Công thức nội suy giữa hai giá trị.

Thuật ngữ này có các nghĩa khác, xem Nội suy.

Phép nội suy, phép nội suy (từ vĩ độ. nội suy – « làm mịn, đổi mới, làm mới; chuyển đổi"") – trong toán học tính toán, một phương pháp tìm các giá trị trung gian của một đại lượng từ một tập hợp các giá trị đã biết rời rạc hiện có. Thuật ngữ "nội suy" được John Vallis sử dụng lần đầu tiên trong chuyên luận Số học của cái vô hạn (1656).

Trong phân tích hàm, nội suy các toán tử tuyến tính là một phần coi không gian Banach là phần tử của một phạm trù nhất định.

Nhiều người trong số những người xử lý các tính toán khoa học và kỹ thuật thường phải làm việc với các bộ giá trị thu được theo kinh nghiệm hoặc bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên. Theo quy tắc, trên cơ sở các tập hợp này, cần phải xây dựng một hàm mà trên đó các giá trị thu được khác có thể giảm với độ chính xác cao. Nhiệm vụ như vậy được gọi là tính gần đúng. Nội suy là một loại phép gần đúng trong đó đường cong của hàm đã xây dựng đi qua chính xác các điểm dữ liệu có sẵn.

Cũng có một vấn đề gần với phép nội suy, bao gồm việc xấp xỉ một hàm phức tạp nào đó bằng một hàm khác đơn giản hơn. Nếu một hàm nào đó quá phức tạp để tính toán hiệu quả, bạn có thể thử tính giá trị của nó tại một số điểm và xây dựng, nghĩa là nội suy, một hàm đơn giản hơn từ chúng. Tất nhiên, việc sử dụng một hàm đơn giản hóa không cho phép bạn nhận được kết quả chính xác giống như hàm ban đầu sẽ cung cấp. Nhưng trong một số bài toán, lợi ích về tính đơn giản và tốc độ tính toán có thể lớn hơn sai số dẫn đến kết quả.

Chúng ta cũng nên đề cập đến một loại nội suy toán học hoàn toàn khác, được gọi là "nội suy toán tử". Các công trình kinh điển về phép nội suy toán tử bao gồm định lý Riesz-Thorin và định lý Marcinkiewicz, là cơ sở cho nhiều công trình khác.

Hãy xem xét một hệ thống các điểm không trùng nhau x i (\ displaystyle x_ (i)) (i ∈ 0, 1,…, N (\ displaystyle i \ in (0,1, \ dot, N))) từ một miền D ( \ displaystyle D). Hãy để các giá trị của hàm f (\ displaystyle f) chỉ được biết tại những điểm sau:

Y i = f (x i), i = 1,…, N. (\ displaystyle y_ (i) = f (x_ (i)), \ quad i = 1, \ ldots, N.)

Vấn đề của phép nội suy là tìm một hàm F (\ displaystyle F) từ một lớp hàm đã cho sao cho

F (x i) = y i, i = 1,…, N. (\ displaystyle F (x_ (i)) = y_ (i), \ quad i = 1, \ ldots, N.)

1. Giả sử chúng ta có một hàm bảng như bên dưới, với nhiều giá trị của x (\ displaystyle x), xác định các giá trị tương ứng của f (\ displaystyle f):

X (\ displaystyle x) f (x) (\ displaystyle f (x))

Nội suy giúp chúng ta biết một hàm như vậy có thể có giá trị nào tại một điểm khác với các điểm đã chỉ định (ví dụ: khi x
= 2,5).

Đến nay, có nhiều phương pháp nội suy khác nhau. Việc lựa chọn thuật toán phù hợp nhất phụ thuộc vào câu trả lời cho các câu hỏi: phương pháp được chọn chính xác đến mức nào, chi phí sử dụng nó là bao nhiêu, hàm nội suy có mượt không, nó yêu cầu bao nhiêu điểm dữ liệu, v.v.

2. Tìm một giá trị trung gian (bằng nội suy tuyến tính).

15,5 + (6378 – 6000) 8000 – 6000 ∗ (19,2 – 15,5) 1 = 16.1993 (\ displaystyle? = 15,5 + (\ frac ((6378-6000)) (8000-6000)) * (\ frac ((19,2- 15.5)) (1)) = 16.1993)

Một ví dụ về nội suy tuyến tính cho hàm y = 3 x + x 2 (\ displaystyle y = 3x + x ^ (2)). Người dùng có thể nhập một số từ 1 đến 10.

chương trình interpol số nguyên i thực x, y, xv, yv, yv2 thứ nguyên x (10) thứ nguyên y (10) gọi lăng trụ (x, i) gọi func (x, y, i) write (*, *) "nhập số: "read (*, *) xv if ((xv> = 1) .and. (xv xv)) then yv2 = ((xv – x (i)) * (y (i + 1) – y (i)) / (x (i + 1) – x (i))) + y (i) end if end do end chương trình conint main () (system ("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system ("echo Interpolate X1 – X2"); system ("echo Enter number: "); cin >> ob; system (" echo Ví dụ 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29 "); cout> x1; cout> x2; cout> y1; cout> y2; p1 = y1 – x1; p2 = y2 – x2; pi = p2 / p1; skolko = ob – x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Phương pháp nội suy đơn giản nhất là nội suy lân cận gần nhất.

Trong thực tế, phép nội suy theo đa thức thường được sử dụng nhất. Điều này chủ yếu là do đa thức dễ tính, dễ phân tích để tìm đạo hàm và tập đa thức dày đặc trong không gian của các hàm liên tục (định lý Weierstrass).

trên lớp các hàm từ không gian C2 có đồ thị đi qua các điểm của mảng (xi, yi), i = 0, 1,. . . , m.

Quyết định. Trong số tất cả các hàm đi qua các điểm tham chiếu (xi, f (xi)) và thuộc không gian đã đề cập, thì spline lập phương S (x) thỏa mãn các điều kiện biên S00 (a) = S00 (b) = 0 cung cấp hàm cực trị (cực tiểu) I (f).

Thường trong thực tế có một bài toán tìm kiếm giá trị cho trước của hàm giá trị của đối số. Vấn đề này được giải quyết bằng phương pháp nội suy ngược. Nếu hàm đã cho là đơn điệu, thì cách dễ nhất để thực hiện nội suy ngược là thay thế hàm bằng một đối số và ngược lại rồi nội suy. Nếu hàm đã cho không đơn điệu thì không thể sử dụng kỹ thuật này. Sau đó, không thay đổi vai trò của hàm và đối số, chúng ta viết ra công thức nội suy này hoặc công thức nội suy đó; sử dụng các giá trị đã biết của đối số và giả sử hàm đã biết, chúng ta giải phương trình kết quả đối với đối số.

Ước lượng của số hạng dư khi sử dụng phương pháp đầu tiên sẽ giống như với nội suy trực tiếp, chỉ có các đạo hàm của hàm trực tiếp phải được thay thế bằng các đạo hàm của hàm ngược. Hãy để chúng tôi ước tính sai số của phương pháp thứ hai. Nếu chúng ta được cho một hàm f (x) và Ln (x) là đa thức nội suy Lagrange được xây dựng cho hàm này trên các nút x0, x1, x2 ,. . . , xn, sau đó

f (x) – Ln (x) = (n + 1)! (x – x0). . . (x – xn).

Giả sử chúng ta cần tìm một giá trị x¯ sao cho f (¯x) = y¯ (y¯ đã cho). Chúng ta sẽ giải phương trình Ln (x) = y¯. Hãy nhận một số giá trị x¯. Thay vào phương trình trước, chúng ta nhận được:

Mn + 1

từ biểu thức cuối cùng như sau:

| x¯ – x¯ | 6m1 (n + 1)! | $ n (x¯) | .

Tất nhiên, trong trường hợp này, giả sử rằng chúng ta đã giải chính xác phương trình Ln (x) = y¯.

Lý thuyết nội suy có ứng dụng trong việc biên soạn các bảng của các hàm. Khi nhận được một bài toán như vậy, nhà toán học phải giải quyết một số câu hỏi trước khi bắt đầu tính toán. Công thức mà các phép tính sẽ được thực hiện phải được chọn. Công thức này có thể thay đổi tùy theo trang web. Thông thường, các công thức tính giá trị hàm rất cồng kềnh và do đó chúng được sử dụng để lấy một số giá trị tham chiếu và sau đó, bằng cách tính toán, chúng làm dày bảng. Công thức cung cấp các giá trị tham chiếu của hàm phải cung cấp độ chính xác cần thiết của các bảng, có tính đến bảng phụ sau đây. Nếu bạn muốn biên dịch các bảng với một bước không đổi, thì trước tiên bạn cần xác định bước của nó.

Quay lại Đầu tiên Trước Tiếp theo Cuối cùng Bỏ qua Chỉ mục

Thông thường, các bảng hàm được biên dịch để có thể thực hiện được nội suy tuyến tính (nghĩa là, nội suy sử dụng hai số hạng đầu tiên của công thức Taylor). Trong trường hợp này, thuật ngữ còn lại sẽ giống như

R1 (x) = f00 (ξ) h2t (t – 1).

Ở đây ξ thuộc khoảng giữa hai giá trị dạng bảng liền kề của đối số trong đó x nằm và t nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Tích t (t – 1) có môđun lớn nhất

giá trị tại t = 12. Giá trị này bằng 14. Cho nên,

Cần phải nhớ rằng bên cạnh lỗi này – lỗi của phương pháp, trong tính toán thực tế của các giá trị trung gian, lỗi không thể khôi phục và lỗi làm tròn vẫn sẽ xảy ra. Như chúng ta đã thấy trước đó, lỗi nghiêm trọng trong nội suy tuyến tính sẽ bằng với lỗi của các giá trị được lập bảng của hàm. Sai số làm tròn sẽ phụ thuộc vào phương tiện tính toán và chương trình tính toán.

Quay lại Đầu tiên Trước Tiếp theo Cuối cùng Bỏ qua Chỉ mục

số chênh lệch được chia của bậc thứ hai, 8 của bậc đầu tiên, 8

spline, 15

các nút nội suy, 4

Quay lại Đầu tiên Trước Tiếp theo Cuối cùng Bỏ qua Chỉ mục

Công thức nội suy dữ liệu dạng bảng

Được sử dụng trong bước thứ 2, khi lượng NXR (Q, t) từ điều kiện là trung gian giữa 100 tấn và 300 tấn.

(Ngoại lệ: nếu Q bằng 100 hoặc 300 theo điều kiện thì không cần nội suy).

y o– Lượng NHR ban đầu của bạn từ điều kiện, tính bằng tấn

(tương ứng với chữ Q)

y 1
ít hơn

(từ Bảng 11-16, thường là 100).

y 2
hơn
gần nhất với giá trị của số lượng NCR của bạn, tính bằng tấn

(từ Bảng 11-16, thường là 300).

x 1
y 1
(x 1
nằm đối diện y 1
), km.

x 2
– giá trị dạng bảng của độ sâu lan truyền của đám mây không khí bị ô nhiễm (G t), tương ứng y 2
(x 2
nằm đối diện y 2
), km.

x 0
– giá trị mong muốn G t tương ứng y o(theo công thức).

Ví dụ.

NCR – clo; Q = 120 t;

Loại SVSP (mức độ cản không khí thẳng đứng) – đảo ngược.

Để tìm G t– giá trị dạng bảng của độ sâu lan rộng của đám mây không khí bị ô nhiễm.

Bảng 11 phù hợp.

Quan trọng
– phép tính là đúng nếu x 0
sẽ có một giá trị ở đâu đó giữa x 1
,
x 2
.

Thuật toán do Lagrange đề xuất để xây dựng nội suy

các hàm theo bảng (1) cung cấp cho việc xây dựng đa thức nội suy Ln (x) ở dạng

Rõ ràng, việc thỏa mãn các điều kiện (11) đối với (10) quyết định việc thỏa mãn các điều kiện (2) của phát biểu bài toán nội suy.

Các đa thức li (x) được viết như sau

Lưu ý rằng không một thừa số nào trong mẫu số của công thức (14) bằng không. Sau khi tính toán các giá trị của các hằng số ci, bạn có thể sử dụng chúng để tính toán các giá trị của hàm nội suy tại các điểm đã cho.

Công thức đa thức nội suy Lagrange (11), có tính đến các công thức (13) và (14), có thể được viết dưới dạng

Việc áp dụng trực tiếp công thức Lagrange dẫn đến một số lượng lớn các phép tính cùng loại. Đối với các bảng có kích thước nhỏ, các phép tính này có thể được thực hiện cả thủ công và trong môi trường phần mềm.

Ở giai đoạn đầu, chúng tôi coi thuật toán tính toán được thực hiện thủ công. Trong tương lai, các phép tính tương tự sẽ được lặp lại trong môi trường

Microsoft Excel hoặc OpenOffice.org Calc.

Trên hình. 6 cho thấy một ví dụ về bảng nguồn của một hàm nội suy được xác định bởi bốn nút.

Hình 6. Bảng chứa dữ liệu ban đầu cho bốn nút của hàm nội suy

Trong cột thứ ba của bảng, chúng ta ghi giá trị của các hệ số qi được tính bằng công thức (14). Dưới đây là bản ghi các công thức này cho n = 3.

q0 = Y0 / (x0-x1) / (x0-x2) / (x0-x3) q1 = Y1 / (x1-x0) / (x1-x2) / (x1-x3) (16) q2 = Y2 / ( x2-x0) / (x2-x1) / (x2-x3) q3 = Y3 / (x3-x0) / (x3-x1) / (x3-x2)

Bước tiếp theo trong việc thực hiện các phép tính thủ công là tính toán các giá trị li (x) (j = 0,1,2,3), được thực hiện bởi các công thức (13).

Hãy viết các công thức này cho phiên bản của bảng mà chúng ta đang xem xét với bốn nút:

l0 (x) = q0 (x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1 (x) = q1 (x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2 (x) = q2 (x-x0) (x-x1) (x-x3), (17) l3 (x) = q3 (x-x0) (x-x1) (x-x2).

Hãy tính giá trị của các đa thức li (xj) (j = 0,1,2,3) và ghi chúng vào các ô của bảng. Các giá trị của hàm Ycalc (x), theo công thức (11), sẽ nhận được do tính tổng các giá trị của li (xj) trong các hàng.

Định dạng của bảng, bao gồm các cột giá trị được tính toán li (xj) và một cột giá trị Ycalc (x), được hiển thị trong Hình 8.

Cơm. 8. Bảng với kết quả của các phép tính thủ công được thực hiện bởi các công thức (16), (17) và (11) cho tất cả các giá trị của đối số xi

Sau khi hoàn thành việc hình thành bảng được hiển thị trong Hình. 8, theo công thức (17) và (11) có thể tính giá trị của hàm nội suy cho bất kỳ giá trị nào của đối số X. Ví dụ, với X = 1, chúng ta tính các giá trị li (1) (i = 0,1,2,3):

l0 (1) = 0,7763; l1 (1) = 3,5889; l2 (1) = – 1,5155; l3 (1) = 0,2966.

Tổng các giá trị của li (1) ta được giá trị Yinterp (1) = 3,1463.

Việc thực hiện thuật toán nội suy bắt đầu, giống như trong các phép tính thủ công, bằng cách viết các công thức để tính các hệ số qi. 9 hiển thị các cột của bảng với các giá trị đã cho của đối số, hàm nội suy và hệ số qi. Ở bên phải của bảng này là các công thức được viết trong các ô của cột C để tính giá trị của các hệ số qi.

ВС2: "= B2 / ((A2-A3) * (A2-A4) * (A2-A5))" Æ q0

c3: "= B3 / ((A3-A4) * (A3-A5) * (A3-A2))" Æ q1

c4: "= B4 / ((A4-A5) * (A4-A2) * (A4-A3))" Æ q2

vС5: "= B5 / ((A5-A2) * (A5-A3) * (A5-A4))" Æ q3

Cơm. 9 Bảng hệ số qi và công thức tính

Sau khi nhập công thức q0 vào ô C2, nó được kéo qua các ô từ C3 đến C5. Sau đó, các công thức trong các ô này được sửa theo (16) thành dạng như trong Hình. chín.

Ycalc (xi),

Thực hiện công thức (17), ta viết công thức tính giá trị li (x) (i = 0,1,2,3) vào các ô của cột D, E, F và G. Tại ô D2 để tính giá trị l0 (x0), ta viết công thức:

= $ C $ 2 * ($ A2- $ A $ 3) * ($ A2- $ A $ 4) * ($ A2- $ A $ 5),

chúng ta thu được các giá trị l0 (xi) (i = 0,1,2,3).

Định dạng liên kết $ A2 cho phép bạn kéo dài công thức dọc theo các cột E, F, G để tạo thành các công thức tính toán để tính li (x0) (i = 1,2,3). Việc kéo một công thức qua một hàng không làm thay đổi chỉ số cột của các đối số. Để tính li (x0) (i = 1,2,3) sau khi rút ra công thức l0 (x0) cần sửa chúng lại theo công thức (17).

Trong cột H, chúng tôi đặt các công thức Excel để tính tổng li (x) theo công thức

(11) thuật toán.

Trên hình. 10 hiển thị một bảng được triển khai trong môi trường chương trình Microsoft Excel. Dấu hiệu về tính đúng đắn của các công thức được viết trong các ô của bảng và các phép tính được thực hiện là ma trận đường chéo kết quả li (xj) (i = 0,1,2,3), (j = 0,1,2, 3), lặp lại các kết quả được hiển thị trong Hình. 8 và một cột giá trị khớp với các giá trị của hàm nội suy trong các nút của bảng gốc.

Cơm. 10. Bảng giá trị li (xj) (j = 0,1,2,3) và Ycalc (xj)

Để tính toán các giá trị tại một số điểm trung gian, nó là đủ

Trong các ô của cột A, bắt đầu từ ô A6, hãy nhập các giá trị của đối số X mà bạn muốn xác định các giá trị của hàm nội suy. Điểm nổi bật

ở dòng cuối cùng (thứ 5) của bảng ô từ l0 (xn) đến Ycalc (xn) và kéo dài các công thức được viết trong các ô đã chọn đến dòng chứa cuối cùng

giá trị đã cho của đối số x.

Trên hình. 11 hiển thị một bảng trong đó tính giá trị của hàm số tại ba điểm: x = 1, x = 2 và x = 3. Một cột bổ sung với số hàng của bảng dữ liệu nguồn đã được đưa vào bảng.

Cơm. 11. Tính giá trị của các hàm nội suy bằng công thức Lagrange

Để rõ ràng hơn khi hiển thị kết quả nội suy, chúng ta sẽ xây dựng một bảng bao gồm một cột giá trị của đối số X được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, một cột giá trị ban đầu của hàm Y (X) và một cột

Ivan Shestakovich

Phép nội suy đơn giản nhất, nhưng thường không đủ chính xác là tuyến tính. Khi bạn đã có hai điểm đã biết (X1 Y1) và (X2 Y2) và bạn cần tìm các giá trị Y trong ngày của một số X nằm giữa X1 và X2. Sau đó, công thức là đơn giản.
Y \ u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Nhân tiện, công thức này cũng hoạt động với các giá trị X bên ngoài khoảng X1..X2, nhưng điều này đã được gọi là ngoại suy và ở một khoảng cách đáng kể so với khoảng này, nó cho một sai số rất lớn.
Còn nhiều loại chiếu khác. phương pháp nội suy – Tôi khuyên bạn nên đọc sách giáo khoa hoặc lục tung trên internet.
Phương pháp nội suy đồ họa cũng không được loại trừ – vẽ thủ công biểu đồ qua các điểm đã biết và tìm Y từ biểu đồ cho X. cần thiết;)

Cuốn tiểu thuyết

Bạn có hai ý nghĩa. Và xấp xỉ sự phụ thuộc (tuyến tính, bậc hai, ..)
Đồ thị của hàm này đi qua hai điểm của bạn. Bạn cần một giá trị ở giữa. Chà, bày tỏ!
Ví dụ. Trong bảng, ở nhiệt độ 22 độ, áp suất hơi bão hòa là 120.000 Pa và ở 26, 124.000 Pa. Sau đó ở nhiệt độ 23 độ 121000 Pa.

Có lưới tọa độ trên bản đồ (hình ảnh).
Nó có một số điểm kiểm soát nổi tiếng (n> 3) có hai giá trị x, y – tọa độ tính bằng pixel và tọa độ tính bằng mét.
Cần tìm giá trị trung gian của tọa độ tính bằng mét, biết tọa độ tính bằng pixel.
Nội suy tuyến tính không phù hợp – quá nhiều lỗi bên ngoài dòng.
Như thế này: (Xc – tọa độ theo mét x, Xp – tọa độ theo pixel x, Xc3 – giá trị mong muốn theo x)
Xc3 = (Xc1-Xc2) / (Xp1-Xp2) * (Xp3-Xp2) + Xc2
Yc3 = (Yc1-Yc2) / (Yp1-Yp2) * (Yp3-Yp2) + Yc2

Làm thế nào để tìm cùng một công thức để tìm Xc và Yc, cho trước không phải hai (như ở đây), mà là N điểm tham chiếu đã biết?

Joka fern lowd

Đánh giá các công thức đã viết, các trục của các hệ tọa độ tính bằng pixel và mét có trùng nhau không?
Tức là Xp -> Xc được nội suy độc lập và Yp -> Yc được nội suy độc lập. Nếu không, thì bạn cần sử dụng phép nội suy hai chiều Xp, Yp-> Xc và Xp, Yp-> Yc, điều này làm phức tạp thêm nhiệm vụ.
Hơn nữa, người ta giả định rằng các tọa độ Xp và Xc có liên quan với nhau bởi một số phụ thuộc.
Nếu bản chất của sự phụ thuộc đã biết (hoặc giả sử, chẳng hạn, chúng ta giả sử rằng Xc = a * Xp ^ 2 + b * Xp + c), thì có thể nhận được các tham số của sự phụ thuộc này (với sự phụ thuộc a, b, c) sử dụng phân tích hồi quy (Phương pháp bình phương nhỏ nhất). Trong phương pháp này, nếu bạn chỉ định một sự phụ thuộc nhất định Xc (Xp), bạn có thể nhận được công thức cho các tham số của sự phụ thuộc vào dữ liệu tham chiếu. Đặc biệt, phương pháp này cho phép tìm ra mối quan hệ tuyến tính phù hợp nhất với một tập dữ liệu nhất định.
Nhược điểm: Trong phương pháp này, tọa độ Xc thu được từ dữ liệu của các điểm kiểm soát Xp có thể khác với tọa độ đã cho. Ví dụ, đường thẳng xấp xỉ được vẽ qua các điểm thực nghiệm không đi chính xác qua các điểm này.
Nếu yêu cầu đối sánh chính xác và bản chất của sự phụ thuộc là không xác định, thì nên sử dụng phương pháp nội suy. Đơn giản nhất về mặt toán học là đa thức nội suy Lagrange, truyền chính xác qua các điểm tham chiếu. Tuy nhiên, do mức độ cao của đa thức này với một số lượng lớn các điểm điều khiển và chất lượng nội suy kém, tốt hơn là không nên sử dụng nó. Ưu điểm là công thức tương đối đơn giản.
Tốt hơn là sử dụng nội suy spline. Bản chất của phương pháp này là trong mỗi phần giữa hai điểm lân cận, sự phụ thuộc đang nghiên cứu được nội suy bởi một đa thức và điều kiện độ trơn được viết tại các điểm nối của hai khoảng. Ưu điểm của phương pháp này là chất lượng của phép nội suy. Nhược điểm – hầu như không thể tìm ra công thức tổng quát, bạn phải tìm các hệ số của đa thức trong mỗi phần theo thuật toán. Một nhược điểm khác là khó tổng quát hóa sang nội suy 2D.

Phép nội suy. Giới thiệu. Tuyên bố chung của vấn đề

Khi giải quyết các vấn đề thực tế khác nhau, kết quả nghiên cứu được lập dưới dạng bảng thể hiện sự phụ thuộc của một hoặc nhiều đại lượng đo vào một tham số xác định (đối số). Các bảng như vậy thường được trình bày dưới dạng hai hoặc nhiều hàng (cột) và được sử dụng để tạo thành các mô hình toán học.

Các hàm được đưa ra trong các bảng trong mô hình toán học thường được viết trong các bảng có dạng:

Trong một số trường hợp, thông tin hạn chế được cung cấp bởi các bảng này đòi hỏi phải có được các giá trị của các hàm Y j (X) (j = 1,2,…, m) tại các điểm X không trùng với các điểm nút của bảng. X i (i = 0,1,2,…, n). Trong những trường hợp đó, cần phải xác định một số biểu thức giải tích φ j (X) để tính các giá trị gần đúng của hàm điều tra Y j (X) tại các điểm X xác định tùy ý. Hàm φ j (X) được sử dụng để xác định các giá trị gần đúng của hàm Y j (X) được gọi là một hàm gần đúng (từ tiếng Latinh – gần đúng). Sự gần đúng của hàm xấp xỉ φ j (X) với hàm xấp xỉ Y j (X) được đảm bảo bằng cách lựa chọn thuật toán xấp xỉ thích hợp.

Chúng tôi sẽ thực hiện tất cả các xem xét và kết luận thêm đối với các bảng chứa dữ liệu ban đầu của một hàm được khảo sát (ví dụ, đối với các bảng có m = 1).

Thông thường, để xác định hàm φ (X), một câu lệnh được sử dụng, được gọi là câu lệnh của bài toán nội suy.

Trong công thức cổ điển này của bài toán nội suy, yêu cầu xác định một hàm phân tích gần đúng φ (X) có giá trị tại các điểm nút X i phù hợp với các giá trị Y (X i) của bảng gốc, tức là điều kiện

Hàm xấp xỉ φ (X) được xây dựng theo cách này có thể thu được giá trị gần đúng đủ với hàm nội suy Y (X) trong phạm vi giá trị của đối số [X 0; X n], được xác định bởi bảng. Khi đặt các giá trị của đối số X, không được sở hữu khoảng thời gian này, nhiệm vụ nội suy được chuyển đổi thành nhiệm vụ ngoại suy. Trong những trường hợp này, độ chính xác

giá trị thu được khi tính các giá trị của hàm φ (X) phụ thuộc vào khoảng cách của giá trị đối số X từ X 0 nếu X<Х
0
,
или отХ
n
, еслиХ
>Xn.

Trong mô hình toán học, hàm nội suy có thể được sử dụng để tính toán các giá trị gần đúng của hàm đang nghiên cứu tại các điểm trung gian của các khoảng con [Х i; Xi + 1]. Thủ tục như vậy được gọi là bảng niêm phong.

Thuật toán nội suy được xác định bằng phương pháp tính các giá trị của hàm φ (X). Cách thực hiện đơn giản và rõ ràng nhất của hàm nội suy là thay thế hàm điều tra Y (X) trên khoảng [X i; Х i + 1] bởi một đoạn thẳng nối các điểm Y i, Y i + 1. Phương pháp này được gọi là phương pháp nội suy tuyến tính.

Với nội suy tuyến tính, giá trị của hàm tại điểm X, nằm giữa các nút X i và X i + 1, được xác định bằng công thức của một đường thẳng nối hai điểm liền kề của bảng

Trên hình. 1 cho thấy một ví dụ về bảng thu được là kết quả của các phép đo của một giá trị Y (X) nhất định. Các hàng của bảng nguồn được đánh dấu. Ở bên phải của bảng có một biểu đồ phân tán tương ứng với bảng này. Độ nén của bàn được thực hiện do tính toán theo công thức

(3) các giá trị của hàm được xấp xỉ tại các điểm Х tương ứng với các điểm giữa của các khoảng con (i = 0, 1, 2,…, n).

Hình 1. Bảng thu gọn của hàm Y (X) và sơ đồ tương ứng của nó

Khi xem xét đồ thị trong Hình. 1 có thể thấy rằng các điểm thu được do nén chặt bảng bằng phương pháp nội suy tuyến tính nằm trên các đoạn của đường thẳng nối các điểm của bảng ban đầu. Độ chính xác tuyến tính

nội suy, về cơ bản phụ thuộc vào bản chất của hàm nội suy và vào khoảng cách giữa các nút của bảng X i,, X i + 1.

Rõ ràng là nếu hàm trơn, thì, ngay cả khi có khoảng cách tương đối lớn giữa các nút, đồ thị được xây dựng bằng cách nối các điểm bằng các đoạn thẳng sẽ có thể ước lượng chính xác bản chất của hàm Y (X). Nếu hàm thay đổi đủ nhanh và khoảng cách giữa các nút lớn, thì hàm nội suy tuyến tính không cho phép thu được giá trị gần đúng đủ chính xác cho hàm thực.

Hàm nội suy tuyến tính có thể được sử dụng để phân tích sơ bộ chung và đánh giá tính đúng đắn của các kết quả nội suy, sau đó thu được bằng các phương pháp khác chính xác hơn. Việc đánh giá như vậy trở nên đặc biệt thích hợp trong trường hợp các phép tính được thực hiện theo cách thủ công.

Phương pháp nội suy một hàm theo một đa thức chính tắc dựa trên việc xây dựng một hàm nội suy dưới dạng một đa thức ở dạng [1]

Các hệ số với i của đa thức (4) là các tham số nội suy tự do, được xác định từ các điều kiện Lagrange:

Pn (xi) = Yi, (i = 0, 1, …, n)

Sử dụng (4) và (5), ta viết được hệ phương trình

Vectơ nghiệm với i (i = 0, 1, 2,…, n) của hệ phương trình đại số tuyến tính (6) tồn tại và có thể tìm được nếu trong số i nút không có nút nào trùng khớp. Định thức của hệ (6) được gọi là định thức Vandermonde1 và có biểu thức phân tích [2].

1 Định thức Vandermonde được gọi là định thức

Nó bằng 0 nếu và chỉ khi xi = xj đối với một số. (Tư liệu từ Wikipedia – bách khoa toàn thư miễn phí)

Để xác định giá trị của các hệ số với i (i = 0, 1, 2,…, n)

phương trình (5) có thể được viết dưới dạng vectơ-ma trận

A * C = Y,

trong đó A là ma trận các hệ số được xác định bởi bảng lũy ​​thừa của vectơ đối số X = (x i 0, x i, x i 2,…, x i n) T (i = 0, 1, 2,…, n)

x0 2

x0 n

xn 2

xn n