Công Thức Tính Bán Kính Mặt Cầu – Ví Dụ Minh Họa


WElearn Wind

4/5 – (1 vote)

WElearn xin gửi đến bạn một số lý thuyết về mặt cầu, công thức tính bán kính mặt cầu mà Trung tâm gia sư WElearn đã tổng hợp. Cùng theo dõi ngay sau đây nhé!

>>>> Xem thêm: Gia Sư Toán

1. Lý thuyết về mặt cầu

Mặt cầu là một khái niệm hình không gian cùng với hình lăng trụ, hình nón,… Trong phần này, WElearn sẽ giới thiệu những lý thuyết có liên quan đến mặt cầu và công thức tính bán kính mặt cầu.

Trong không gian, các tập hợp điểm các một điểm cố định O một khoảng không đổi bằng r (r > 0) thì sẽ tạo thành mặt cầu tâm O bán kính r. Dưới đây là một số tính chất của mặt cầu. Nếu cho một điểm M nằm ngoài đường tròn ta có:

  • Có vô số tiếp tuyến đi qua 1 điểm M của mặt cầu
  • Độ dài đoạn thẳng nối các tiếp điểm đến điểm M đều bằng nhau
  • Tập hợp các tiếp điểm tạo thành một đường tròn nằm trên mặt cầu

2. Công thức tính bán kính mặt cầu

Tương tự như nhiều kiến thức hình học khác, phần mặt cầu này cũng có nhiều công thức mà học sinh cần ghi nhớ. Dưới đây là những tổng hợp của chúng tôi.

Đầu tiên là công thức tính diện tích mặt cầu. Công thức là S = 4πr2. Từ công thức này, chúng ta có thể suy ra công thức tính bán kính mặt cầu.

Thứ hai là công thức tính thể tích của mặt cầu. Công thức đầy đủ là V = 4/3.πr3. Và từ công thức này cũng có thể tìm được bán kính mặt cầu.

Đây là 2 công thức cơ bản được sử dụng trong nhiều bài toán mặt cầu. Nó cũng được liên hệ để tính bán kính.

2.1. Tổng hợp các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó.

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.

ban kinh mat cau 1

Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

ban kinh mat cau 2

*Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122

ban kinh mat cau 3
ban kinh mat cau 4
ban kinh mat cau 5

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

ban kinh mat cau 6
ban kinh mat cau 7
ban kinh mat cau 8

Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

ban kinh mat cau 9

Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; h là độ dài cạnh bên.

Ví dụ 1: Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

ban kinh mat cau 10

*Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124

ban kinh mat cau 11

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

ban kinh mat cau 12

Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng

ban kinh mat cau 13
ban kinh mat cau 14
ban kinh mat cau 15

Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy

ban kinh mat cau 16

Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy; a, x tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.

ban kinh mat cau 17

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAD đều cạnh √2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

ban kinh mat cau 18
ban kinh mat cau 19
ban kinh mat cau 20

Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau

ban kinh mat cau 21

Trong đó cb là độ dài cạnh bên và h là chiều cao khối chóp, được xác định bởi:

ban kinh mat cau 22

Ví dụ: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều cạnh √3a.

ban kinh mat cau 23

Công thức 7: Khối tứ diện gần đều ABCD

AB = CD =a; AC = BD = b; AD = BC = c

ban kinh mat cau 24

Trên đây là phần lý thuyết về mặt cầu và các công thức tính bán kính mặt cầu cần nhớ, các bạn hãy lưu lại ngay và luyện tập thường xuyên nhé! Chúc các bạn học tốt.

Xem thêm các bài viết: