Công thức nhị thức Newton lớp 11 – ToanC3

Nhị thức newton là một khái niệm toán lớp 11, nó khá mới mẻ với học sinh. Bởi vậy, hôm nay ToanC3 xin chia sẻ đến các bạn công thức nhị thức newton, các dạng toán thường gặp đồng thời mỗi phần đề có bài tập kèm lời giải.

This Post: Công thức nhị thức Newton lớp 11 – ToanC3

1. Công thức nhị thức newton 

1.1 Khai triển nhị thức newton

Nếu n ∈ N thì ta có khai triển quan trọng sau đây:

Trong đó:

• Trong khai triển có n + 1 số hạng
• Trong mỗi số hạng thì tổng số mũ của số hạng a và số mũ của số hạng b bằng n.
• Số hạng thứ k + 1 trong khai triển: Tk + 1 = $C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$ ( k = 0, 1, 2, …, n)
• Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$
• $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$, $C_{n}^{k-1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}$

1.2 Cách khai triển nhị thức newton

Nếu a, b là những giá trị đặc biệt thì ta thu được những công thức tương ứng. Như:

2. Các dạng bài tập nhị thức Newton

Dạng 1: Tìm các hệ số và số hạng

Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: $C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}$ với giá trị k đã tìm được ở trên.

Trường hợp k > n hoặc k ∉ Z thì khai triển nhị thức không chưa xm, hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Số hạng chứa xm trong khai triển của nhị thức được xác định

P(x) = (a + bxp + cxq)n được viết dưới dạng a0 + a1x + … + a2nx2n.

Ta làm như sau:

• Viết $P\left( x \right) = {{\left( a + b{{x}^{p}} + c{{x}^{q}} \right)}^{n}} = \sum\limits_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{\left( b{{x}^{p}} + c{{x}^{q}} \right)}^{k}}}$;
• Viết số hạng tổng quát của khai triển triện (bxp + cxq)k.
• Hệ số của xm trong khai triển được tìm ra từ số hạng tổng quát

Chú ý: Trong khai triển nhị thức Niu tơn, muốn xác định hệ số lớn nhất thì ta làm như sau:

• Xác định hệ số ak
• Giá trị k lớn nhất thu được từ giải bất PT ak − 1 ≤ ak sẽ ứng với hệ số lớn nhất cần tìm

Dạng 2: Bài toán tổng $\sum\limits_{k = 0}^{n}{{{a}_{k}}C_{n}^{k}}{{b}^{k}}$.

Cách 1: Dựa vào ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + {a^{n – 1}}bC_n^1 + {a^{n – 2}}{b^2}C_n^2 + … + {b^n}C_n^n$

Những hệ quả thu được

Cách 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng ở trên.

3. Bài tập về nhị thức newton

Bài 1: Ta biết, khi khai triển (a + 2)n + 6 thì người ta đếm có 17 số hạng (n ∈ N). Hỏi n bằng bao nhiêu

A. 10.

B. 4.

C. 5.

D. 18.

Gợi ýChọn A.

Chọn A.

Ta thấy (a + 2)n + 6, có mũ là (n + 6) => Số hạng sẽ là  [( n + 6) + 1] = 17 ⇔ n = 10.

Bài 2: Hệ số hạng chính giữa của khai triển ${{\left( 3{{x}^{2}}-y \right)}^{10}}$ là

RED : Online Auto Refinance Loans with Low Rates | Upstart

A. $-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.

B. $-{{4}^{8}}.C_{10}^{4}$.

C. ${{5}^{7}}.C_{10}^{5}$.

D. ${{5}^{6}}.C_{10}^{4}$.

Gợi ýChọn A.

Chọn A.

Có tổng cộng 11 số hạng trong khai triển nhị thức (3×2−y)10, nên số hạng thứ 6 là chính giữa.

Khi đó, hệ số của số hạng thứ 6 ( chính giữa ) là $-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$.

Bài 3: Trong khai triển ${{\left( {{a}^{2}} + \frac{1}{b} \right)}^{7}}$, số hạng thứ 5 là:

A. 35.a6.b−4.

B. −35.a6.b−4.

C. 35.a4.b−5.

D. −35.a4.b.

Gợi ýChọn A.

Chọn A.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k + 1}} = C_{7}^{k}.{{a}^{14-2k}}.{{b}^{-k}}$

Vậy số hạng thứ 5 là ${{T}_{5}} = C_{7}^{4}.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}} = 35.{{a}^{6}}.{{b}^{-4}}$

Bài 4: Hãy tìm tổng hai số hạng cuối trong khai triển nhị thức niuton của ${{\left( x-\sqrt{y} \right)}^{16}}$

A. $-16x\sqrt{{{y}^{15}}} + {{y}^{8}}$.

B. $x\sqrt{{{y}^{11}}} + {{y}^{10}}$.

C. $3x{{y}^{2}} + {{y}^{1}}$.

D. $16x{{y}^{8}} + {{y}^{15}}$.

Gợi ýChọn A.

Chọn A.

Ta có: ${{\left( x-\sqrt{y} \right)}^{16}} = C_{16}^{0}{{x}^{16}}-C_{16}^{1}{{x}^{15}}.\sqrt{y} + …-C_{16}^{15}x{{\left( \sqrt{y} \right)}^{15}} + C_{16}^{16}{{\left( \sqrt{y} \right)}^{16}}$

Bài 5: Tính giá trị của tổng $S\text{ } = \,\,C_{6}^{0} + C_{6}^{1} + .. + C_{6}^{6}$ bằng:

A. 64.

B. 48.

C. 72.

D. 100.

Gợi ýChọn A.

Chọn A.

$\text{S = }\,\,\text{C}_{\text{6}}^{\text{0}}\text{ + C}_{\text{6}}^{\text{1}}\text{ + }…\text{ + C}_{\text{6}}^{\text{6}} = {{2}^{6}} = 64$

Bài 6: KKhai triển (x + y)5 rồi thay x, y bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng $S = \,\,C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + … + C_{5}^{5}$

A. 32.

B. 64.

C. 1.

D. 12.

Gợi ýChọn A.

Chọn A.

Với $x = 1,y = 1$ ta có $\text{S = }\,\,\text{C}_{\text{5}}^{\text{0}}\text{ + C}_{\text{5}}^{\text{1}}\text{ + }…\text{ + C}_{\text{5}}^{\text{5}} = {{(1 + 1)}^{5}} = 32$.

Bài 7: Cho ${{S}_{3}} = 2.1.C_{n}^{2} + 3.2C_{n}^{3} + 4.3C_{n}^{4} + … + n(n-1)C_{n}^{n}$. Hãy tính S3.

A. n(n + 3)2n−2

B. n(n – 2)2n−2

C. n(n − 1)2n−2

D. n(n + 1)2n + 2

Gợi ýChọn C.

Chọn C.

Ta có $k(k-1)C_{n}^{k} = \frac{n!}{(k-2)!(n-k)!} = n(n-1)C_{n-2}^{k-2}$

$\Rightarrow {{S}_{3}} = n(n-1)\sum\limits_{k = 2}^{n}{C_{n-2}^{k-2}} = n(n-1){{2}^{n-2}}$.

Bài 8: Tính tổng sau: ${{S}_{1}} = {{5}^{n}}C_{n}^{0} + {{5}^{n-1}}.3.C_{n}^{n-1} + {{3}^{2}}{{.5}^{n-2}}C_{n}^{n-2} + … + {{3}^{n}}C_{n}^{0}$

A. 28n

B. 1 + 8n

C. 8n−1

D. 8n

Gợi ýChọn D.

Chọn D.

Ta có: S1 = (5 + 3)n = 8n

Bài 9: Tính tổng ${{S}_{3}} = C_{n}^{1} + 2C_{n}^{2} + … + nC_{n}^{n}$

A. 4n.2n−1

B. n.2n−1

C. 3n.2n−1

D. 2n.2n−1

Gợi ýChọn B.

Chọn B.

Ta có: $kC_{n}^{k} = k.\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}$$ = n\frac{(n-1)!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!} = nC_{n-1}^{k-1}$, $\forall k\ge 1$

$\Rightarrow {{S}_{3}} = \sum\limits_{k = 1}^{n}{nC_{n-1}^{k-1}} = n\sum\limits_{k = 0}^{n-1}{C_{n-1}^{k}} = n{{.2}^{n-1}}$.

Trên đây là toàn bộ chia sẻ nhị thức newton 11 liên quan tới các khai triển thường gặp, các dạng toán và bài tập rèn luyện kĩ năng giải. Mong rằng bài viết này đã giúp ích được bạn. Chúc bạn học tốt!