Công Thức Tính Bán Kính, Diện Tích Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Chóp Và Bài Tập

Bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là phần kiến thức quan trọng nằm trong chương trình toán hình lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia. Bài viết dưới đây của VUIHOC sẽ giúp các em ôn tập công thức tính bán kính, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và các dạng bài tập kèm hướng dẫn giải chi tiết.

1. Thế nào là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hoặc cách gọi khác là hình chóp nội tiếp mặt cầu bản chất của nó chính là một hình mặt cầu bao quanh 1 khối hình chóp với đường tròn đi qua các đỉnh của hình chóp đó.

2. Phương pháp tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

  • Đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) xác định trục d.

  • Xác định mặt phẳng trung trực P của cạnh bên (hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp của một đa giác mặt bên). 

  • Ta có giao điểm I của P và d (hoặc của $\Delta $ và d) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 

  • Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là độ dài đoạn thẳng nối tâm I với một đỉnh của hình chóp.

3. Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ta có bảng công thức mặt cầu ngoại tiếp hình chóp dưới đây:

Dạng toán

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Đa diện có các đỉnh nhìn đoạn AB dưới một góc 90 độ

$R=\frac{AB}{2}$

Hình chóp đều có cạnh bên SA, chiều cao SO

$R=\frac{ASA^{2}}{2SO}$

Hình chóp có cạnh h = SA vuông góc với đáy và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là r

$R=\sqrt{r^{2}+\frac{h^{2}}{4}}$

Hình chóp có mặt bên SAB là hình tam giác đều. Có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là $R_{b}$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R_{d}$

$R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{AB^{2}}{4}}$

4. Các dạng toán tính bán kính và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thường gặp

Ta có 4 dạng toán tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thường gặp sau đây:

4.1. Hình chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng AB dưới một góc vuông

Phương pháp:

Xác định tâm là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Bán kính R=$\frac{AB}{2}$

Ví dụ: 

Giải bài tập tính bán kính và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Hình chóp A.ABC có đường cao SA có đáy ABC là tam giác vuông tại B.

Ta có $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90^{\circ}$ => A,B cùng nhìn S dưới một góc vuông.

Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có:

Tâm I là trung điểm của SC

Bán kính R=$\frac{SC}{2}$

4.2. Hình chóp đều

Phương pháp:

Ta có:

Hình chóp tam giác đều S.ABC

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Gọi O là tâm của đáy => SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Trong mặt phẳng được xác định bởi SO và cạnh bên, ví dụ như mặt phẳng (SAO) ta vé đường trung trực của SA và cắt SO tại I.

I chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình tròn.

Ta có: $\Delta SNI\sim \Delta SOA=>\frac{SN}{SO}=\frac{SI}{SA}$ => Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: R=IS= $\frac{SN.SA}{SO}=\frac{SA^{2}}{2SO}$.

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA=$a\sqrt{3}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Giải:

Giải bài tập tính bán kính và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Gọi O là tâm của hình tam giác đều ABC có SO vuông góc (ABC) có SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

Gọi N là trung điểm SA, trong mặt mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực của SA cắt SO tại I => SI=IA=IB=IC nên I chính là tâm của mặt cầu hình chóp S.ABC.

Bán kính R = SI. Vì $\Delta $SNI và $\Delta $SOA đồng dạng nên ta có $\frac{SN}{SO}=\frac{SI}{SA}$.

=> R = SI = $\frac{SN.SA}{SO}=\frac{SA^{2}}{2SO}=\frac{3a\sqrt{6}}{8}$

Mà $R=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3};SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$

=> R = SI = $\frac{2a\sqrt{6}}{3}$

4.3. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Phương pháp:

Giải bài tập tính bán kính và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Cho hình chóp $S.A_{1}.A_{2}…A_{n}$ có cạnh $SA\perp (A_{1}.A_{2}…A_{n})$ đáy $A_{1}.A_{2}…A_{n}$ nội tiếp được trong đường tròn với tâm O. Ta có tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $S.A_{1}.A_{2}…A_{n}$ được xác định:

Từ tâm O ngoại tiếp đường tròn đáy vẽ đường thẳng d vuông góc mặt phẳng $A_{1}.A_{2}…A_{n}$ tại O.

Trong mặt phẳng ($d,SA_{1}$) dựng đường trung trực của tam giác cạnh SA cắt $SA_{1}$ tại N và cắt d tại I.

Khi đó ta có I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có:

$R=IA_{1}=IA_{2}=…=IA_{n}=IS$

Ta có $MIOA_{1}$ là hình chữ nhận, xét $\Delta MA_{1}I\perp M$ có:

$R=A_{1}I=\sqrt{MI^{2}+MA_{1}^{2}}=\sqrt{A_{1}O^{2}+\left ( \frac{SA_{1}}{2} \right )^{2}}$

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt đáy, ABC là tam giác vuông tại A, có AB = 6a, AC = 8a, SA = 10a. Tính độ dài bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Giải:

Giải bài tập tính bán kính và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Gọi O là trung điểm BC => O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A. Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp ABC, trong mặt phẳng (SA,d) vẽ trung trực của cạnh SA cắt d tại I.

=> I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R = IA = IB = IS.

Ta có tứ giác NIOA là chữ nhật.

Xét tam giác NAI vuông tại N ta có:

$R=IA=\sqrt{NI^{2}+NA^{2}}=\sqrt{NA+\left ( \frac{SA}{2} \right )^{2}}$
$=\sqrt{\left ( \frac{BC}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{SA}{2} \right )^{2}}$
$=\sqrt{\left ( \frac{AB^{2}+AC^{2}}{4} \right )+\left ( \frac{SA}{2} \right )^{2}}=5a\sqrt{2}$

4.4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Dạng bài này thì mặt bên vuông góc thường sẽ là tam giác vuông, tam giác đều hoặc tam giác cân. Khí đó:

  • Xác định trục d thuộc đường tròn đáy tam giác

  • Xác định trục tam giác của đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy

  • Tìm giao điểm I của d và tam giác là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông tại A. Mặt bên (SAB) vuông góc với mặt (ABC) và SAB đều cạnh bằng 1. Tìm độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC.

Giải:

Giải bài tập tính bán kính và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Gọi H,M là trung điểm của AB, AC.

M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (vì MA = MB = MC).

Dựng d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (có d qua M và song song với SH).

G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và tam giác là trục đường tròn ngoại tiếp của tam giác SAB, $\Delta $ cắt d.

$=>SG=\frac{1}{\sqrt{3}};GI=HM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$
$=>R=SI=\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{6}$

 

Để ôn tập các lý thuyết về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và thực hành các bài tập luyện tập, cùng VUIHOC theo dõi bài giảng dưới đây của thầy Trường Giang nhé. Có rất nhiều mẹo giải nhanh bằng CASIO mà các em học sinh không nên bỏ qua đâu đó!

 

Trên đây là toàn bộ công thức về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp các em có thể lưu lại để làm bài tập. Ngoài ra muốn có thêm nhiều kiến thức và các dạng toán hay, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để học thêm về kiến thức toán 12 THPT trang bị thật tốt cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!