Công thức Taylor, Qui tắc L'Hopital 2021 – Chương 2. Một số vấn đề mở rộng của giải tích một biến 1. – StuDocu

bg1

Ch

ương 2. Một số

v

ấn đề m

r

ộng của giải t

ích m

ột bi

ến

1.

Đại lượng v

ô cùng bé

Đ

N1.

Hàm số f(x) đgl đại lượng vô cùng bé (VCB) khi x tiến tới x

0

nếu

0

lim

(

)

0

xx

fx

=

ĐN2.

Hàm số f(x) và g(x) là các VCB khi x tiến tới x

0

.

Nếu

(

)

0

()

lim

0

,

()

xx

fx

k

k

k

gx

=



thì f và g là 2 VCB cùng bậc

Khi k=1 thì f và g gọi là 2 VCB tương đương

Nếu

0

()

lim

0

()

xx

fx

gx

=

ta nói f là VCB bậc cao hơn g khi x tiến tới x

0

.

Ký hiệu:

(

)

(

(

))

f

x

o

g

x

=

VD. Khi x tiến tới 0 thì:

2

()

x

o

x

=

,

5

()

x

o

x

=

3

33

3

00

()

(

)

:

lim

(

)

0

;

lim

0

xx

ox

o

x

o

x

x

→→

==

:

2. Công thức Taylor

Định lý.

(Công thức taylor)

Giả sử

hàm số f(x) xác định trong lân cận nào đó của điểm x

0

(x0-e;x0+e)

đạo

hàm đến

cấp

n+1 trong

lân

cận

đó.

Khi đó

với

mọi

x

thuộc vào

lân

cận đó

ta có:

()

2

0

0

0

0

0

0

0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

!

2!

!

n

n

n

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

x

x

x

x

x

x

R

x

n

=

+

+

+

+

+

Khi x

0

= 0 ta thu được công thức Maclaurin:

f(x) = f(0) +

f

(0)

x

1!

+

2

f

(0)

x

2!



+ … +

(n)

n

f

(0)

x

n!

+

o(x

n

)

Khai triển Taylor của một số hàm sơ cấp:

I.

(

)

(

)

.

,

,

,

.

x

x

n

x

n

I

t

f

x

e

f

x

e

f

x

e

s

u

y

r

a

f

e

n

0

01

e

x

= 1 + x +

2

2!

x

+ … +

!

n

x

n

+

…=

0

!

n

n

x

n

+

=

g

ần đ

úng c

ủa e l

à 2,718281828