Cách tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi – Phạm Thị Thu Huyền

GV: Phạm Thị Thu Huyền 1 CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên Ví dụ 1.1: Cho dãy số n u có dạng khai triển sau: 1; 1; 1;1;5;11;19;29;41;55;….. Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo? Bài giải: Nh ận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với những cách cho này ta thường làm phương pháp sau: Đặt: 1 kk k uu u  2 1 kk k uu u   32 2 1 kk k uu u   …….. Ta lập bảng các giá trị 23 , , ….. kk k uu u   nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận n u là đa thức bậc 1, 2, 3,…..và ta đi tìm đa thức đó. L ời gi ải: Bảng giá trị ban đầu: k u 1 -1 -1 1 5 11 19 29 41 55 k u  -2 0 2 4 6 8 10 12 14 2 k u  2 2 2 2 2 2 2 2 Ta thấy hàng của 2 k u  không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai: 2 0 n uan bnca  (1) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. Tìm ,, abc như sau: Cho 1; 2; 3 n thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau: 11 42 1 5 93 1 5 abc a abc b abc c  2 55 n un n Số hạng tiếp theo 11 71 u Ví dụ 1.2: Cho dãy số n u có dạng khai triển sau: 5; 3;11;43;99;185;307;471;…. GV: Phạm Thị Thu Huyền 2 Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo Bài giải: Bảng giá trị ban đầu k u -5 -3 11 43 99 185 307 471 k u  2 14 32 56 86 122 164 2 k u  12 18 24 30 36 42 3 k u  6 6 6 6 6 Ta thấy hàng của 3 k u  không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba: 32 0 n uan bn cnda  (2) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. Tìm ,, , abcd như sau: Cho 1; 2; 3; 4 n thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau: 551 84 2 3 73 2 0 27 9 3 11 26 8 2 16 5 64 16 4 43 63 15 3 48 1 abc d abc d a abcd a bc b ab cd a b c c ab cd a b c d   3 51 n un n Hai số hạng tiếp theo là: 9 683 u ; 10 949 u L ời bình: Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau: 2 55 . 1 2 3 n un n Pn n n n (Của ví dụ 1.1) 3 5 1 1 234 n un n Pnn n n n (của ví dụ 1.2) Với Pn là một đa thức bất kỳ Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà không tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn. Bài tập tương tự: Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số 1) 8;14;20;26;32;….. (Đs: 62 n un ) 2) 1; 2; 2;1; 7;16; 28; 43; 61;… (Đs: 2 315 7 22 n un n ) 3) 1;6;17;34;57;86;121;….. (Đs: 2 34 2 n un n ) GV: Phạm Thị Thu Huyền 3 4) 2;3;7;14;24;37;….. (Đs: 2 37 4 22 n un n ) 5) 3;5;10;18;29;….. (Đs: 2 35 4 22 n un n ) 6) 2;1;5;14;28;47;71;100;134;173;217;…. (Đs: 2 517 8 22 n un n ) 7) 2;2;8;26;62;122;212;338;…. (Đs: 32 32 2 n un n n ) DẠNG 2: Dạng cơ sở: Cho dãy n u biết 1 1 , nn ua uqu d  1 n Với , qd là các hằng số thực. GIẢI: Tr ường h ợp 1: Nếu 0 q 1 1 , n ua ud  1 n 1 ua , * ,,2 n ud n n  Tr ường h ợp 2: Nếu 1 q 1 1 , nn ua uu d  1 n n u là cấp số cộng với số hạng đầu 1 ua và công sai bằng d 1 n ua n d Tr ường h ợp 3: Nếu 0 d 1 1 , nn ua uqu  1 n n u là cấp số nhân với số hạng đầu 1 ua và công bội bằng q 1 . n n uaq Tr ường h ợp 4: Nếu 0, 1, 0 qq d   . Đặt dãy n v sao cho 1 nn d uv q (1) Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có: 1 11 nn dd vqv d qq 1 , nn vqv 1 n n v là một cấp số nhân với số hạng đầu 11 11 dd vu a qq và công bội bằng q 1 ,1 1 n n d va q n q GV: Phạm Thị Thu Huyền 4 1 11 1 n nn dd d uv a q qq q Ví dụ 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy n u biết: 1) 1 1 1 3, nn u uu  1 n (Đs: 34 n un ) 2) 1 1 1 23, nn u uu  1 n (Đs: 1 4.2 3 n n u ) Giải: 1) 1 1 1 3, nn u uu  1 n Vì 1 3 nn uu , 1 n n u là một cấp số cộng với số hạng đầu 1 1 u và công sai 3 d 1 113 134 n uu n d n n 2) 1 1 1 23, 1 nn u uu n  Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với 1, 3 qd Đặt dãy n v sao cho: 3 1 nn n d uv v q (1) Thay (1) vào công thức truy hồi ta được 1 32 3 3 nn vv 1 2 nn vv n v là cấp số nhân với số hạng đầu 11 31 3 4 vu và công bội 2 q 11 4.2 2 nn n v 1 32 3 n nn uv Nhận xét: Câu 1: 1 1 1 3, nn u uu  1 n Còn có các cách sau: Cách 2: Ta có: 1 1 u 21 3 uu 32 3 uu GV: Phạm Thị Thu Huyền 5 …….. 1 3 nn uu Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được: 12 3 1 2 3 1 …… 1 ….. 3( 1) nn uu u u uu u u n 13 1 n un 34 n un Cách 3: Dựa vào công thức truy hồi ta tính được dạng khai triển của dãy n u là: 1;2;;5;8;11;14;17;…. k u -1 2 5 8 11 14 17 k u  3 3 3 3 3 3 ,0 n uanba  (1) Thay 1 n và 2 n thay vào (1) ta được: 13 22 4 ab a ab b  34 n un Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy n u biết: 1) 1 1 1 7, nn u uu  1 n (Đs: 76 n un ) 2) 1 1 3 2, nn u uu  1 n (Đs: 1 2.3 n n u ) 3) 1 1 1 21, nn u uu  1 n (Đs: 1 n u ) 4) 1 1 5 4 3 2, 4 nn u uu  1 n (Đs: 4 3 2 n n u ) 5) 1 1 1 1 2, 3 nn u uu  1 n (Đs: 3 1 2 n n u ) L ời bình: Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì: – Với 3 trường hợp 1, 2, và 3, dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng, cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số hạng tổng quát. GV: Phạm Thị Thu Huyền 6 – Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy số mới n v liên hệ với dãy số n u bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa được về dãy số n v mà n v dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân. – Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa n u và n v bởi biểu thức nào mới có thể đưa dãy số n v thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường hợp 4. Qua quá trình tìm tòi, tôi đã tìm ra được một số dạng sau: LOẠI 2.1: 1 1 , nn ua uqu cnd  1 n với ,, qcd R và ,0 qc  GIẢI: Trường hợp 1: Nếu 1 q 1 1nn ua uu cnd  Cách 1: Ta có: 1 ua 21 .1 uu c d 32 .2 uu c d 43 .3 uu c d …………. 1 .1 nn uu cn d Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được: .1 .2 .3 …… . 1 1 n uac c c cn n d 1 1 2 cn n and Cách 2: Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triền) Trường hợp 2: Nếu 1 q  Đặt dãy n v sao cho: 1 nn cn uv q , thay vào công thức truy hồi ta được 1 1 11 nn cn cn vqv cnd qq 1 1 nn c vqv d q Từ đó ta có dãy n v với 11 1 1 ‘, 1 nn n c vu q c vqv d qv d q  1 n Khi đó dãy n v lại có DẠNG 1 GV: Phạm Thị Thu Huyền 7 Ví dụ 2.2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy n u biết: 1) 1 1 5 32, nn u uu n  1 n (Đs: 2 37 14 2 n nn u ) 2) 1 1 11 10 1 9 , nn u uu n  1 n (Đs: 10 n n un ) 3) 1 1 1 36 1 nn u uu n  (Đs: 31 3 n n un ) Bài giải: 1) 1 1 5 32, nn u uu n  1 n Cách 1: Ta có: 1 5 u 21 3.1 2 uu 32 3.2 2 uu 43 3.3 2 uu 54 3.4 2 uu ………….. 1 3. 1 2 nn uu n Cộng vế với vế ta được: 2 31 37 14 5 3.1 3.2 3.3 …. 3. 1 2 1 5 2 1 22 n nn nn unn n Cách 2: Ta có dạng khai triển của dãy số n u là: 5;6;10;17;27;40;56;75;….. k u 5 6 10 17 27 40 56 75 k u  1 4 7 10 13 16 19 2 k u  3 3 3 3 3 3 2 n uan bnc (*) Thay 1, 2, 3 nn n vào (*) ta được: GV: Phạm Thị Thu Huyền 8 3 2 5 7 42 6 2 93 10 7 a abc abc b abc c   2 2 37 3 7 14 7 22 2 n nn un n 2) 1 1 11 10 1 9 , nn u uu n  1 n Đặt dãy n v sao cho: ,1 nn uv nn Thay vào công thức truy hồi ta được: 1 110 1 9 nn vn v n n 1 10 nn vv n v là một cấp số nhân với số hạng đầu 11 110 vu và công bội 10 q 1 10.10 10 nn n v 10 n n un 3) 1 1 1 36 1 nn u uu n  Đặt dãy n v sao cho: 3 nn uv n , thay vào công thức truy hồi của dãy n u ta được: 1 31 3 3 6 1 nn vn v n n 1 32 nn vv n v được xác định bởi: 11 1 32 32, nn vu vv  1 n Đặt dãy n y sao cho 1, 1 nn vy n , thay vào công thức truy hồi của dãy n v ta được 1 13 1 2 nn yy 1 3 nn y y n y là một cấp số nhân với số hạng đầu 11 1213 yv và công bội 3 q 1 3.3 3 nn n y 31 n n v Vây: 31 3 n n un Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy n u biết: GV: Phạm Thị Thu Huyền 9 1) 1 1 99 21, nn u uu n  1 n (Đs: 2 100 n un ) 2) 1 3 1 1 , nn u uu n  1 n (Đs: 2 3 33 1 1 1 2 … 1 2 n nn un    ) 3) 1 2 1 1 2, 1 nn u uu nn  (Đs: 2 22 2 12 1 1 2 1 2 3 …. 1 1 3 n nnn un LOẠI 2.2: Cho dãy n u xác định bởi: 1 1 , n nn ua uqu rc  1 n với 0 q  GIẢI: Trường hợp 1: Nếu 1 q 1 1 , n nn ua uu rc  1 n ta có thể làm bằng phương pháp sau: Ta có: 1 ua 1 21 uu rc 2 32 uu rc 3 43 uu rc ……………….. 1 1 n nn uu rc Cộng vế với vế ta được: 1 23 1 1 ( …. ) 1 n n n cc r ua cc c c r a c Trường hợp 2: Nếu cq  1 1 , n nn ua uqu rc  1 n Đặt dãy n v sao cho: n nn rc uv cq , thay vào công thức truy hồi ta được 1 1 nn n nn rc rc vqv rc cq cq 1nn vqv GV: Phạm Thị Thu Huyền 10 n v là một cấp số nhân với số hạng đầu 11 rc rc vu a cq cq và công bội bằng q 1 n n rc va q cq 1 nn n nn rc rc rc uv a q cq cq cq Trường hợp 3: Nếu cq 1 , n nn ua uqv rq  1 n Đặt dãy số n v sao cho: . n nn uqv , thay vào công thức truy hồi của dãy n u ta được 1 1 nn n nn qv qqv rq 1nn r vv q n v là một cấp số cộng với số hạng đầu 1 1 u a v qq và công sai r d q Ví dụ 2.3: Cho dãy n u biết      n n n u u u 2 1 1 1 1 với * N n . Xác định số hạng tổng quát của dãy n u (Đs: 1 1 2 2 n n u ) Bài giải: Cách 1: Ta có: 1 1 u 21 1 2 uu 2 32 1 2 uu 3 43 1 2 uu ………… 1 1 1 2 n nn uu GV: Phạm Thị Thu Huyền 11 Cộng vế với vế ta được: 21 1 1 1 11 1 1 2 1 ….. 2 1 22 2 2 1 2 n nn n u Cách 2: Đặt dãy số n v sao cho: 1 1 2 2. 1 2 2 n n nn n uv v thay vào công thức truy hồi ta được: 1 1 111 22 222 nnn nn vv 1nn vv dãy n v được xác định bởi: 11 1 1 2112 2 nv vu vv  1 2, 1 n vv n Vậy: 1 11 22 2 22 nn n u Ví dụ 2.4: Viết công thức của số hạng tổng quát của các dãy số n u với: 1) 1 1 8 23, 1 n nn u uu n  (Đs: 1 5.2 3 nn n u ) 2) 1 1 1 53, 1 n nn u uu n  (Đs: 1 1 35 2 nn n u ) 3) 1 1 1 101 77, 1 n nn u uu n  (Đs: 1 .7 94.7 nn n un ) 4) 1 1 1 26.2, 1 n nn u uu n  (Đs: 1 3.2 5.2 nn n un ) 5) 1 1 0 2.3 , 1 n nn u uu n n  (Đs: 1 33 .3 2 n n n un ) Bài giải: GV: Phạm Thị Thu Huyền 12 1) 1 1 8 23, 1 n nn u uu n  Đặt 3, 1 n nn uv n thay vào công thức truy hội của dãy n u ta được: 1 1 32 3 3 nnn nn vv 1 2 nn vv n v là một cấp số nhân với số hạng đầu 11 35 vu và công bội 2 q 1 5.2 n n v 1 5.2 3 nn n u 2) 1 1 1 53, 1 n nn u uu n  Đặt 3 2 n nn uv thay vào công thức truy hồi ta được 1 1 33 53 22 nn n nn vv 1 5 nn vv n v là một cấp số nhân với số hạng đầu 11 31 22 vu và công bội 5 q 1 1 .5 2 n n v 11 11 1 .5 .3 3 5 22 2 nn nn n u 3) 1 1 1 101 77, 1 n nn u uu n  Đặt 7 n nn uv thay vào công thức truy hồi ta được 11 1 77.7 7 nn n nn vv 1 1 nn vv n v là một cấp số cộng với số hạng đầu 1 1 101 77 u v và công sai 1 d 101 94 1 77 n vn n 1 .7 94.7 nn n un GV: Phạm Thị Thu Huyền 13 4) 1 1 1 26.2, 1 n nn u uu n  Đặt 2, 1 n nn uvn thay vào công thức truy hồi ta được 1 1 22.2 6.2 nn n nn vv 1 3 nn vv n v là cấp số cộng với số hạng đầu 1 1 1 22 u v và công sai 3 d 15 13 3 22 n vn n 1 5 3.23.25.2 2 nn n n un n 5) 1 1 0 2.3 , 1 n nn u uu n n  Đặt 3, 1 n nn uvn thay vào biểu thức truy hồi của dãy n u ta được 1 1 33 2.3 nn n nn vv n 1 12 33 nn vv n dãy n v xác định bởi 1 1 1 0 2 12 , 33 nn u v vv n  1 n Đặt nn vy n thay vào công thức truy hồi của dãy n v ta được 1 12 1 33 nn ynyn n 1 1 1 3 nn yy n y xác định bởi 11 1 11 1 1, 3 nn yv yy  1 n Đặt 3 2 nn yt thay vào công thức truy hồi của dãy n y ta được 1 31 3 1 23 2 nn tt 1 1 3 nn tt GV: Phạm Thị Thu Huyền 14 n t là một cấp số nhân với số hạng đầu 11 331 1 222 ty và công bội 1 3 q …………………. 1 33 .3 2 n n n un LOẠI 2.3: Cho dãy số n u xác định bởi: 1 1 , n n n ua cu u qdu  1 n GIẢI: Đặt dãy số n v sao cho: 1 n n u v thay vào công thức truy hồi của dãy n u ta đươc 1 1 n n n c v d v q v 1 1 nn c vqvd 1nn qd vv cc 1 1 1 : , n nn v a v qd vv cc  1 n quay về DẠNG 1 LOẠI 2.4: Cho dãy số n u xác định bởi: 1 1 ,1 n n n ua bcu un pru  GIẢI: Đặt ,1 nn uv n thay vào công thức truy hồi của dãy n u ta được 1 n n n bcv v prv 2 1 nn n n bc cv p rv v prv GV: Phạm Thị Thu Huyền 15 2 1 n n n pcb crv v pr rv   Để dãy n v trở về loại 2.3, ta chọn là nghiệm của phương trình 2 0 rc b Ví dụ 2.5: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy n u sau, biết: 1) 1` 1 1 , 1 n n n u u u u  1 n (Đs: 1 n u n ) 2) 1 1 2 , 2 n n n u u u u  1 n (Đs: 2 1 3.2 1 n n u ) 3) 1 1 1 2 1 2 n n u u u  (Đs: 1 n n u n ) 4) 1 1 1 14 , 16 n n n u u u u  1 n (Đs: 2 11 262 n n u ) Bài giải: 1) 1` 1 1 , 1 n n n u u u u  1 n Đặt 1 n n u v thay vào công thức truy hồi của dãy n u ta được: 1 1 1 1 1 n n n v v v GV: Phạm Thị Thu Huyền 16 1 11 1 nn vv 1 1 nn vv Dãy n v là cấp số cộng có số hạng đầu 1 1 1 1 v u , công sai 1 d 1 11 1 n vv n d n n 1 n u n 2) 1 1 2 , 2 n n n u u u u  1 n Đặt 1 n n u v thay vào công thức truy hồi của dãy n u ta được: 1 1 1 1 2 n n n v v v 1 11 21 nn vv 1 21 nn vv Đặt 1 nn vy thay vào dãy n v ta được: 1 12 1 1 nn yy 1 2 nn y y n y là một cấp số nhân với số hạng đầu 11 1 13 11 2 yv u và công bội 2 q 12 3 .2 3.2 2 nn n y 2 13.2 1 n nn vy 2 1 3.2 1 n n u 3) 1 1 1 2 1 2 n n u u u  Đặt dãy số n v sao cho: nn uv thay vào dãy n u ta được: 1 1 2 n n v v GV: Phạm Thị Thu Huyền 17 2 1 21 2 n n n v v v Chọn là nghiệm của phương trình: 2 21 0 1 1 nn uv và 1 1 n n n v v v Đặt dãy số n y sao cho: 1 n n v y thay vào dãy n v ta được: 1 1 1 1 1 n n n y y y 1 11 1 nn yy 1 1 nn yy n y là cấp số cộng có số hạng đầu 1 11 11 2 1 y vu và công sai 1 d 211 1 n y nn 11 1 n n v y n 1 11 11 nn n uv nn 4) 1 1 1 14 , 16 n n n u u u u  1 n Đặt dãy n v sao cho nn uv , thay vào công thức truy hồi ta được 1 14 16 n n n v v v 2 1 6 5 164 16 n n v v => chọn 1 2 là một nghiệm của phương trình 2 65 10 Khi đó 1 2 nn uv và dãy số n v được xác định bởi 1 1 1 2 26 n n n v v v v  Đặt dãy số n y sao cho 1 n n v y thay vào công thức truy hồi của dãy n v ta được: GV: Phạm Thị Thu Huyền 18 1 1 1 6 2 n n n y y y 1 11 26 nn yy 1 26 nn yy n y được xác định bởi 1 1 2 26, 1 nn y yy n  Đặt dãy số n x sao cho 6 nn yx thay vào công thức truy hồi của dãy n y ta được 1 62 6 6 nn xx 1 2 nn x x n x là cấp số nhân với 11 68 xy và công bội 2 q 12 8.2 2 nn n x 2 26 n n y 2 1 26 n n v 2 11 262 n n u Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy n u sau, biết: 1) 1 1 1 22 , 31 n n n u u u u  1 n 2) 1 1 0 , 21 n n n u u u u  1 n 2.3. Sử dụng máy tính casio để tìm các số hạng trong một dãy số được cho bởi công thức truy hồi: Theo dự án mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT Quốc gia, bộ môn Toán thi bằng phương pháp trắc nghiệm. Vậy, với một bài toán về dãy số mà dãy số đó cho bởi công thức truy hồi thì phải giải thế nào? Có phải tìm công thức của số hạng tổng quát hay không? Sau đây tôi xin giới thiệu quy trình bấm máy tính casio để tìm giá trị k u của một dãy số cho bởi biểu thức truy hồi GV: Phạm Thị Thu Huyền 19 Ví dụ 3.1: Cho dãy số n u xác định bởi 1 1 1 3, 1 nn u uu n  . Tính 8 u ? Bài giải: + Gán giá trị của 1 1 u vào biến A: 1 SHIFT STO A + Dùng biến D làm biến đếm, công thức truy hồi bắt đầu được tính từ 2 u , nên ta gán cho biến đếm D giá trị khởi đầu là 1: 1 SHIFT STO D + Biểu thức lặp: Khi biến đếm D tăng lên 1 đơn vị thì 21 33 uu A và ta lại gán giá trị của 2 u vào biến A, cứ như vậy biều thức được lặp lại. Nên ta có biểu thức lặp như sau: 1: 3 DD AA + Sau đó bấm phím CACL và liên tiếp các dấu “=” cho đến khi giá trị 18 DD thì tính được 8 u . Tóm l ại quy trình b ấm máy nh ư sau: 1 SHIFT STO A 1 SHIFT STO D 1: 3 DD AA CACL = = = ……= Cho đến khi trên màn hình có 18 DD bấm tiếp dấu “=” ta được 8 22 Au Chú ý: Các ký hiệu “=” và “:” trong biểu thức lặp 1: 3 DD AA là những phím màu đỏ trên bàn phím của máy tính casio, nên ta phải bấm tổ hợp phím ALPHA và dấu “=”, dấu “:” màu đỏ. Còn dấu “=” sau khi gọi phím CACL = = = ……= là dấu “=” màu đen trên màn phím máy tính casio. Ví dụ 3.2: Cho dãy số n u xác định bởi: 1 2 21 2 1 2, 1 nn n u u uu u n  Tính 7 u ? Bài giải: Vì công thức truy hồi được tính theo 2 số hạng đứng ngay trước nó, nên ta cần dùng đến 2 biến A và B cho 2 số hạng đó và phải dùng tới 2 lần lặp. Quy trình bấm máy như sau: 2 SHIFT STO A -1 SHIFT STO B 2 SHIFT STO D 1: 2 : 1: 2 DD A B AD D B A B CACL = = = ….= Cho đến khi 17 DD bấm tiếp dấu “=” nữa ta được 7 23 u GV: Phạm Thị Thu Huyền 20 L ời bình: Với quy trình này học sinh không phải dùng nháp và tính từng bước từ công thức truy hồi hoặc không phải tìm công thức của số hạng tổng quát đồng thời cũng có lợi khi bài toán yêu cầu tìm k u với k hơi lớn (VD: 40 45 , uu ) Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho dãy số n u xác định bởi: 1 1 2 1 ,1 2 n n u u un  . Số hạng 4 u của dãy số là: A. 1 B. 9 8 C. 7 8 D. 4 3 Bài 2: Cho dãy số hữu hạn n u có dạng khai triển là: 1; 1; 1; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55; Khi đó công thức tổng quát của dãy số là: A. 2 31 n un n B. 2 31 n un n C. 2 55 n un n D. 2 2 n un n Bài 3: Cho dãy số n u xác định bởi 1 1 1 1 ,1 2 n nn u uu n  Công thức của số hạng tổng quát n u là: A. 1 21 2 n n n u B. 1 21 2 n n n u C. 23 2 n n n u D. 1 1 21 2 n n n u Với bài số 2: Ta sử dụng MODE 7 để kiểm tra từng đáp án Quy trình bấm như sau: MODE 7 2 31 Fx x x START 1 END 10 STEP 1 Sau đó dò trên cột f x . Nếu cột này trùng với các giá trị của các số hạng trong dãy số thì ta chọn biểu thức đó. Chú ý: Với máy casio fx – 570 VN PLUS ta có thể kiểm tra một lúc 2 đáp án qua 2 hàm f x và gx bằng phím chuyển đổi: SHIFT MODE ▼ 5 2 2.4. Các bài toán thi học sinh giỏi các cấp: GV: Phạm Thị Thu Huyền 21 Bài 1: ( Đề thi ch ọn HSG môn toán l ớp 11 c ủa tr ường THPT V ũng Tàu n ăm h ọc 2014 – 2015) Cho dãy số n u xác định bởi: 1 1 1 1 ,1 2 n nn u uu n  Chứng minh rằng * 21 1, 32 n n un      Bài giải: Cách 1: Ta có: 1 1 u 21 1 2 uu 2 32 1 2 uu 2 43 1 2 uu ……………….. 1 1 1 2 n nn uu Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được: 21 1 1 11 1 2 1 2 1 ….. 1 1 22 2 3 2 1 2 n nn n u     Cách 2: Đặt dãy số n v sao cho 1 21 2 1 32 1 2 n n nn n uv v thay vào biểu thức truy hồi ta được 1 1 21 21 1 32 32 2 nnn nn vv 1nn vv n v là một dãy số hằng 11 21 1 2 1 32 3 3 n vv u GV: Phạm Thị Thu Huyền 22 22 1 2 1 1 33 2 3 2 nn n u     Cách 3: Chứng minh quy nạp Bài 2: ( Đề thi Olympic 27/4 môn Toán – l ớp 11 c ủa S ở GD và ĐT T ỉnh Bà R ịa V ũng Tàu n ăm h ọc 2012 – 2013) Cho dãy số n u xác định bởi 1 1 3 21 ,1 11 2 n n n u u un u  . Tính 2013 u Bài giải: Đặt dãy số n v sao cho tan nn uv , thay vào công thức truy hồi ta được: 1 tan tan 8 tan 1 tan .tan 8 n n n v v v   1 tan tan 8 nn vv  => chọn 1 8 nn vv  n v là cấp số cộng với số hạng đầu 11 3tan 3 vv  và công sai 8 d  1 38 n vn   tan 1 38 n un      2013 2012 3 tan 38 3 u    GV: Phạm Thị Thu Huyền 23