Công thức nghiệm thu gọn

Công thức nghiệm [edit]

Xét phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\ (a \neq 0)\) với \(\Delta =b^2-4ac.\)

Khi đó:

+) \(\Delta >0\):  Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) và \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.\)

+) \(\Delta =0\): Phương trình có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}.\)

+) \(\Delta <0\): Phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm thu gọn [edit]

Xét phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\ (a \neq 0)\)             \((1)\)

Ở bài này ta chỉ xét các trường hợp hệ số bậc nhất (tức là \(b\)) là số chẵn nên ta có thể viết \(b=2b'\) với \(b' \in \mathbb{R}\).

Khi đó: \(\Delta=b^2-4ac=(2b')^2-4ac=4b'^2-4ac=4(b'^2-ac).\)

Đặt \(\Delta' =b'^2-ac,\) ta có: \(\Delta = 4. \Delta' \Rightarrow \sqrt{\Delta}=\sqrt{4.\Delta'}=2.\sqrt{\Delta'}\)

Lưu ý rằng \(\Delta\) và \(\Delta'\) cùng dấu. Ta cũng có các trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: \(\Delta' >0\)

Phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'+2.\sqrt{\Delta'}}{2a}=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}.\)

\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'-2.\sqrt{\Delta'}}{2a}=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}.\)

+) Trường hợp 2: \(\Delta'=0\)

Phương trình \((1)\) có nghiệm kép \(x_1=x_2=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-2b'}{2a}=\dfrac{-b'}{a}.\)

+) Trường hợp 3: \(\Delta'<0\): Phương trình \((1)\) vô nghiệm.

Nhận thấy rằng, sau khi biến đổi, công thức nghiệm trở nên đơn giản hơn. Công thức nghiệm trên được gọi là công thức nghiệm thu gọn.

Tổng quát:

\(ax^2+bx+c=0\) với \(a \neq 0\), với \(b=2b'\) và \(\Delta' = b'^2-ac\)

\(\Delta' >0\)

     Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\) và \(x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}.\)

\(\Delta' =0\)

     Phương trình có hai nghiệm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{b'}{a}.\)

\(\Delta' <0\)

      Phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \(x^2-6x+8=0.\)

Giải

Ta có: \(a=1,\ b'=-3,\ c=8.\)

Khi đó \(\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.8=1>0.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1=\dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{1}=3+1=4,\)

\(x_2=\dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{1}=3-1=1.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x_1=4,\ x_2=1.\)

Chú ý:

Khi xác định các hệ số cần chú ý hệ số bậc nhất là \(b'\).