Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz – bài tập áp dụng

2. Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian

1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian là gì?

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ chia sẻ đến các bạn phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian. Đây là dạng bài cơ bản thường xuất hiện trong các đề thi và là cơ sở để giải những bài toán nâng cao hơn. Bài viết này sẽ giúp các bạn nắm vững kiến thức về dạng này và tự tin hơn khi đối mặt với nó. Cùng bắt đầu bài học ngay nhé!

1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian là gì?

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song được tính đơn giản bằng khoảng cách từ 1 điểm của đường này đến đường còn lại. (Cũng là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng song song).

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz - bài tập áp dụng 5Đoạn vuông góc chung

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau còn có thể nói là khoảng cách giữa một đường với mặt phẳng song song với đường đó và chứa đường còn lại.

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz - bài tập áp dụng 6Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau còn có thể nói là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song chứa 2 đường thẳng đó.

Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz - bài tập áp dụng 7Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Kí hiệu: d(a,b) khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b.

2. Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian

Giữa 2 đường thẳng có vị trí khác nhau thì sẽ có các cách tính phù hợp.

2.1 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song

Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song, ta có thể làm 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Lấy một điểm bất kì trên đường thẳng này, sau đó tính khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng kia.

==> Tham khảo ngay bài viết Cách tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian nếu bạn còn chưa nắm rõ cách tính nhé!

Cách 2: Giả sử có hai đường thẳng d_1 và d_2 song song với nhau có phương trình lần lượt là:

  • d_1:\left\{\begin{matrix}
    x=x_1+at \\
    y=y_1+bt \\
    z=z_1+ct
    \end{matrix}\right.

  • d_2:\left\{\begin{matrix}
    x=x_2+kat \\
    y=y_2+kbt \\
    z=z_2+kct
    \end{matrix}\right.

Khi đó, khoảng cách giữa 2 đường thẳng này sẽ được tính bằng công thức:

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song trong không gian

d(d_1,d_2)=\frac{|\vec {M_1M_2} \wedge \vec u|}{|\vec u |}

Trong đó:

M_1,M_2

: 2 điểm bất kì lần lượt thuộc 2 đường

d_1,d_2

.

\vec u

: Vec tơ chỉ phương của đường bất kì

2.2 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Giả sử có hai đường thẳng d_1 và d_2 chéo nhau có phương trình lần lượt là:

  • d_1:\left\{\begin{matrix}
    x=x_1+a_1t \\
    y=y_1+b_1t \\
    z=z_1+c_1t
    \end{matrix}\right.

  • d_2:\left\{\begin{matrix}
    x=x_2+a_2t \\
    y=y_2+b_2t \\
    z=z_2+c_2t
    \end{matrix}\right.

Khi đó, khoảng cách giữa 2 đường thẳng này sẽ được tính bằng công thức:

Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

d(d_1,d_2)=\frac{|(\vec u_1 \wedge \vec u_2) \vec {M_1M_2}|}{|\vec u_1 \wedge \vec u_2|}

Trong đó:

M_1,M_2

: Lần lượt là 2 điểm bất kì thuộc

d_1,d_2

\vec u_1,\vec u_2

: Lần lượt là 2 vecto chỉ phương của

d_1,d_2

Lưu ý: Để sử dụng công thức này, trước tiên ta cần phải xét xem chúng có song song hay trùng nhau hay không. Vì nếu song song hay trùng nhau thì mẫu số sẽ bằng 0. Còn nếu kết quả ra 0 thì 2 đường thẳng đó cắt nhau => Khoảng cách là 0.

Xem ví dụ dưới đây:

Cho 2 đường thẳng

d_1,d_2

chéo nhau có phương trình lần lượt là:

d_1:\left\{\begin{matrix}

x=1+2t \\

y=2+2t \\

z=1-t

\end{matrix}\right.

d_2:\left\{\begin{matrix}

x=1+2t \\

y=3-t \\

z=2-2t

\end{matrix}\right.

.
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

d_1,d_2

    Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz - bài tập áp dụng 8

    3. Bài tập khoảng cách giữa 2 đường thẳng

    Thử sức ngay với những bài tập dưới đây để ôn luyện lại kiến thức ở trên nhé!

    Cho 2 đường thẳng

    d_1,d_2

    chéo nhau có phương trình lần lượt là:

    d_1:\left\{\begin{matrix}

    x=t \\

    y=1+2t \\

    z=6+3t

    \end{matrix}\right.

    d_2:\left\{\begin{matrix}

    x=1+t \\

    y=-2+t \\

    z=3-t

    \end{matrix}\right.

    .
    Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

    d_1,d_2

    • a.

      \frac{\sqrt{42}}{5}

    • b.

      \frac{\sqrt{42}}{3}

    • c.

      \frac{\sqrt{40}}{3}

    • d.

      \frac{\sqrt{40}}{5}

    Cho 2 đường thẳng

    d_1,d_2

    chéo nhau có phương trình lần lượt là:

    d_1:\left\{\begin{matrix}

    x=t \\

    y=5-2t \\

    z=14-3t

    \end{matrix}\right.

    d_2:\left\{\begin{matrix}

    x=9-4t \\

    y=3+t \\

    z=-1+5t

    \end{matrix}\right.

    .
    Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

    d_1,d_2

    • a.

      \frac{4}{\sqrt 3}

    • b.

      \frac{4}{\sqrt 2}

    • c.

      \frac{3}{\sqrt 2}

    • d.

      \sqrt 3

    Cho hình lập phương

    ABCDA’B’C’D’

    có tọa độ các điểm

    A(0;0;0) B(1;0;0) D(0;1;0) A'(0;0;1)

    . Tính khoảng cách giữa

    AC

    B’D

    • a.

      1

    • b.

      \sqrt 2

    • c.

      \frac{1}{\sqrt 3}

    • d.

      \frac{1}{\sqrt 6}

    Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian Oxyz. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!

    Bài viết khác liên quan đến phương pháp toạ độ trong không gian