Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ .

d( d; d’) = d( A; d’) trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng d.

Cho hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

B. Ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có B( 1; -2) và C( 0; 1). Điểm A thuộc đường thẳng
  d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

  A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

  Lời giải

  + Phương trình đường thẳng BC:

  

  ⇒ Phương trình BC: 3(x – 1) + 1(y + 2) = 0 hay 3x + y – 1 = 0 .

  + ta có; BC =  = √10

  + Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

  Ta có:  ⇒ d // BC.

  Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

  + Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

  Lấy điểm O(0; 0) thuộc d.

  ⇒ d(d; BC) = d(O;BC) =  =  ( 2)

  Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) =  .

  + Diện tích tam giác ABC là S =  d( A,BC).BC =  . .√10 = 0, 5

  Chọn C.

Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y – 3 = 0 và ∆:  .

A.     B. 15    C. 9    D. 

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:

∆: 

⇒ Phương trình ∆: 7( x + 2) + 1( y – 2) = 0 hay 7x + y + 12 = 0

Ta có:  nên d // ∆

⇒ d(d;Δ) = d(A;d) = 

Chọn A.

Ví dụ 3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x – 4y + 8 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0.    B. 3x – 4y – 8 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0.

C. 3x – 4y – 8 = 0 hoặc 3x – 4y – 12 = 0.    D. 3x – 4y + 8 = 0 hoặc 3x – 4y – 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M (x ; y) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d(M(x; y); Δ) = 2 ⇔  = 2

|3x – 4y + 2| = 10 ⇒ 

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :

3x – 4y + 12 = 0 và 3x – 4y – 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 5x + 3y – 3 = 0 và d2: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d1; d2 là:

A. 5x + 3y – 2 = 0    B. 5x + 3y + 4 = 0    C. 5x + 3y + 2 = 0    D. 5x + 3y – 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M ( x; y) thuộc đường thẳng d. Suy ra:

d(M(x; y); d1)=d(M(x; y); d2) ⇔ 

⇔ 

Đường thẳng d: 5x + 3y + 2 song song với hai đường thẳng d1 và d2.

Vậy đường thẳng d thỏa mãn là: 5x + 3y + 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d:  và đường thẳng ∆:  . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1    B. 0.    C. 2    D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d: 

⇒ Phương trình d: 3(x – 2) – 2(y + 1) = 0 hay 3x – 2y – 8 = 0

+ Đường thẳng ∆: 

⇒ Phương trình ∆: 3(x – 0) – 2(y + 4) = 0 hay 3x – 2y – 8 = 0

⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0.

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và đường thẳng ∆:  . Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y – 1 = 0    B. x + y + 1= 0    C. x + y – 3 = 0    D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d’// d nên đường thẳng d có dạng (d’) : x + y + c = 0( c ≠ -2)

+ Đường thẳng ∆: 

⇒ Phương trình ∆: 1(x + 2) + 1(y – 3) = 0 hay x + y – 1 = 0.

+ Lấy điểm M ( 1; 0) thuộc ∆.

Để khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi:

d( d’; ∆) = d( M; d’) = 2

⇔  = √2 ⇔ |1 + c| = 2

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y + 1 = 0 và x + y – 3 = 0

Chọn D.