Cách xác định góc giữa hai đường thẳng cực hay

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng cực hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Để xác định góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có hai cách sau:

+ Cách 1: Gọi n→(x; y) và n’→( x’; y’) lần lượt là VTPT của hai đường thẳng d và d’. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

Cosα = |cos⁡( n→; n’→ ) | =

+ Cách 2: Gọi k1 và k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

tgα =

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 3x + y – 2 = 0 và (b): 2x – y + 39 = 0.

A. 300
   B. 600
   C. 900
   D. 450

Hướng dẫn giải

Đường thẳng: 3x + y – 2 = 0có VTPT n→( 3; 1).

Đường thẳng: 2x – y + 39 = 0 có VTPT n→( 2; -1)

cos(a; b) = |cos⁡( na→; nb→ ) |
=

⇒ ( a; b) = 450

Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 10x + 5y – 1 = 0 và
∆2 :

A.
   B.
   C.
   D.

Hướng dẫn:

Vectơ pháp tuyến của ∆1; ∆2 lần lượt là n1→ = (2; 1); n2→ = (1; 1)

cos(∆1; ∆2) = |cos⁡( n1→, n2→ ) | =

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0 .

A. 300
   B. 600
   C. 900
   D. 450

Lời giải

Đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 có VTPT n1→(3; 1)

Đường thẳng: 4x – 2y + 10= 0 có VTPT n2→(4; -2)

cos(d1, d2) = |cos⁡( n1→, n2→ ) | =
⇒ (d1, d2) = 450

Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 3y – 9 = 0 và d2:

A.
   B.
   C.
   D. tất cả sai

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của d1; d2 lần lượt là n1→( 1; 3); n2→(1; -1).

Cos( d1; d2) = |cos⁡( n1→, n2→ ) | =

Chọn C.

Ví dụ 5 : Tính góc giữa hai đường thẳng: (a):
= 1 và (b):

A. 00
   B. 450
   C. 600
   D. 900

Hướng dẫn giải

Đường thẳng (a) ⇔ 4x + 2y – 8 = 0 có VTPT n→( 4; 2)

Đường thẳng (b) có VTCP u→( 2; -4) nên VTPT n’→( 4; 2)

⇒ cos(a; b) =
= 1

⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho là 00.

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 6: Cho đường thẳng (a): x + y – 10 = 0 và đường thẳng (b): 2x + my + 99 = 0.
Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.

A. m = -1
   B. m = 0
   C. m = 1
   D. m = 2

Lời giải

Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; 1)

Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 2 ;m)

Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 450 thì

Cos450 =

⇔ |2 + m| =

⇔ 4 + 4m + m2 = 4 + m2

⇔ 4m = 0 ⇔ m = 0

Chọn B

Ví dụ 7: Cho đường thẳng (a): y = 2x + 3 và (b): y = -x + 6. Tính tan của góc tạo bởi hai
đường thẳng (a) và (b)?

A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

Lời giải

Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = 2 và đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = -1.

⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Tgα =
= 3

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng (d1): y = – 3x + 8 và (d2) : x + y – 10 = 0.
Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?

A.
   B. 1
   C. 3
   D.

Lời giải

Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = – 3.

Đường thẳng (d2) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.

⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

tgα =

Chọn A.

Ví dụ 9: Cho đường thẳng (a):
và đường thẳng ( b): x + my – 4 = 0.
Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600.

A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

Lời giải

+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m, 1) nên có VTPT n→( 1; -m) .

+ Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 1; m).

+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600 thì:

Cos600 =

⇔ 1 + m2 = 2.|1 – m2| (*)

+ Nếu -1 < m < 1 thì 1 – m2 > 0. Từ (*) suy ra: 1 + m2 = 2 (1 – m2)

⇔ 1+ m2 = 2- 2m2 ⇔ 3m2 = 1

⇔ m2 =
⇔ m= ±
( thỏa mãn điều kiện) .

+ Nếu m ≥ 1 hoặc m ≤ -1 thì 1- m2 ≤ 0. Từ (*) suy ra:

1 + m2 = 2( m2 – 1) ⇔ 1 + m2 = 2m2 – 2

⇔ m2 = 3 ⇔ m = ±√3.

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 2y – 7 = 0 và
d2: 2x – 4y + 9 = 0.

A. –
   B.
   C.
   D.

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là n1→ = (1; 2)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là n2→ = (2; -4)

Gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng ta có:

cosφ =
= –

Câu 2: Tìm góc giữa đường thẳng d: 6x – 5y + 15 = 0 và ∆2:

A. 900
   B. 300
   C. 450
   D. 600

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n1→ = (6; -5)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆2 là n2→ = (5; 6)

Ta có n1→ . n2→ ⇒ d ⊥ ∆2.

Câu 3: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1:
và d2:

A.
   B.
   C.
   D. tất cả sai

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Vectơ chỉ phương của d1; d2 lần lượt là u1→(3; 4); u2→(1; 1).

Cos( d1; d2) = |cos⁡(u1→; u2→) | =

Câu 4: Góc giữa hai đường thẳng: (a):
= 1 và (b):
gần với số đo nào nhất?

A. 630
   B. 250
   C. 600
   D. 900

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Đường thẳng (a) ⇔ 4x – 3y + 12 = 0 có VTPT n→( 4; -3).

Đường thẳng (b) có VTCP u→( 6; -12) nên VTPT n’→( 2; 1)

⇒ cos(a; b) =

⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho xấp xỉ 630.

Câu 5: Cho đường thẳng (a): x – y – 210 = 0 và đường thẳng (b): x + my + 47 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.

A. m = -1
   B. m = 0
   C. m = 1
   D. m = 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; -1)

Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 1; m)

Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 450 thì

Cos450 =

⇔ |1 – m| =

⇔ 1- 2m + m2 = 1 + m2

⇔ -2m = 0 ⇔ m = 0

Câu 6: Cho đường thẳng (a): y = -x + 30 và (b): y = 3x + 600. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?

A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = -1 và đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = 3.

⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Tgα =
= 2

Câu 7: Cho hai đường thẳng (d1): y = -2x + 80 và (d2) : x + y – 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?

A.
   B. 1
   C. 3
   D.

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = – 2.

Đường thẳng (d2) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.

⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

tgα =

Câu 8: Cho đường thẳng (a):
và đường thẳng ( b): 2x + y – 40 = 0.Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.

A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m; 2) nên có VTPT n→( 2; -m) .

+ Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 2;1).

+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450 thì:

Cos450 =

⇔
.√5 = √2|4 – m|

⇔ ( 4 + m2).5 = 2(16 – 8m + m2)

⇔ 20 + 5m2 = 32 – 16m + 2m2

⇔ 3m2 + 16m – 12 = 0 ⇔ m =
hoặc m = – 6

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học