Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng lớp 10 – O₂ Education

Lập phương trình đường thẳng là một bài toán quan trọng của chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng thuộc chương trình hình học lớp 10. Có hai bài toán cơ bản cần ghi nhớ là lập phương trình tổng quát của đường thẳng, lập phương trình tham số của đường thẳng.

Ngoài ra còn có phương trình chính tắc của đường thẳng, cách lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc…

Xem thêm 100 Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Ví dụ 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng $d$ có véc-tơ chỉ phương là $ \vec{u}(3;4) $ và đi qua điểm $ M(7;2) $.

Hướng dẫn.

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ có véc-tơ chỉ phương là $ \vec{u}(3;4) $ và đi qua điểm $ M(7;2) $ là $$ \begin{cases}
x=3t+7\\
y=4t+2
\end{cases} (t\in \mathbb{R}) $$

Nhận xét

Ví dụ 2. Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $2x+3y-5=0$ thì chúng ta có:

Ta cần tìm một véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}$ và tìm tọa độ của một điểm $M$ thuộc đường thẳng. Sau đó sử dụng kết quả:

Ví dụ 3. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ biết nó có véc-tơ pháp tuyến $ \vec{n}(3;4) $ và đi qua điểm $ M(0;7) $.

Hướng dẫn. Đường thẳng $\Delta$ có véc-tơ pháp tuyến $ \vec{n}(3;4) $ và đi qua điểm $ M(0;7) $ nên có phương trình tổng quát:
$$ 3x+4y-(3\cdot 0+4\cdot 7)=0 $$ hay chính là $ 3x+4y-28=0 $.

Ví dụ 4. Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ với $ E(1;9) $ và $ F(3;-3) $

Hướng dẫn.

Ví dụ 5. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $ AB $ với $ A(1;2) $ và $ B(-3;5) $.

Hướng dẫn.

Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ điểm $ A(1 , 3) $ đến đường thẳng $ \Delta: 3x – 4y + 4 = 0 $

Hướng dẫn. Khoảng cách từ điểm $ A $ đến đường thẳng $\Delta$ là $$ d(A,\Delta) = \frac{\left|3\cdot 1-4\cdot 3 +4\right|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=1 $$

Ví dụ 7. Tính khoảng cách từ điểm $ P(3 , 12) $ đến đường thẳng $ \Delta:\begin{cases} x=2+t\\y=5-3t \end{cases} $

Hướng dẫn. Trước tiên, chúng ta cần chuyển phương trình đường thẳng $\Delta$ từ dạng tham số về dạng tổng quát. Từ phương trình thứ nhất của hệ, chúng ta có $ t=x-2 $. Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được $ y=5-3(x-2) $ hay chính là $$ 3x+y-11=0 $$
Đây chính là phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$. Từ đó, khoảng cách cần tìm là $$ d(P,\Delta)=\frac{|3\cdot 3+ 12 -11|}{\sqrt{3^2+1^2}} = \sqrt{10} . $$

Ví dụ 8. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $ d : 5x + 3y – 5 = 0 $ và $ d’ : 5x + 3y + 8 = 0 $.

Hướng dẫn. Vì hai đường thẳng đã cho song song với nhau, nên khoảng cách giữa chúng chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này tới đường thẳng còn lại.

Lấy một điểm bất kì thuộc đường thẳng $ d $, chẳng hạn $ M(1;0) $ thì khoảng cách cần tìm là \begin{align}
d(d,d’) &= d(M,d’) \\
&=\frac{|5\cdot 1+3\cdot 0+8|}{\sqrt{5^2+3^2}}\\
& = \frac{13\sqrt{34}}{34}.
\end{align}

Ví dụ 9. Tính góc giữa hai đường thẳng $ \Delta: x-3y+5=0 $ và $ \Delta’:2x-3y+7=0 $.

Hướng dẫn.

4.1. Phương trình chính tắc của đường thẳng