Phép Quay: Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập | Toán 11

Phép quay là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán lớp 11. Trong đó, lý thuyết, công thức của phép quay khá phức tạp. Vì vậy, để làm được dạng bài tập này các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và bài tập phép quay qua bài viết dưới đây nhé!

1. Lý thuyết phép quay

1.1. Định nghĩa

Ta có góc lượng giác và điểm O. Phép tịnh tiến biến điểm O thành chính nó và điểm M khác điểm O thành M’ để OM = OM’ và góc (OM, OM’) = $\alpha $ gọi là phép quay tâm O với góc $\alpha $.

Phép quay tâm O và góc $\alpha $ thường được ký hiệu: Q(o,$\alpha $).

1.2. Nhận xét

Một số nhận xét quan trọng về bài 5 phép quay toán 11 cần ghi nhớ:

Chiều (+) của phép quay sẽ trùng với chiều (+) của đường tròn lượng giác, đó là chiều ngược với kim hồ.

Phép quay $Q(0,2k\pi )\forall $ số nguyên k là phép đồng nhất.

Phép quay $Q(0,(2k+1)\pi )\forall $ số nguyên k là phép đối xứng tại O.

1.3. Biểu diễn ảnh của phép quay

Cho ABC và điểm O. Biểu diễn ảnh A’B’C’ của ABC qua phép quay tâm O một góc bằng $\frac{\pi }{2}$.

Ta có: 

2. Tính chất của phép quay

Phép quay lớp 11 sẽ có một số tính chất quan trọng sau đây:

• Trong phép quay khoảng cách giữa 2 điểm bất kì luôn được bảo toàn.

• Phép quay sẽ biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn giống bán kính và biến tam giác thành tam giác bằng nó.

• Trong phép quay với ($0,\frac{\pi }{2}$) biến d thành d’ sao cho góc giữa đường thẳng d và d’ bằng .

3. Công thức của phép quay

   

4. Các dạng bài tập phép quay và phương pháp giải

4.1. Dạng 1: Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép quay

Phương pháp giải chung là áp dụng định nghĩa, dữ liệu đề bài và tính chất phép quay:

$Q_{O,\alpha }(M)=M’ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}OM’=OM\\(OM;OM’)=\alpha \end{matrix}\right.
\overrightarrow{IM’}=-\overrightarrow{IM}$

Ví dụ: Cho điểm M(3;4) hãy tìm ảnh của M qua phép quay tâm và góc quay bằng 30 độ.

Giải:

4.2. Dạng 2: Tìm tọa độ điểm; phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép quay

Áp dụng công biểu thức tọa độ của phép quay để giải dạng bài tập này.

Ví dụ: Tìm ảnh của đường tròn C có phương trình là: $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9$ qua phép quay $Q_{(I,90^{\circ})}$ với I(3;4).

Giải:

5. Một số bài tập về phép quay từ cơ bản đến nâng cao

Ví dụ 1: Cho điểm A(-1;5) trong mặt phẳng tọa độ Oxyz

a, Tìm tọa độ của B là ảnh của A qua phép quay có tâm O(0;0) và góc quay bằng 90 độ.

b, Tìm tọa độ của C là ảnh của A qua phép quay có tâm O(0;0) và góc quay bằng 45 độ.

Giải:

a) Áp dụng công thức ta có:

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = 0 trong mặt phẳng tọa độ Oxyz. Tìm d là ảnh của đường thẳng d’ qua phép quay trục với O(0;0) và góc quay bằng 90 độ.

Giải:

Ví dụ 3: Cho điểm M(3;4), tìm ảnh của điểm M qua phép quay với tâm O và góc quay bằng 30 độ.

Giải:

Trên đây là toàn bộ lý thuyết, công thức phép quay và các dạng thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết trên, các em có thể tự tin khi làm bài tập về phép quay. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 11, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!