Công Thức Nguyên Hàm Từng Phần & Bài Tập Ví Dụ


WElearn Wind

Rate this post

Nguyên hàm là phần thường xuyên ra thi nhất. Vì vậy, nếu không nắm chắc kiến thức, bạn sẽ rất dễ bị nhầm lẫn và mất điểm oan. Hiểu được điều đó, hôm nay, WElearn đã tổng hợp cho bạn các công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất để bạn có thể tham khảo.

1. Nguyên hàm từng phần là gì

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng phần: ∫udv = uv−∫vdu.

Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.

2. Công thức nguyên hàm từng phần

Công thức nguyên hàm từng phần được biểu diễn như sau:

∫udv = uv−∫vdu.

Trong đó: u và v là 2 trong 4 hàm số  logarit, đa thức, lượng giác hoặc hàm số mũ.

3. 

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Thực hiện các bước sau để tính nguyên hàm từng phần

  • Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng 

    I=\int{f(x).g(x)dx}

    .

  • Bước 2: Đặt 

    \left\{ \begin{array}{l}u=f(x)\\dv=g(x)dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=f'(x)dx\\v=\int{g(x)dx}\end{array} \right.

     (chọn 

    v

     là một nguyên hàm của

    g(x)

    ).

  • Bước 3: Khi đó 

    I=\int{udv}=uv-\int{vdu}

    .

Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm số

vFGVeRZAx9 PSSuUbgVFS T7NLwPbZEWGAp5HPMyyZqMkjjkx5VwUZsixpvRwhFzHO4JzWXUsoKM6MXyPf32AjNO712Y4XBpVtqURwJLAMnV06O6u7Hl ejmay0OgFpaImRv7oQ

Bài giải: Đặt

mxyOO7x0dLme 2z wxFcBrimvnWEQIkgbRABY8QCbfyoTv9rz5lJZySV69zxmsMyh5HzjqFu

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có

Z30ETMb5hn9RkCuid9BmnRg TfC7GNYAriRNTDtBP2n 0SrAUXoY5hN2rp9bIqTOrsFGYzoJOwmcTzN6GESfCG59hZw1vUBb1GwsbVB5JHv1PEP4NE3q1bOwTabzfkjb9WMfUmtj

4. 

Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp

HEWFmig0Ep7TxLHfLRfd7BGkfw YqfV N76EElXUs0Kwywe8svNeoxufq2sfnC t4B12lmsS5JkhevF1ytGXvWaiJgJlKj5XIXsGAx24WXcoqebT9RUpCzU R2TFJfus ik0Mqr

5. Lưu ý khi sử dụng công thức nguyên hàm từng phần

Khi I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ. Thì ta đặt u theo quy tắc

  • Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)

  • Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)

Nghĩa là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt hàm số đó là u. Ví dụ

Nếu

  • f(x) là hàm log, g(x)  là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt

f uYmHIzcn rlkuu 9Ha6FfFIdcs5K aCt70YJvcEZlB89jQxFd5o8gXO3 Mc 2uGN0A66HUjiWCabdQWyOIvYOFMA69xO0CYTHnF gQy4tXBpVGdPP2ABjkaDQLOgpsyi6su1nN

Tương tự nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm đa thức, ta sẽ đặt

5y ieiMmrzJ8fimwHbqCf4HjYukTr0Wh1pdoaBXskDI9NCdXfe RL0iODXGjdXAqwtyGs78KSOW0RxHwjX9jDMe DorBNOzgv7X1eDIqB BVAAORe79ULOmq4A0BTHX4PkfCfcLY

Khi tính tích phân từng phần, số lần thực hiện tích phân từng phần thụ thuộc và bậc của hàm log và đa thức. Ví dụ

  • Nếu trong biểu thức tích phân có  

    kW71CYpnMP9C45itPI9HuoYKeBbe6KosiXhhjr

     thì phải tích phân từng phần n lần.

  • Nếu trong biểu thức tích phân có đa thức bậc n:  (không có hàm logarit) ==> thì cũng phải tích phân từng phần n  lần.

6. C

ác nguyên hàm thường gặp và bài tập ví dụ

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit

Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau với f(x) là một hàm của đa thức.

Cwk4CdcqHKhK4JIKL5tU1l8dyUh8rLVeZigBmi

Phương pháp giải

Đặt

Để bạn hiểu rõ hơn về dạng này, chúng ta cùng nhau làm 1 ví dụ sau đây nhé:

Ví dụ:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương pháp giải ở trên bạn dễ thấy

saO3 rpc4ZEfPTsDBi5 Bum7FlQGaf5xHmD0 T8ju X1Eupd6S5XseU8 pkSihRKh E0PEcSTKiSf0gNs MLkK5B9gS5 pqKPay

Đặt

Mqn5R7zV0YuCgjCmTgdq6q0293ztZczaJ7xKcki5OkWYAVvrjY 8RelsRgYF8ySRHpjsqwlocUSOivLK2ReYayHM CcFKmP1THvucX3becQHCUI3Nccfcv3S p K0GLRWrF1VcRE

Thao vào hàm số ta có

cK8xumh8mQp6WCtBHLsqTdiZauxct3zZgirb8 SbNNKG1mtejvGwGVTUZzf3MSgCi7s20rFR0sPzQAw6NaEHOss WzZrcQrl1Sh41eAAbYiPAIPGQ shrRyG9IydVGhM9KG0k 5

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ 2I69IrvXC8 AeXWMdA5LRroAZXIP6WJcx 9JRmV61oPNBzkPOh4ed3PQvb9IId7O LAZiKV3ed5 ap6IP9O G0HAFwHjnqwJ8pFPYl4hOgRmMLrwSMf iaQN SZESB0iT 2ztya0 với f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp

Đặt

3bK7hIef2XglOhdEAFL6 9qMkZpaZCBKvWOlvnPIpfUT1KqlzXbOwi13UGTfsqAnw J1sUZEWIPc0aFp472OxGFtOa3lYQ0N5OY02UtmBlwHKJmNAOkAG6rRDg6pwBPyZS0d2 Um

Ví dụ

Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau PFSFldxZQ96i8 7VSuJ4SmoMdy6Y207vwBcH2zcDs6GvhQSxL72iaF99tSdUUY2pto5FC7U10LeXS9G3kpgTDzw3CNzfTdS6 aa HjMjEFTQKQoLw4pc3eBIF4EXvyHlAGQQ6hsh

Lời giải: Đặt

Pz t zIeb 9NGLEtfCyRiZDzsYEepMluKYebn3IJ2A9gKvQcUZIc2c07lcXP4VbeSG4bF2bqxR3jiEQjWk2XdVMmvbp1 icRucyDMEWfv4nvj6GfwMDyapr7qG 4vGCQd0stUrEi

Thay vào hàm số, ta có

1yNi9jJA 2dMWmhhjANfe4bRwK3ifemTLCbHEnTbX8WK084FgQA1ZgYfbTKxYG2ISfjzn6SQk0Yf7 kFQ5jKL ImQma v5E5P50SDqlhTLd8cDECLPGiVS3vNyvzDcD767W d C

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

4k4BGszmPuNLRBdc1QtW8vhNed6tgdbl6HwG6rqoxlFIuV5REC7vbV6mR9X9PWgnW SofNpJIxJg7f0MDY0 l ILeefHMKM2eGBRQw8iO5tgXWDeXPAAECVB5JEIqaHdOAKt2Zt0hAWun5Jm7QhdS4KS xmg6gLkvRQA0gbHBmKkCaM0bK0hyzywLg6q9SzZnQetM366C2Ic ifKOFl4cvmk1Fi54ZzbMIFdUEjjNcHpR2aX6diIqNQuTZTleFY

Phương pháp

Đặt

oQoYVPyubq1V5G VQBplIXdTBNtTMz QR5DSGsfREW1WtYa7WuuNbUYaL3ZgYG9DjnJFZ8xZYq08kr fGzMcUhVtLF2bbOgeZ1u2kzoKkHpw4sUQcRXSSim1fu6lPQWXq9 9iiZq

Ví dụ:

Hãy tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau A=∫xsinxdx

Lời giải: Đặt

c1izci0A89ESzxpLUqDfdIVSrwTLv66Egs6zhK7MyhC3NgcVWfj2fiN7sb5Hx9FdFz841Y60NQakG1W8ySyGx0YHq7iWiyOzRS5 kUE5jy9W e76LG u7eGhst3l6228H8u8bsp

Thay vào đề bài, ta có

0KijKnAOp7JyUP sXdsg36tqu9yiGQmOTb4OTF12ecwLY1vdtRi8XvTpvcsgevajXlpCGW0HozKAVoVCy3moYLE w1hBdp6Ce2GI1Qc1Tho wrq jCDcvF9PTLJ4UFVopGGLRVlv

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Hãy tính nguyên hàm kết hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ

dDku7LNRRkL5v JsK3Eg u1GX Fg0WBkmVNeCa2X IxzkdARIMjPgjNz8 fVphxbY2tb3XD3ptCnS7ffEqH

Phương pháp

Đặt

zX0nB3GVbwBWasffm19gLDaJxBFDG82lhOqZAvbEYOtNPGZn9Sjfhx90owZn962VcOiqT2

Ví dụ

Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e mũ sau đây

kekthFYJ Ek 4FrNZNoW UrIW Nv14 AtfTejTwZHimTlHULdW I Gdk5E54YeQXEtY4DvBGwv05rNvnavBuFtA

Bài giải: Đặt

VYf1I6TlUK3RAzV1EFEliAJCjDLzEzEbY3Nk25uxkqrlrvvrGeNFReHMrvxymJ1t83loHEA A7z0rLy xeLjmoGCdKzp1asEaQP61npw6EDElelpebthIY9Ele 6Pxt3wc0uVC X

Khi đó, nguyên hàm trở thành:

xoNrs0J F4R94LX5Ihqd2GTayz8dnkelf SQeucgsh4h2B87953HGUkglTyBms7XlW54FLL75Y1FANs8tDc EqG0W4VtsPjgMJ9FFC7arrDwW Ts1SkJQ04Zw1KyfM QaLgGQLgL

Tiếp tục nguyên hàm từng phần J ta có

D7qu23pgczlco b GvC4cQk9nYnow1Lg 2pIk3yYhMgoLHtqObKaWI11DkBYBUqJM3omKn5zMhLFYlnonQOA2jJdV7A 4 cF5hqS6qYptvaTMuYodtbPlKV9nTI6F92SaBp9QN z

Khi đó:

hcedCw1kpbQEAF7EIbKAX1s rbpUjtBYM0zsJ1sPYRqrtstyV6o7 YGEAWNm9EDnUsXQW tB 7FrJ khg4fLb2PoSBTKsy 8PX6IQQqH cbLMjpeimyLTmTiaBqKyN

7. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 (Chuyên Vinh 2017 Lần 3) Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn f'(x)=(x+1){{e}^{x}} và \int{f(x)dx}=(ax+b){{e}^{x}}+c với a,b,c là các hằng số. Khi đó:

    A. a+b=2.                  B. a+b=3.                     C. a+b=0.                    D. a+b=1.

Lời giải:

f'(x)=(x+1){{e}^{x}}\Rightarrow f(x)=\int{(x+1){{e}^{x}}dx}.

Đặt \left\{ \begin{array}{l}u=x+1\\dv={{e}^{x}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=dx\\v={{e}^{x}}\end{array} \right.\Rightarrow f(x)   =(x+1){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}d(x+1)}=(x+1){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+c=x{{e}^{x}}+C.

Chọn f(x)=x{{e}^{x}} ta có \int{f(x)dx}=\int{x{{e}^{x}}dx}

Đặt \left\{ \begin{array}{l}{{u}_{1}}=x\\d{{v}_{1}}={{e}^{x}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{{u}_{1}}=dx\\{{v}_{1}}={{e}^{x}}\end{array} \right. 

     \Rightarrow \int{f(x)dx=}x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x-1){{e}^{x}}+C.

Do đó a=1;\,b=-1\Rightarrow a+b=0. Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau :

    a) I=\int{{{x}^{2}}\ln xdx}.     b) I=\int{{{e}^{x}}\sin xdx}.    c) I=\int{({{x}^{2}}+2x)\sin }xdx.

Lời giải:

    a) I=\int{{{x}^{2}}\ln xdx}

    Đặt \left\{ \begin{array}{l}u=\ln x\\dv={{x}^{2}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{{{x}^{3}}}{3}\end{array} \right.\Rightarrow I=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\int{\frac{{{x}^{3}}}{3}.}\frac{dx}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\frac{{{x}^{3}}}{9}+C.

    Nhận xét: Ngoài cách đặt u,v như trên ta có thể làm trực tiếp như sau:

    I=\int{\ln xd\left( \frac{{{x}^{3}}}{3} \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\int{\frac{{{x}^{3}}}{3}d(\ln x)}}=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\int{\frac{{{x}^{3}}}{3}.\frac{dx}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\frac{{{x}^{3}}}{9}+C}.

    b) I=\int{{{e}^{x}}\sin xdx}

    Đặt \left\{ \begin{array}{l}u={{e}^{x}}\\dv=\sin xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du={{e}^{x}}dx\\v=-\cos x\end{array} \right.\Rightarrow I=-{{e}^{x}}\cos x+\int{\cos x.{{e}^{x}}dx}.

    Đặt \left\{ \begin{array}{l}{{u}_{1}}={{e}^{x}}\\d{{v}_{1}}=\cos xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{{u}_{1}}={{e}^{x}}dx\\{{v}_{1}}=\sin x\end{array} \right.

    \begin{array}{l}\Rightarrow I=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x-\int{\sin x.{{e}^{x}}dx}=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x+C-I\\\Rightarrow I=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x+C-I\\\Leftrightarrow 2I=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x+C\Leftrightarrow I=-\frac{1}{2}{{e}^{x}}\cos x+\frac{1}{2}{{e}^{x}}\sin x+C\end{array}

    Nhận xét: Nếu biểu thức cần tính nguyên hàm là tích của hàm số lượng giác và hàm số mũ thì có thể đặt u,v tùy ý. Tuy nhiên trong quá trình tính sẽ gồm các vòng lặp, trong mỗi vòng lặp ta phải nhất quán việc đặt u.

    c) \int{({{x}^{2}}+2x)\sin }xdx.

    Đặt \left\{ \begin{array}{l}u={{x}^{2}}+2x\\dv=\sin xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=(2x+2)dx\\v=-\cos x\end{array} \right.\Rightarrow I=-({{x}^{2}}+2x)\cos x+\int{\cos x.(2x+2)dx}.

    Đặt \left\{ \begin{array}{l}u=2x+2\\dv=\cos xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=2dx\\v=\sin x\end{array} \right.

     \begin{array}{l}\Rightarrow I=-({{x}^{2}}+2x)\cos x+(2x+2)\sin x-\int{\sin x.2dx}\\I=-({{x}^{2}}+2x)\cos x+(2x+2)\sin x+2\cos x+C\end{array}

    Nhận xét: Nếu hàm đa thức bậc n thì phải thực hiện tích phân từng phần n lần.

Ví dụ 3: Tìm I=\int{\frac{x\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx

    A. I=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C.                                                 B. I=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+C.    

    C. I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C.        D. I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C.

Lời giải:

I=\int{\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right).\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}.

Đặt \left\{ \begin{array}{l}u=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\\dv=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\\v=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\end{array} \right..

Theo công thức tính nguyên hà, từng phần, ta có:

I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-\int{dx}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C

Chọn C.

Ví dụ 4: Kết quả của phép lấy nguyên hàm I=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx là

    A. I=\frac{x\sqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+\frac{a\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}{2}+C.                      B. I=\frac{x\sqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+C .

    C. I=\frac{a\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}{2}+C .                                     D. I=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right)+C.

Lời giải:

Đặt \left\{ \begin{array}{l}u=\sqrt{{{x}^{2}}+a}\\dv=dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx\\v=x\end{array} \right.

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

                    I=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-\int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx}=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-\int{\frac{({{x}^{2}}+a)-a}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx}

=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-\int{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx+a\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-I+a.J}    (1)

Tính J=\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}}.

Đặt t=x+\sqrt{{{x}^{2}}+a}\Rightarrow dt=\left( 1+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}} \right)dx=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+a}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx=\frac{t}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx .

        \Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}=\frac{dt}{t}.

Do đó J=\int{\frac{dt}{t}=\ln |t|\,=\,\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}.        (2)

Từ (1) và (2) ta có: I=\frac{x\sqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+\frac{a\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}{2}+C.

Chọn A.

Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số f(x)=\sin \left( \ln x \right) là hàm số

    A. F(x)=\frac{x\cos (\ln x)}{2}+C.                                    B. F(x)=\frac{x\sin x(\ln x)}{2}+C.

    C. F(x)=\frac{x\cos (\ln x)-x\sin (\ln x)}{2}+C.                      D. F(x)=\frac{x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x)}{2}+C.

Lời giải:

Tính F(x)=\int{f(x)dx}=\int{\sin (\ln x)dx}.

Đặt \left\{ \begin{array}{l}u=\sin (\ln x)\\dv=dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{1}{x}\cos (\ln x)dx\\v=x\end{array} \right..

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

F(x)=x\sin (\ln x)-\int{\cos (\ln x)dx}=x\sin (\ln x)-J     (1)

Xét J=\int{\cos (\ln x)dx}.

Đặt \left\{ \begin{array}{l}u=\cos (\ln x)\\dv=dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=-\frac{1}{x}\sin (\ln x)dx\\v=x\end{array} \right.

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

J=x\cos (\ln x)+\int{\sin (\ln x)dx}=x\cos (\ln x)+I         (2)

Từ (1) và (2) ta có:

I=x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x)-I\Leftrightarrow 2I=x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x).

                            \Leftrightarrow F(x)=\frac{x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x)}{2}+C.

Chọn D.

Như vậy, bài viết đã Tổng Hợp Các Công Thức Nguyên Hàm Từng Phần Chính Xác Nhất. Hy vọng những kiến thức mà Trung tâm gia sư WElearn chia sẻ có thể giúp ích cho bạn trong việc học tốt môn toán hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan