Tổng hợp đầy đủ bộ công thức luỹ thừa cần nhớ

Tác giả

Minh Châu

10,135

Khi ôn tập, bảng công thức luỹ thừa là công cụ không thể thiếu đối với các em học sinh THPT. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ giúp các em tổng hợp tất cả những công thức luỹ thừa lớp 12 cơ bản, sử dụng nhiều trong các bài tập liên quan đến luỹ thừa và hàm số luỹ thừa

Trước khi đi vào chi tiết bộ công thức luỹ thừa, các em hãy cùng VUIHOC đánh giá về luỹ thừa và các bài tập áp dụng công thức luỹ thừa lớp 12 trong đề thi đại học tại bảng dưới đây:

Để dễ dàng hơn trong ôn tập hằng ngày, các em tải file tổng hợp lý thuyết về luỹ thừa bao gồm toàn bộ các công thức luỹ thừa 12 tại link sau đây:

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết về công thức luỹ thừa

 

1. Lý thuyết về luỹ thừa – nền tảng của công thức luỹ thừa lớp 12

1.1. Định nghĩa

Công thức luỹ thừa 12 được hình thành từ định nghĩa của luỹ thừa. Các em có thể hiểu đơn giản rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau.

 

1.2. Các loại luỹ thừa phát triển từ công thức luỹ thừa 12 cơ bản

Dạng 1: Công thức luỹ thừa lớp 12 với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương. Với a là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống định nghĩa chung về luỹ thừa. Ta có công thức luỹ thừa tổng quát như sau:

$a^n=a.a.a.a…..a$ ($n$ thừa số $a$)

Với $a\neq 0$ thì $a^0=1$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Lưu ý:

• $0^n$ và $0^{-n}$ không có nghĩa

• Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

 

Dạng 2: Công thức luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m\in \mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$, $n\geq 2$

Luỹ thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ xác định bởi:

a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Đặc biệt: Khi $m=1$: $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

 

Ví dụ:

 

 

Dạng 3: Công thức luỹ thừa với số mũ vô tỉ 

Cho $a>0,a\in \mathbb{R}$, là một số vô tỉ, khi đó $a^\alpha =\lim_{n\rightarrow +\infty }a(r^n)$ với $r^n$ là dãy số hữu tỉ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }r^n=\alpha $

Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:

 

1.3. Tính chất của luỹ thừa

Chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa dưới dạng công thức luỹ thừa lớp 12 sau:

• Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

Tính chất về bất đẳng thức: 

• So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:

  • Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$

  • Với $0<a<1$ thì $am>an\Rightarrow m<n$

• So sánh cùng số mũ:

  • Với số mũ dương $n>0$: $a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$

  • Với số mũ âm $n<0$: $a>b>0\Rightarrow a^n<b^n$

 

2. Bộ công thức luỹ thừa lớp 12

Về cơ bản, các em cần nắm vững những công thức luỹ thừa lớp 12 căn bản trong bảng sau:

Ngoài ra, luỹ thừa 12 còn có một số công thức luỹ thừa khác trong các trường hợp đặc biệt như luỹ thừa của số e, công thức luỹ thừa của một luỹ thừa, cụ thể như sau:

• Luỹ thừa của số $e$:

Số $e$ là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $e$ được định nghĩa qua giới hạn sau: 

$e=\lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n$

 

Hàm $e$ mũ, được định nghĩa bởi $e=\lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n$ ở đây $x$ được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa $e^{x+y}=e^x.e^y$

Hàm $e$ mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của $x$.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm $e$ mũ với $x$ là số nguyên dương k chính là $e^k$ như sau:

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng $e^{x+y}$ thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi $x$ và $y$ là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các công thức luỹ thừa 12 có số không phải là số nguyên dương.

 

• Hàm luỹ thừa với số mũ thực:

Công thức lũy thừa 12 với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên $ln(x)$ là hà ngược của hàm $e$ mũ $e^x$. Theo đó $lnx$ là số $b$ sao cho $x=e^b$

 

Nếu a là số thực dương, $x$ là số thực bất kỳ ta có $a=elna$ nên nếu $a^x$ được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:

$a^x=(e^{lna})^x=e^{x.lna}$

Điều này dẫn tới định nghĩa công thức luỹ thừa: $a^x=e^{x.lna}$ với mọi số thực $x$ và số thực dương $a$.

 

Trên đây là tổng hợp toàn bộ lý thuyết và công thức luỹ thừa cần nhớ. Chúc các em ôn tập thật tốt nhé!