Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường đẳng chéo nhau.

Hình 1. Khoảng cách giữa hai đường  chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau
 

Đường thẳng $d_1$ có vector chỉ phương là ${\vec u_1}$, đi qua điểm $M_1$;

Đường thẳng $d_2$ có vector chỉ phương là ${\vec u_2}$, đi qua điểm $M_2$.

 

Khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$, ký hiệu $d\left( {{d_1},{d_2}} \right)$, được tính theo công thức $$d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}.$$

 

Cách khác:

   Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$. Suy ra ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right].$

 

Bước 2. $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {{d_2},\left( P \right)} \right) = d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right).$

Ví dụ.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 5 – 2t\\
z = 14 – 3t
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 – 4\lambda \\
y = 3 + \lambda \\
z =  – 1 + 5\lambda
\end{array} \right..$
 

Giải. Ta có ${\vec u_1} = \left( {1; – 2; – 3} \right),\;\;{\vec u_1} = \left( { – 4;1;5} \right) \Rightarrow \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { – 7;7; – 7} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { – 7} \right)}^2} + {7^2} + {{\left( { – 7} \right)}^2}}  = 7\sqrt 3 .$
Ta cũng có ${M_1}\left( {0;5;14} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {9;3; – 1} \right) \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {9; – 2; – 15} \right).$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] =  – 7 \cdot 9 + 7 \cdot \left( { – 2} \right) – 7 \cdot \left( { – 15} \right) = 28.$
Như vậy $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{28}}{{7\sqrt 3 }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$

 

Cách khác.

Ta có ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { – 7;7; – 7} \right) =  – 7\left( {1; – 1;1} \right)$ và $M\left( {0;5;14} \right) \in {d_1} \subset \left( P \right).$ Suy ra $$\left( P \right):1 \cdot \left( {x – 0} \right) – 1 \cdot \left( {y – 5} \right) + 1 \cdot \left( {z – 14} \right) = 0 \Leftrightarrow x – y + z – 9 = 0.$$ Như vây  $$d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {9 – 3 – 1 – 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$$
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)