Chứng minh phương trình tiếp tuyến

Table of Contents

Tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm bất kì thuộc đường cong là một đường thẳng chỉ “chạm” vào đường cong tại điểm đó. Tiếp tuyến như một đường thẳng nối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong. Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm x = c trên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm (c, f (c)) trên đường cong và có độ dốc f ‘(c) với f ‘ là đạo hàm của f.

This Post: Chứng minh phương trình tiếp tuyến

Nội dung chính

• Table of Contents
• II. Các dạng toán thường gặp của phương trình tiếp tuyến
• 1. Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0,y0) có dạng:
• 2. Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
• 3. Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k
• Kiến thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến
• Các dạng viết phương trình tiếp tuyến thường gặp
• Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
• Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
• Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k
• Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m
• Video liên quan

Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi là tiếp điểm, đường tiếp tuyến “đi theo hướng” của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó.

Mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng “chỉ chạm vào” mặt cong tại điểm đó.

– Hệ số góc k của tiếp tuyến chính là f′(x) . Vậy khi bài toán cho hệ số góc k thì các bạn sẽ đi giải phương trình sau:
f′(x0) = k; với x0 là hoành độ tiếp điểm.

Giải phương trình này các bạn sẽ tìm được x0, từ đó sẽ tìm được y0 .

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tai điểm M(x0;y0).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;y0) là y = y′(x0)(x−x0) + y0

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x.

II. Các dạng toán thường gặp của phương trình tiếp tuyến

• Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M
• Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
• Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k

1. Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0,y0) có dạng:

                                   y = f‘(x0)(x−x0) + y0   (1)

Trong đó: f‘(x0) là đạo hàm của hàm số tại điểm x0.

                x0; y0 là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng là: f′(x0); x0 và y0.

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm:

Để viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước M(x0, y0)

Cách làm: Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0,y0) thì công việc cần làm là tìm f′(x0); x0 và y0, trong đó x0, y0 chính là tọa độ của điểm M, vì vậy chỉ cần tính f′(x0), rồi thay vào phương trình (1) là xong.

2. Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho đồ thị hàm số y=f(x), viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(a,b)

Phương pháp:

Gọi phương trình tiếp tuyến của Δ có dạng: y = f’x_{0}(x – x_{0}) + y_{0} (2)

Và có tiếp điểm M0(x0,y0)

Vì A(a,b) thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:

b=f′x0(a–x0)+fx0 với fx0=y0

Phương trình này chỉ chứa ẩn x0, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm x0.

Sau đó sẽ tìm được f′x0 và y0.

Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được.

3. Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị (C) y = f(x) khi hệ số góc k ta làm theo các bước sau:

• Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
• Bước 2: Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ x0 của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm M0(x0;y0) với y0=f(x0)
• Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Δ tại tiếp điểm M0(x0;y0):

y=f′(x0)(x–x0)+y0

*Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

• Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a
• Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì k= −a

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những kiến thức toán cơ bản để ôn thi kết thúc THPT. Muốn thành thạo dạng toán phương trình tiếp tuyến này, không có cách nào khác là ta phải làm bài tập nhiều để ghi nhớ rõ ràng các phương pháp. Xem thêm các kiến thức về bài toán hàm số và vẽ đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trọng những dạng bài tập thường có trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông hay đề thi đại học hiện nay. Với rất nhiều dạng bài như: viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại 1 điểm, đi qua 1 điểm, biết hệ số góc,..Tất cả sẽ được chứng tôi chia sẻ chi tiết trong bài viết dưới đây giúp các bạn hệ thống lại kiến thức của mình nhé

Kiến thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M (x0; y0). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0; y0) là y = y'(x0 )(x – x0 ) + y0

Trong đó:

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.

Lưu ý:

Tham khảo thêm:

Các dạng viết phương trình tiếp tuyến thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Phương pháp:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại điểm M (x0; y0).

Lưu ý:

Ví dụ 1:Cho hàm số (C):y = x3 + 3×2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4).

Hướng dẫn

Ta có y’ = 3×2 + 6x;

=> k = y'(1) = 3. 12 + 6.1 = 9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4) là:

d: y = y'(x0 )(x – x0 ) + y0

<=> y = 9(x – 1) + 4 = 9x – 5

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x – 5

Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = (2x + 1)/(x – 1) và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M.

Lời giải:

Ta có: x0 = -1. Suy ra y0 = y(-1) = 1/2

Phương trình tiếp tuyến tại M là

Ví dụ 3: Cho hàm số (C):y = 4×3 – 6×2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9).

Hướng dẫn

Ta có y’ = 12×2 – 12x

Gọi M(x0, y0) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:

y = (12×02 – 12×0)(x – x0 ) + 4×03 – 6×02 + 1

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9) nên ta có:

-9 = (12×02 – 12×0 )( -1 – x0 ) + 4×03 – 6×03 + 1

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA)

Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA), hệ số góc k có dạng: d: y = k (x- xA ) + yA (*)

Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ

Bước 3: Giải hẹ trên tìm được x => K và thế vào phương trình (*) thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2.

Bước 1. Gọi M(x0; f(x0 )) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x0 ) = f'(x0) theo x0

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y'(x0)(x – x0) + y0(**). Do điểm A(xA; yA) ∈ d nên yA= y'(x0)(xA– x0) + y0giải phương trình này ta tìm được x0.

Bước 3. Thế x0vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = – 4×3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2).

Lời giải:

Ta có: y’= – 12×2 + 3

Đường thẳng d đi qua A (-1; 2) có hệ số góc k có phương trình d: y = k(x + 1) + 2.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ

Rút k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:

– 4×3 + 3x + 1 = (-12×2 + 3) (x + 1) + 2

⇔ 8×3 + 12×2 – 4 = 0

⇔ (x – ½)(x+ 1)2 = 0

⇔ x = -1 hoặc x = ½

+ Với x = -1. Thế vào phương trình k = – 12×2 + 3 ta được k bằng -9.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 9x – 7.

+ Với x = 1/2. Thế vào phương trình k = – 12×2 + 3 ta được k bằng 0.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2.

Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 2) là y = – 9x – 7 và y = 2.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của (C):

Lời giải

Điều kiện: x ≠ – 1. Ta có:

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C)

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

Phương pháp:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm M(x0; y0) là y=a(x−x0)+y0

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=−1/a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm M(x0; y0) là −1/a(x−x0)+y0

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tạo với trục hoành 1 góc α

RED : 453 Italian Restaurant Name Ideas to Wake Your Taste Buds – Soocial

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα.

Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y = ax + b một góc α, khi đó

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3×2 + 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y’ = 3×2 – 6x + 6

Khi đó y’ (x0 )=3×02 – 6×0 + 6 = 3(x02 – 2×0 + 2) = 3[(x0 – 1)2 + 1] ≥ 3

Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y’ (x0) = 3, dấu bằng xảy ra khi x0 = 1

Với x0 = 1 thì

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x – 1) + 5 = 3x + 2

Ví dụ 2: Cho hàm số (C):y = x3 – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.

Lời giải:

Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y’ = 3×2 – 3

Khi đó y'(x0 ) = 3×02 – 3 = 9 ⇔ x = ± 2

Với x0 = 2 => y0 = (2.3) – 3.2 + 2 = 4. Ta có tiếp điểm M1(2; 4).

Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1: y = 9(x- 2) + 4 ⇔ y = 9x – 14

+ Với x0 = -2 => y0 = 0. Ta có tiếp điểm M2 (-2; 0).

Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2: y = 9(x + 2) + 0 ⇔ y = 9x + 18

Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3×3 + ½ x2 – 2x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y – 1 = 0 một góc 450.

Lời giải

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0).

Có y’ = x2 + x – 2

Phương trình đường thẳng d: x + 3y – 1 = 0 ⇔ y = -1/3 x + 1/3

Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + 3y – 1 = 0 một góc 450 nên ta có

x0 = 0 ⇒ y(x0 )= 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = -2(x – 0) + 1 = -2x + 1

x0 = -1 ⇒ y(x0 ) = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = -2(x + 1) + 19/6 = -2x + 7/6

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m

Phương pháp:

Dựa vào điều kiện bài toán và các dạng toán ở trên để biện luận tìm ra tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị hàm số (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1.

Lời giải

TXD: D = R

Ta có: y’ = 3×2 – 6x.

Điểm M có hoành độ x0 = 1 nên suy ra y0 = x03 – 3×02 = 13 – 3.12 = -2

Vậy tọa độ điểm M (1; -2).

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M (1; -2) của (C) có dạng:

y – y0 = y ‘(x0). (x – x0) <=> y ​​+ 2 = (3.12 – 6.1). (x – 1) <=> y ​​= -3x + 1.

Khi đó để (d) // Δ:

Từ đó phương trình đường thẳng Δ: y = -3x + 3.

Kết luận: vậy với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M (1; -2) song song với đường thẳng Δ.

Hy vọng với những kiến thức mà chúng tôi vừa phân tích phía trên có thể giúp các bạn hệ thống lại được kiến thức từ đó biết giải nhanh các dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến nhé

Đánh giá bài viết

XEM THÊM

Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số chính xác 100% [ Bài tập minh họa]

Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải từ A – Z