi đường tròn lớn bằng ba lần chu vi đường tròn nhỏ nên bán kính đường tròn lớn cũng gấp ba lần bán kính đường tròn nhỏ. Suy ra đường tròn đường kính BC có bán kính r = R : 3 = 6 : 3 = 2 (cm). Vậy chu vi của đường tròn nhỏ là C = 2πr = 2π · 2 = 4π.