Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Xác suất của biến cố

a) Định nghĩa cổ điển của xác suất

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu \(\Omega \) là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng \({\Omega _A} \subset \Omega \). Xác suất của biến cố A,  kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức

\(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \)\(\frac{{{\rm{So \, ket\, qua\, thuan\, loi\, cho\, A}}}}{{{\rm{So\, ket\, qua\, co\, the\, xay\, ra}}}}\).

Chú ý: \( \bullet \) Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên ta đồng nhất \({\Omega _A}\) với A nên ta có : \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)

\( \bullet \) \(P(\Omega ) = 1,{\rm{ }}P(\emptyset ) = 0,{\rm{ }}0 \le P(A) \le 1\)

b) Định nghĩa thống kê của xác suất

Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A

Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:

\(P(A) = \)\(\frac{{{\rm{So \, lan \, xuat \, hien \, cua \, bien \, co \, A}}}}{N}\).

1.2. Tính chất của xác suất

a) \(P(\emptyset ) = \,0,P(\Omega ) = \,1\)

b) \(0 \le P(A) \le \,\,1\), với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc thì:

\(P(A \cup B)\, = \,P(A)\, + \,P(B)\,\) (công thức cộng xác suất).

d) Với mọi biến cố A ta có:

\({\rm{P(}}\overline {\rm{A}} {\rm{) = }}\,{\rm{1 – }}\,{\rm{P(A)}}\)

1.3. Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

\( \bullet \) Mở rộng quy tắc cộng xác suất

Cho \(k\) biến cố \({A_1},{A_2},…,{A_k}\) đôi một xung khắc. Khi đó:

\(P({A_1} \cup {A_2} \cup … \cup {A_k}) = P({A_1}) + P({A_2}) + … + P({A_k})\).

\( \bullet \) \(P(\overline A ) = 1 – P(A)\)

\( \bullet \) Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý  cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: \[P(A \cup B) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right)\].

1.4. Quy tắc nhân xác suất

\( \bullet \) Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

\( \bullet \) Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).