Lý thuyết và bài tập về Công thức nhân đôi, nhân ba Toán 10 – Tài liệu text

Lý thuyết và bài tập về Công thức nhân đôi, nhân ba Toán 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (934.97 KB, 8 trang )

<span class=’text_page_counter’>(1)</span><div class=’page_container’ data-page=1>

Trang | 1

<b>LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC NHÂN ĐƠI, NHÂN BA </b>

<b>TỐN 10 </b>

<b>I. Lý thuyết </b>

<b>1. Công thức nhân đôi </b>
sin 2<i>a</i>2sin cos<i>a</i> <i>a</i>

2 2 2 2

cos 2<i>a</i>cos <i>a</i>sin <i>a</i>2cos <i>a</i>  1 1 2sin <i>a</i>
2

2 tan
tan 2

1 tan

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>

2
cot 1
cot 2

2 cot
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>

<b>2. Công thức hạ bậc </b>

<i><b>* Công thức hạ bậc: </b></i>

2
2
2
2

1 cos 2
sin

2
1 cos 2
cos

2
1 cos 2
tan

1 cos 2
1 cos 2
cot

1 cos 2
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>




<i><b>* Cơng thức chia đơi </b></i>(tính theo tan
2

<i>a</i>

):

Đặt

2
2

2 2 2

2 1 cos 1 2

tan tan ; cos ;sin

2 1 1 cos 1 1

<i>a</i> <i>t</i> <i>a</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>a</i> <i>t</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>t</i> <i>a</i> <i>t</i> <i>t</i>

 

      

   

<b>3. Công thức nhân ba </b>
3
3

3
2
sin 3 3sin 4 sin
cos 3 4 cos 3cos

3 tan tan
tan 3

1 3 tan

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

 

 


</div>
<span class=’text_page_counter’>(2)</span><div class=’page_container’ data-page=2>

(2)

Trang | 2

<b>Ví dụ:</b> Cho sin 5; 3

13 2

     . Khi đó giá trị biểu thức sin 2 cos 2 tan 2 gần nhất với giá
trị nào?

<b> A.</b> 2 <b>B.</b> 1 <b>C.</b> 1 <b>D.</b> 2

<b>Lời giải</b>

Vì sin 5;
13

   thuộc góc phần tư thứ III nên cos0.

Vậy

2
2

5 12 5

cos 1 tan

13 13 12

       

Có: sin 2 cos 2 tan 2 2sin cos

1 2sin2

2 tan<sub>2</sub> 1,508
1 tan

1 2sin22 tan2 1,5081 tan

     

    

 .

<b>Đáp án D. </b>

<b>II. Bài tập </b>

<b>Bài 1:</b> Đơn giản biểu thức <i>A</i>cos .cos 2 .cos 4 …cos 2<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>nx</i> ta được kết quả là:

<b> A.</b> sin

sin

<i>nx</i>

<i>n</i> <i>x</i> <b>B.</b>

1
1
sin 2
2 sin

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

 <b>C.</b>

sin 2
2 sin

<i>n</i> <i>x</i>

<i>n</i> <i>x</i>

 <b>D.</b>

1
cos 2<i>n</i>

<i>x</i>

<b>Lời giải</b>

Có .sin sin .cos .cos 2 …cos 2 1sin 2 .cos 2 …cos 2
2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>A</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

2 2

2

1 1

sin 2 cos 2 …cos 2 sin 2 cos 2

2 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

1
1
sin 2
2 sin

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>x</i>
<i>A</i>

<i>x</i>

 

</div>
<span class=’text_page_counter’>(3)</span><div class=’page_container’ data-page=3>

(3)

Trang | 3

<b>Bài 2:</b> Cho cot
14 <i>a</i>

 <sub></sub>

. Khi đó giá trị biểu thức sin2 sin4 sin6

7 7 7

<i>K</i>       là:

<b> A.</b><i> a </i> <b>B.</b>

2
<i>a</i>

<b> C.</b>



2 2

3
2

4 1 3 1

1

<i>a a</i> <i>a</i>

<i>a</i>

 

 <b>D.</b>



3
2

2 2

1

4 1 3 1

<i>a</i>

<i>a a</i> <i>a</i>

 

<b>Lời giải</b>

Ta có:

2
2

2 2

2 2

2 1

1

1 2 6 1

tan sin sin ; cos

1 1

14 7 1 7 7 1

1 1

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

 <sub> </sub>  <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>   <sub></sub>  <sub></sub> 

 

 

2
2
2

4 1

2

sin 2sin cos

7 7 7 <sub>1</sub>

<i>a a</i>

<i>a</i>

a

   

  


3

4 3

sin sin 3sin 4sin

7 7 7 7

   

  

3 2

4 6

sin sin 4sin 4sin 4sin 1 sin

7 7 7 7 7 7

      

     <sub></sub>  <sub></sub>

 

2 2

4sin .cos 2sin cos

7 7 7 7

   

 

Khi đó:



2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> 2 2

2 2 3

2 2

4 1 4 1 3 1

2 2 2 1

sin 2 cos 1 .

7 7 <sub>1</sub> 1 <sub>1</sub>

<i>a a</i> <i><sub>a</sub></i> <i><sub>a</sub></i> <i>a a</i> <i>a</i>

<i>K</i>

<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

         

 <sub></sub>  <sub></sub> 

  <sub></sub> <sub></sub>

<b>Đáp án C. </b>
<b>Bài 3:</b> Tính <i>sin 2x biết: </i>2

2 2 2 2

1 1 1 1

7
tan <i>x</i>cot <i>x</i>sin <i>x</i>cos <i>x</i>

<b> A.</b> 4

9 <b>B.</b>

8

9 <b>C.</b>

2

9 <b>D.</b>

</div>
<span class=’text_page_counter’>(4)</span><div class=’page_container’ data-page=4>

(4)

Trang | 4

<b>Lời giải</b>

Ta có:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

1 1

cot tan 7

cos sin
tan 1 cot 1

1 1

9
cos sin

2 2

9
sin cos

2

9
sin cos

2
sin cos

9

8
sin 2 4 sin cos

9
+

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

   

 

  

 

 

  

<b>Đáp án B </b>
<b>Bài 4:</b> Tổng: 1 1 1 … 1<sub>2018</sub>

sin sin 2 sin 4 sin 2
<i>S</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

     là:

<b> A.</b> tan tan 22018
2

<i>a</i>

<i>a</i>

 <b>B.</b> cot cot 22018

2
<i>a</i>

<i>a</i>

<b>C.</b> tan tan 2018
2

<i>a</i>

<i>a</i>

 <b>D.</b> cot cot 2018

2

<i>a</i>

<i>a</i>

<b>Lời giải</b>

Sử dụng công thức:

2 2

1

cot cot

sin 2

1 tan 1 tan

1

2 2

2 tan tan 2 tan

2 2 2

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 

  

(cơng thức tính theo tan
2

<i>x</i>

)

</div>
<span class=’text_page_counter’>(5)</span><div class=’page_container’ data-page=5>

(5)

Trang | 5
2018

2017 2018
2018

1 1 1

sin sin 2 sin 4
1

sin 2
cot cot cot cot 2

2

… cot 2 cot 2
cot cot 2

2

<i>S</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

  

 

   

  

 

<b>Đáp án B </b>

<b>Bài 5:</b> Thu gọn biểu thức:

cos cos 3 cos 5 … cos 2 1

<i>S</i>      <i>n</i>  với <i>k</i>

<b> A.</b> sin 2

2sin
<i>n</i>

 <b>B.</b>

sin
sin

<i>n</i>

<b> C.</b> cos 2

2 cos

<i>n</i>

 <b>D.</b>

cos
cos

<i>n</i>

<b>Lời giải</b>

2 sin 2 sin cos 2 sin cos 3
2 sin cos 2 1
sin 2 sin 2 sin 4
sin 4 sin 6

… sin 2 2 sin 2
sin 2

sin 2
2 sin
+…+

<i>S</i>

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>
<i>S</i>

    

 

  

 

  



 

   

  

   


 

<b>Đáp án A </b>
<b>Bài 6:</b> Giả sử sin6<i>x</i>cos6<i>x</i> <i>a b</i>cos 4<i>x</i> với ,<i>a b</i> . Khi đó tổng <i>a b</i> bằng:

<b> A.</b> 3

8 <b>B.</b>

5

8 <b>C.</b> 1 <b>D.</b>

3
4

<b>Lời giải</b>

</div>
<span class=’text_page_counter’>(6)</span><div class=’page_container’ data-page=6>

(6)

Trang | 6

6 6

3

2 2

2 2 2 2

2 2 2

sin cos
sin cos

3sin cos sin cos
3
1 3sin cos 1 sin 2

4
3 1 cos 4 5 3

1 cos 4 x

4 2 8 8

5 3

;

8 8

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>a</i> <i>b</i>

 

 

   

 

  <sub></sub> <sub></sub> 

 

  

<b>Đáp án C </b>
<b>Bài 7:</b> Cho sin cos 1

2

<i>a</i> <i>a</i> với
2 <i>a</i>

 <sub> </sub><sub></sub>

  

. Giá trị của <i>tan 2a</i> là:

<b> A.</b> 3

4

 <b>B.</b> 3

7 <b>C.</b>
3

7

 <b>D.</b> 3

4

<b>Lời giải</b>

2 2

2 2

2
2

2

1
sin cos

2

sin cos 1

1

sin cos

2

sin cos 1

1

cos cos 1

2

3

2 cos cos 0

4

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

 <sub></sub> <sub></sub>


 <sub></sub> <sub></sub>

 <sub> </sub>


 

 <sub></sub> <sub></sub>

 

<sub></sub>  <sub></sub>  

 

   

<b> </b>


2 <i>a</i>

 <sub></sub>

  <b> </b>

</div>
<span class=’text_page_counter’>(7)</span><div class=’page_container’ data-page=7>

(7)

Trang | 7

 

<sub></sub>

<sub></sub>



2

2

2
3
2 cos cos 0

4
1 7
cos

4
1 7
cos

4

1 7 1 7

sin tan

4 1 7

2 tan
tan 2

1 tan
2 1 7

8 2 7
1 7 1

8 2 7
2 1 7

4 7
1 7 .

1 7

2 1 7 1 7 <sub>12</sub> <sub>3</sub>

4 7 4 7 7

kh«ng t/m

t/m

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>

  

 <sub></sub>



 <sub></sub>


 

   

 



 <sub></sub> 

 <sub></sub>  <sub></sub>

 


  <sub></sub> <sub></sub>

  

<b>Đáp án C </b>
<b>Bài 8:</b> Tính giá trị biểu thức <i>P</i>sin4<i>a</i>cos4<i>a</i> biết sin 2 2

3

<i>a</i> .

<b> A.</b> 1

3 <b>B.</b> 1 <b>C.</b>
9

7 <b>D.</b>
7
9

<b>Lời giải</b>

4 4

2

2 2

P sin cos

sin 2
cos 1

2
2 7

9 9
=1-2sin

=1

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

 

 
 

</div>
<span class=’text_page_counter’>(8)</span><div class=’page_container’ data-page=8>

(8)

Trang | 8
<b>Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội </b>
<b>dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, </b>

<b>giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên </b>

danh tiếng.

<b>I. </b> <b>Luyện Thi Online</b>

– <b>Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng </b>
<b>xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và </b>
Sinh Học.

– <b>Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các </b>

<i>trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường </i>
<i>Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn </i>
<i>Đức Tấn. </i>

<b>II. </b> <b>Khoá Học Nâng Cao và HSG </b>

– <b>Toán Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạtđiểm tốt ở các kỳ thi HSG.

– <b>Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp </b>
<i>dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh </i>
<i>Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc </i>
<i>Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia. </i>

<b>III. </b> <b>Kênh học tập miễn phí</b>

– <b>HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả </b>
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

– <b>HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi </b>
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý – Hoá, Sinh- Sử – Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

<i> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </i>

<i>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </i>

</div>

<!–links–>
<a href=’https://hoc247.vn/luyen-thi-thpt-quoc-gia-2018.html’> </a>
<a href=’https://hoc247.vn/’> </a>
<a href=’https://hoc247.net/’> </a>
<a href=’https://www.youtube.com/c/hoc247tvc’> </a>