DẠNG 22 THỂ TÍCH KHỐI hộp CHỮ NHẬT – Tài liệu text

RELATED ARTICLES

DẠNG 22 THỂ TÍCH KHỐI hộp CHỮ NHẬT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.38 MB, 21 trang )

This Post: DẠNG 22 THỂ TÍCH KHỐI hộp CHỮ NHẬT – Tài liệu text

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

DẠNG TOÁN 22: THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬT
PHƯƠNG PHÁP
1. Kiến thức cần nhớ
– Hình hộp là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành.
Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành, 4 đường chéo đồng quy tại tâm hình hộp.
– Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng và có đáy là hình chữ nhật.
Để tính thể tích của khối hộp chữ nhật ta sử dựng công thức:
Thể tích V của khối hộp chữ nhật là V  abc với a, b, c là độ dài của chiều dài, chiều
rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật.
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2020-2021) Thể tích của khối hộp có ba kích thước là
2; 3; 7 bằng
A. 14 .
B. 42 .
C. 126 .
D. 12 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm thể tích của khối hộp chữ nhật khi biết ba
kích thước
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Áp dụng cơng thức tích thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a,b,c là

V = abc
..

Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
V = abc = 2.3.7 = 42

B C D có AB  3 , AD  4 , A�
A  5 . Thể tích
Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��
khối hộp đã cho bằng:
A. 20 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 16 .
Lời giải
Chọn B

Ta có

S ABCD  AB. AD  3.4  12

.
Trang 1

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

�
V
B C D  A A.S ABCD  5.12  60 .
Thể tích khối hộp đã cho bằng ABCD. A��
B C D có AB  3 , AD  4 , A�
C  13 . Thể tích
Câu 3.
Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��
khối hộp đã cho bằng:
A. 156 .
B. 144 .
C. 120 .
D. 116 .
Lời giải
Chọn B

Ta có

S ABCD  AB. AD  3.4  12



;







AA�
 A�
C 2  AC 2  A�
C 2  AB 2  BC 2  132  32  42  12

.
 12.12  144

�
V
B C D  A A.S ABCD
Thể tích khối hộp đã cho bằng ABCD. A��
.
B C D có đáy AD  3, AB  4 , đường chéo
Câu 4. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��
��
AB �của mặt bên ( ABB A ) có độ dài bằng 5 . Tính thể tích của khối hộp đã
cho.
A. V = 36 .
B. V = 45 .
C. V = 18 .
D. V = 48 .
Lời giải
Chọn A

.
2
= AB �
– A��
B 2 = 3 và có diện tích đáy
B có AA�
Xét tam giác vng AA��
S ABCD = 3.4 = 12

B C D = 12.3 = 36 .
Thể tích của khối hộp đã cho là VABCD. A��
B C D có AB = a , AC = 2a , biết tam giác
Câu 5. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��
A�
AC là tam giác vuông cân tại A . Thể tích khối hộp đã cho bằng:
2 3a 3
3 3a 3
3
3
3 .
2 .
A.
B. 2 3a .
C. 3a .
D.
Lời giải
Chọn B

Trang 2

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

2
2
2
2
S
= AB. AD = a.a 3 = a 2 3
Ta có: AD = AC – AB = 4a – a = a 3 � ABCD
.
�
�
Tam giác A AC vuông cân tại A nên A A = AC = 2a .
V
= A�
A.S ABCD = 2a.a 2 3 = 2 3a 3
BCD
Thể tích khối hộp đã cho là ABCD. A��
.
B C D có AB = 3a , AD = 4a , biết tứ giác
Câu 6. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��
BB ��
D D là hình vng. Thể tích khối hộp đã cho bằng:
3
3
3
3
A. 20a .

B. 60a .
C. 12a .
D. 30a .
Lời giải
Chọn B

Diện tích đáy

S ABCD  AB. AD  3a.4a  12a 2
2

BD = AB 2 + AD 2 = ( 3a ) +( 4a ) = 5a
Ta có
= BD = 5a .
D D là hình vng nên có BB �
Do tứ giác BB ��
= BB �
.S ABCD = 5a.12a 2 = 60a 3
BCD
Thể tích khối hộp đã cho là VABCD. A��
.

B C D có AB = 3a , BC = 4a , biết tam giác
Câu 7. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��
A�
BC là tam giác vng cân tại B . Thể tích khối hộp đã cho bằng:

3
A. 20a .

3
B. 12a 7 .

C. 4a
Lời giải

3
D. 60a .

Chọn B

Trang 3

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

S
 AB. AD  3a.4a  12a 2
Diện tích đáy ABCD
.
�
B = BC = 4a .
Do tam giác A BC là tam giác vuông cân tại B nên có A�

Ta có

AA�
= A�
B 2 – AB 2 = ( 4a) – ( 3a ) = a 7

V
= AA�
.S ABCD = a 7.12a 2 = 12a 3 7
BCD
Thể tích khối hộp đã cho là ABCD. A��
.
AB

3,
��
AD  4 . Biết đường
Câu 8. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A B C D có đáy
 ABCD  góc 45�. Thể tích khối hộp đã cho
thẳng AC �tạo với mặt phẳng
bằng:
A. 60 .
B. 48 .
C. 30 .
D. 20 .
Lời giải

Chọn A

S
 AB. AD  3.4  12
Diện tích đáy ABCD
.
AA�
  ABCD  �  AC �
,  ABCD    �
AC �
A�
 45�
Ta có
;
A��
C  A��
B 2  B��
C 2  5 � A�
A  A��
C .tan 45� 5 .

�
V
B C D  S ABCD . AA  12.5  60 .
Thể tích khối hộp đã cho là ABCD. A��
B C D có đáy AB  3, AD  4 . Biết đường
Câu 9. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��
 ABCD  góc 45�. Thể tích khối hộp đã cho
thẳng AB�tạo với mặt phẳng
bằng:

A. 36 .
B. 48 .
C. 30 .
D. 20 .
Lời giải
Chọn A

S
 AB. AD  3.4  12
Diện tích đáy ABCD
.
��
AA�
  ABCD  �  AB�
,  ABCD    AB
A�
 45�
A  A��
B .tan 45� 3 .
Ta có
nên A�
�
V
B C D  S ABCD . AA  12.3  36 .
Thể tích khối hộp đã cho là ABCD. A��
Trang 4

50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ

B C D có AB  3a, AD  4a . Đường thẳng A�
C
Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��
0
B BA) một góc 30 . Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho
tạo với mặt phẳng ( A��
bằng:
3
3
3
3
A. 6a 39 .
B. a 39 .
C. 18a 39 .
D. 2a 39 .
Lời giải
Chọn A

S
 AB. AD  3a.4a  12a 2
Diện tích đáy ABCD
.
�BC  AB
�
�
�
��
C ;  ABB�
A�
B  300

   CA
BC

B
�
B
BC  ( ABB��
A ) �  A�
�
Ta có
B  4a 3 .
B.tan 30o  BC  4a � A�
Khi đó A�

A  A�
B 2  AB 2  a 39 .
Do vậy A�
B C D là
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A��

3
�
VABCD. A��
39
B C D  A A.S ABCD  6a

.
 Mức độ 2
2
2

2
Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt lần lượt là 6a ;8a ;12 a . Tính thể
tích khối hộp chữ nhật đó.
3
3
3
3
A. 8a .
B. 12a .
C. 24a .
D. 18a
Lời giải
Chọn C
Gọi ba kích thước của hình hộp chữ nhật là x; y; z , điều kiện: x; y; z  0 .
Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật lần lượt là xy; yz; zx .
2
2
2
2
6
3
Theo giả thiết ta có: xy. yz.zx  6a .8a .12a � ( xyz )  576a � xyz  24a .
3
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là: V  xyz  24a .

B C D biết rằng AB  a , AD  2a ,
Câu 2. Tính thể tích V của khối chữ nhật ABCD. A��
AC �
 a 14 .
3

A. V  a 5 .

a 3 14
V
3 .
B.

3
C. V  2a .
Lời giải

3
D. V  6a .

Chọn D

Trang 5

50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ

Ta có:
2
2
2
� AA�
 AC �
 AB 2  AD 2 � AA�
 14a 2  4a 2  a 2  3a .
AC �

 AB 2  AD2  AA�

B C D là V  AB. AD. AA�
 6a 3 .
Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A��
B C D có diện tích mặt chéo ACC �
A�bằng
Câu 3.
Cho hình lập phương ABCD. A��
2
2 2a . Thể tích của khối lập phương ABCD. A��
B C D là:

a3 3
A. 3 .

C. 2a
Lời giải

3
B. a .

3
D. 2a 3 .

Chọn C

x  0
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng x 
.
2
2
2
2
Xét ABC vng tại B có: AC  AB  BC  x  x  x 2
2
�
A� AA . AC  x. x 2  2 2a � x  a 2 .
Ta có S ACC �

Vậy



VABCD. A��
BCD  a 2



 2a 3 2

B C D có diện tích tam giác ACD�bằng a 3 .
Câu 4. Cho hình lập phương ABCD. A��
Tính thể tích V của hình lập phương.
3
3
3
3
A. V  3 3a .
B. V  2 2a .
C. V  a .
D. V  8a .
Lờigiải
Chọn B

Trang 6

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

Giả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là x .
x 6
OD�
 OD 2  A�
A2 
2
Ta có AC  x 2 ,
1
1
x 6 x2 3
S ACD� OD�

. AC  x 2.

2
2
2
2 .
Diệntíchtamgiác ACD�là
2
2
x 3
x
a2 3 
� a2 
� xa 2
2
2
Khi đó, ta có
.
3
3
Vậy V  x  2a 2 .

Câu 5. Các đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật bằng
thể tích V của khối hộp chữ nhật đó.
A. V  6 .

B. V  5 26 .

Chọn A

C. V  2 .
Lời giải

A�

10,

13. Tính

V

5 26
3 .

D�
C�

B�
A
B
 10, AD�
 13.
Giả sử AC  5, CD�
A  z � V  xyz.
Đặt AD  x, AB  y , A�

D
C

�x 2  y 2  BD 2  5
�x 2  4 �x  2
�2
�
�
2
B 2  10 � �y 2  1 � �y  1 � V  xyz  6.
�y  z  A�
�z 2  x 2  A�
�z 2  9 �z  3
D 2  13
�
�
Ta có �
B C D có AB  a , AC  2a , diện tích tam giác
Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��
2
B C D bằng:
BDB�bằng a . Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD. A��
3
A. 2a .

a3
B. 3 .

C. a
Lời giải

2a 3
D. 3 .

Chọn C

Trang 7

50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ

2
2
Xét ABC vng tại B ta có BC  AC  AB  a 3 .
2S
BB�
 BDB� a
BD
Xét DBB�vng tại B ta có BD  AC  2a ,
.

Vậy

� 3 3
VABCD. A��
B C D  AB.BC .BB  a

.
B C D có AB  a ; AD  a 2 , mặt phẳng
Câu 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��
D
 ABC��
tạo với đáy góc 45�
. Thể tích của khối hộp đó là:
3
2a
2a 3
3
3
A. 3 .
B. 2a .
C. 2a .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C

D là hình chữ nhật nên AD�
 C ��
D .
Vì ABC ��

D  � A��
B C D   C ��
D
D  C ��
D ( A��

B C D là hình chữ nhật);  ABC ��
Mà A��
.
�
D  ;  A��
B C D    �
AD�
; A��
D�
AD�
A�
 45�
 ABC ��
Suy ra 
.
� AA�
 A��
D  AD  a 2 ( vì AA��
D vuông cân).
3
�
V
B C D  AB. AD. AA  a.a 2.a 2  2a .
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là: ABCD. A��
 a 5 . Thể
Câu 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có AB  a , AD  a 2 , AB�
tích của khối hộp đã cho bằng:
2a 3 2
3
3

3
3 .
A.
B. a 2 .
C. 2a 2 .
D. a 10 .
Lời giải
Chọn C

Trang 8

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

2
 2a .
 AB�
 AB 2 � BB�
Ta có BB�
S
 a2 2
Diện tích đáy ABCD : ABCD
.
�
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ : VABCD. A’ B ‘ C ‘ D ‘  BB .S ABCD

RED : HYDE PARK PRIME STEAKHOUSE

� VABCD. A ‘ B ‘C ‘ D ‘  2a 3 2

.
Câu 9. Tính thể tích của một hình hộp chữ nhật biết rằng ba mặt của hình này có

2
2
2
diện tích là 20 cm , 10 cm , 8cm .
3
A. 40 cm .

3
B. 1600 cm .

C. 80 cm .
Lời giải

3
D. 200 cm .

Chọn A
a.b  20
�
�
a.c  10
�
�
b.c  8
Giả sử hình chữ nhật có ba kích thước là a , b , c . Ta có �
� a 2 .b 2 .c 2  1600 � a.b.c  40 .
3
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là 40 cm .

2
Câu 10.
Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 12a . Tính theo a
thể tích khối lập phương đó.
a3
3
3
3
A. 8a .
B. 2a .
C. 3 .
D. a .
Lời giải
Chọn A
Khối lập phương có 6 mặt là hình vuông bằng nhau.
12a 2
 2a 2
6
Từ giả thiết suy ra diện tích một mặt là
.

Cạnh của khối lập phương là

2a 2  a 2 .



V a 2



 8a 3

Thể tích của khối lập phương là:
.
 Mức độ 3
B C D có diện tích các mặt ABCD , BCC ��
B ,
Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��

CDD��
C lần lượt là 2a 2 , 3a 2 , 6a 2 . Tính thể tích khối hộp chữ nhật
ABCD. A��
BC D .
6
A. 36a .

2
B. 6a .

3
C. 36a .
Lời giải

3
D. 6a .

Chọn D

Trang 9

50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ

Ta có
S ABCD  2a 2 � AB.BC  2a 2  1
2
S BCC ��
BC
 .BB 3a 2  2 
B  3a
2
SCDD��
C  6 a

CD
 .CC 6a 2

AB
 .BB

6a 2  3 

 1 ,  2  ,  3 ta được  AB.BC.BB�
  36a 6
Nhân vế theo vế
VABCD. A��
 6a3 .

B C D  AB.BC.BB�
2

AB
 .BC.BB

6a3 .

Câu 2. Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB  3cm; AD  6 cm
và độ dài đường chéo A ‘ C  9cm .
3
A. V  102 cm .

3
B. V  81cm .

3
C. V  108cm .
Lời giải

3
D. V  90 cm .

Chọn C

.
Diện tích đáy S ABCD  AB. AD  3.6  18cm .
2
2
2

2
2
Tam giác ADC vuông tại D nên AC  AD  DC  6  3  45 .
2
2
2
2
2
Tam giác ACC’ vuông tại C nên AC ‘  AC  CC ‘ � 9  45  CC ‘ .
2

� CC ‘2  36 � CC ‘  6cm .
3
Vậy V  AB. AD.CC ‘  3.6.6  108 cm .
B C D có diện tích tam giác ACD�bằng a 2 3 .
Câu 3. Cho hình lập phương ABCD. A��
Tính thể tích V của hình lập phương.
3
3
3
3
A. V  3 3a .
B. V  2 2a .
C. V  a .
D. V  8a .
Lời giải
Chọn B

Trang 10

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

Giả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là x .
x 6
OD�
 OD 2  A�
A2 
2
Ta có AC  x 2 ,
1
1
x 6 x2 3
�
S ACD� OD . AC  x 2.

2
2
2
2 .
Diện tích tam giác ACD�là
x2 3
x2
a2 3 
� a2 
� xa 2
2
2
Khi đó, ta có
.

3
3
Vậy V  x  2a 2 .
B C D có AD  2 AB , cạnh A�
C hợp với đáy
Câu 4. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��

 10a ?
một góc 45�
. Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó biết BD�

a 3 10
3 .
A.

2a 3 10
3
B.
.

2 5a 3
3 .
D.

3
C. 2 5a .
Lời giải

Chọn C

Đặt AB  x � AD  2 x suy ra BD  AC  x 5 .

C trên mặt phẳng  ABCD  .
Vì AC là hình chiếu của A�

�
A�
C ,  ABCD    �
A�
C , AC   �
A�
CA  45�

Suy ra
.

� tam giác A�
AC vuông cân tại A � AA ‘  AC  x 5 .
2
2
2
2
2
Tam giác BDD�vng tại D , có BD ‘  DD ‘  BD � 10a  10 x � x  a .
B C D là V  AA .S ABCD  a 5.2a  2 5a .
Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A��
 3a, AC �
 5a, A��
B  2 B��
C . Thể

B C D có AA�
Câu 5. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��
tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:
32 3
96 3
32 3
26 3
a
a
a
a
A. 3 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 5 .
Lời giải
�

Trang 11

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

Chọn B

C  25a 2  9a 2  4a .

C vuông tại A�nên A��
Tam giác AA��
A��
B C vuông
Tam
giác
tại
2
2
A��
C
B��
C 2  A��
B  A��
C 2 � 5B��
C 2  A��
C 2 � B��
C 
5 .
� B��
C 

B�

nên

4 5
8 5
a
A��

B 
a
5
5
và
.

V  S ABCD . AA�


32 2
96
a .3a  a 3
5
5 .

B C D là
Thể tích khối lăng trụ ABCD. A��
Câu 6. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật là a, b, c . Thể tích
của khối hộp đó là:
A.
C.

b

V
V

 c 2  a 2   c 2  a 2  b2   a 2  b2  c 2 
8

b

 c2  a 2   c2  a2  b2   a2  b2  c 2 
8

. B. V  a  b  c .

.
D. V  abc .
Lời giải

Chọn A

z
Đặt AB  x, AC  y, AA�
�
a 2  c 2  b2
�2 a 2  c 2  b2
x

�
�x 
2
�
2

�x 2  y 2  a 2
�
�
�2
a2  b2  c2
� 2 a2  b2  c2
�
2
2
� �y 
�z  x  c � �y 
2
2
�y 2  z 2  b 2
�
�
2
2
2
�
�2 b  c  a
�
b2  c2  a 2
�z 
�z 
2
�
2
�
�

Ta có

Trang 12

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

V

b

 c 2  a 2   c 2  a 2  b2   a 2  b2  c 2 

8
Vậy thể tích hình hộp là
.
��
ABCD
.
A
B
C
D
Câu 7: Cho hình hộp chữ nhật
có đáy là hình vng cạnh a , góc giữa
AB)
( ABCD) bằng 30�. Thể tích khối hộp
( D�

mặt phẳng
và mặt phẳng
ABCD. A��
B C D bằng
a3 3
a3 3
a3 3
3
A. 9 .
B. 18 .
C. a 3 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C

Ta có

A ) ^ AB
( ADD ��

nên góc giữa mặt phẳng

AB)
( D�

và mặt phẳng

( ABCD) là

A��

D
AA�
=
=a 3
�
AD �
= 30�
tan 30�
góc AD �và AA�hay A�
. Suy ra
. Vậy thể tích khối
3
V
=a 3
BCD
hộp chữ nhật đã cho là ABCD. A��
.
��
ABCD
.
A
B
C
D
= a đường chéo A�
C tạo
Câu 8: Cho hình hộp chữ nhật
có AB = AA�
( ABCD) một góc a thỏa cot a = 5 Thể tích khối hộp đã cho
với mặt đáy

bằng
a3
2a 3
3
3
A. 2a .
B. 5a .
C. 3 .
D. 5 .

Lời giải
Chọn A

(

) (

)

a= �
A�
C , ( ABCD ) = �
A�
C , AC = �
A�
CA

Ta có :
.
�AC = AA�

.cot a = a 5
�
� BC = AC 2 – AB 2 = 2a
�
�AB = AA�
=a
Do �
.
3
= AA�
. AB.BC = 2a
BCD
Vậy VABCD. A��
.
B C D có đáy ABCD là hình vng có đường
Câu 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��
chéo AC  a 2 , đường chéo BD�của hình hộp chữ nhật hợp với đáy ABCD
. Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD. A��
BCD .
một góc 30�
Trang 13

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

a3 6
A. 9 .

a3 6
B. 3 .

2a 3 6
3 .
C.

3
D. 2a 6 .

Lời giải
Chọn B

ABCD. A��
B C D là
có
DD�
  ABCD  � DD�
 BD

hình

hộp

chữ

nhật

nên
ta

 ABCD  .
và BD là hình chiếu của BD�trên

có:

�
� �
�
BD
,  ABCD    DBD
 30�

Vậy góc
.

Đáy ABCD là hình vng có đường chéo AC  a 2 nên cạnh của hình vng
ABCD là AB  BC  a .
DD�
 BD.tan 30�

Trong tam giác DBD�có
a3 6
�
VABCD. A��

DD
.
AB
.
BC


BCD
3 .

a 6
3 .

B C D có đáy ABCD có AB  4, AD  2 3 và
Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��
D
 ABC ��
mặt phẳng
hợp với đáy ABCD góc 60�. Tính thể tích hình hộp chữ
BCD .
nhật ABCD. A��
A. 48 .
B. 48 3 .
C. 16 3 .
D. 16 .
Lời giải
Chọn B

Ta có

D  � ABCD   AB AB   ADD�
A�
 ABC ��
 � AB  AD�, AD  AB
,

RED : Tips for an Effective New Employee Orientation Process | Lucidchart

��
ABC ��
D ) , ( ABCD ) ) = D
AD = 60�
(�
(
Vậy góc
.

 AD.tan 60� 2 3. 3  6 .
DA có DD�
Trong tam giác D�
V
= DD �
. AB. AD = 6.4.2 3 = 48 3 .
BCD
Vậy ABCD. A��
 Mức độ 4

Trang 14

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

2a 5
B C D . Khoảng cách giữa AB và B�
C là
5 ,
Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA��
2a 5

a 3
giữa BC và AB�là 5 , giữa AC và BD�là 3 . Thể tích của khối hộp đó
là:
3
3
3
3
A. 2a .
B. a .
C. 8a .
D. 4a .
Lời giải
Chọn A

=z.
Đặt AB = x , AD = y , AA�
C , ta có BH là đoạn vng góc
Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên B �
2a 5
1
1
1
5
d ( AB, B�
C ) = BH =
�
= 2+ 2= 2
2
5
BH

z
y
4a . (1)
C nên
chung của AB và B�

Gọi I là hình chiếu vng góc của B trên AB �
, ta có BI là đoạn vng góc
1
1
1
5
d ( BC , AB �
) = BI � 2 = 2 + 2 = 2
BI
x
z
4a . (2)
chung của BC và AB �nên
Gọi M là trung điểm của DD�
, O là giao điểm của AC và BD , ta có mặt
( ACM )
AC
BD�
phẳng
chứa
và
song
song
với

nên
d ( AC , BD �
,( ACM ) ) = d ( D �
,( ACM ) )
) = d ( BD�
.
J
Gọi
là hình chiếu vng góc của D trên AC , K là hình chiếu vng góc
MJ ,
D
của
trên
ta
có
1
1
1
4
3
d ( D�
,( ACM ) ) = d ( D,( ACM ) ) = DK �
= 2+ 2+ 2= 2
2
DK
x
y
z
a . (3)

2
1
= 2 � z = 2a � x = y = a
2
2a
Từ (1), (2) và (3) ta có z
.
3
Thể tích khối hộp là V = xyz = 2a .

Câu 2.

V  m3 
Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích
,
hệ số k cho trước ( k – tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy).
Gọi x, y, h  0 lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga. Hãy

xác định x, y, h  0 xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. x, y , h lần lượt là:
x  23
A.

 2k  1 V ; y 
4k

2kV

 2k  1

;h 

k  2k  1 V
.
4

Trang 15

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

x

2kV

 2k  1

 2k  1 V ; y  2

 2k  1 V ; y  6

 2k  1 V ; y 
2

4k 2

;h  23

k  2k  1 V
.
4

;h 

k  2k  1 V
.
4

;h 
2

k  2k  1 V
.
4

2kV

 2k  1
2kV

 2k  1

Lời giải
Chọn C
x, y , h  x, y , h  0 
Gọi
lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga.
h
V
V
k  � h  kx
V  xyh � y 
 2
x
xh kx .
Ta có:
và
Nên diện tích toàn phần của hố ga là:
 2k  1 V  2kx 2
S  xy  2 yh  2 xh 
kx
Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi
 2k  1 V
x3
4k 2
y  23

2kV

,h 

k  2k  1 V
4

 2k  1
Khi đó
.
Câu 3. Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó
(tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các
cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều
đó.
a3
a3
a3
a3
A. 8 .
B. 6 .
C. 12 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B
Vì khối tám mặt đều có các đỉnh là tâm của các mặt khối lập phương cạnh a
D ‘C a 2
x  IN 


2
2 .
nên độ dài cạnh khối tám mặt đều là
2

Thể tích khối tám mặt đều bằng hai lần thể tích khối chóp tứ giác đều
SABCD có cạnh đáy bằng x và cạnh bên cũng bằng x .
Gọi O là tâm của tứ giác ABCD . Ta có SO  ( ABCD)
Trang 16

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ
2

�x 2 � x
SO  SA  AO  x  �
�2 �
� 2 .
�
�
2

1
1
x
2 x3

VSABCD  .S ABCD .SO  .x 2 .

.
3
3
6
2
Vậy thể tích khối tám mặt đều bằng
3

�a 2 �
2.
�
�
2 � a3
2 x3
2 x3
�
V  2.VSABCD  2.


 .
6
3
3
6
Câu 4. Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể
tích là V . Để làm thùng hàng tốn ít ngun liệu nhất thì chiều cao của
thùng đựng đồ bằng:
A. x  V

2
3

3
B. x  V

C. x  V
Lời giải

1
4

D. x  V

Chọn B

 a, x  0 
Gọi a là độ dài cạnh đáy, x là độ dài đường cao của thùng đựng đồ
V
V
V  a2 x � a 
� Stp  2a 2  4ax  2  4 Vx
x
x
Khi đó,
Stp

Để làm thùng hàng tốn ít ngun liệu nhất thì
nhỏ nhất

nhất.
V
f  x   2  4 Vx
 0; �
x
Cách 1 : Xét hàm số
trên
1
2V 2 V
f ‘ x  2 
; f ‘ x  0 � x2 V  V x � x  V 3
x
x
Ta có

�2

V
 4 Vx
x
nhỏ

Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của
1
3
thùng đựng đồ bằng V .
V
V
2  4 Vx  2  2 Vx  2 Vx �6 3 V 2
x

Cách 2: ta có x
V
 Vx � x3  V � x  3 V
Dấu ”  ” xảy ra tại x

Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có thể tích là V. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của A ‘ B ‘ và B ‘ C ‘ thì thể tích khối chóp D ‘.DMN bằng:

V
A. 2 .

V
B. 16 .

V
C. 4 .

V
D. 8 .
Trang 17

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

Lời giải
Chọn D

1
1
�

�S MNB ‘  4 S A ‘ B ‘ C ‘  4 S A ‘ C ‘ D ‘
�
1
1
�
�S NC ‘ D ‘  S B ‘ C ‘ D ‘  S A ‘ C ‘ D ‘
2
2
�
1
1
�
�S MA ‘ D ‘  2 S A ‘ B ‘ D ‘  2 S A ‘ C ‘ D ‘
Ta có �
3
�1 1 1 �
� S D ‘ MN  S A ‘ B ‘ C ‘ D ‘  �   �
S A ‘C ‘ D ‘  S A’C ‘ D ‘
4
�4 2 2 �
V
3
3 2 V
� VD.D ‘ MN  VD. A ‘ C ‘ D ‘  . 
4
4 3 8.
Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = a, AD = b. M, N lần lượt
là hai điểm trên hai cạnh AB và BC. Mặt phẳng (MDD’) cắt A’B’ tại M’, mp
(NDD’) cắt B’C’ tại N’ và các mặt phẳng đó chia hình hộp thành 3 phần có
thể tích bằng nhau. Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện DMND’M’N’ và

BMNB’M’N’.
A. 5 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 7 .
Lời Giải
Chọn A

1
ab
S AMD  SCND  S MBND  S ABCD 
3
3 .
Từ giả thiết suy ra
1
2S
2a
S AMD  AM . AD � AM  AMD 
2
AD
3 .
+
2S
1
2b
SCND  CN .CD � CN  CND 
2
CD
3 .
+

Trang 18

50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ

1
ab
BM .BN 
2
18 ;
Có
ab ab 5ab
S DMN  S MBND  S BMN 


3 18 18
+
VDMND ‘ M ‘ N ‘ S DMN

5
V
S
BMNB
‘
M
‘
N
‘
BMN
+ Suy ra

.
S BMN 

B C D có ba kích thước là 2 cm , 3cm và 6 cm .
Câu 7. Một hình hộp chữ nhật ABCD. A��
D bằng:
Thể tích của khối tứ diện A.CB��
3
3
3
3
A. 8 cm .
B. 12 cm .
C. 6 cm .
D. 4 cm .
Lời giải
Chọn B

Ta có :
VABCD. A��
B C D  VB . AB �
C  VD . ACD � VA�
.B�
AD � VC . B ��
C D  VA.CB��
D
� VABCD. A��
B C D  4VB . AB �
C  VA.CB ��
D

� VA.CB��
D  VABCD . A��
B C D  4VB . AB �
C
1
� VA.CB��
D  VABCD . A��
B C D  4. VABCD . A��
BCD
6
1
1
� VA.CB��
.2.3.6  12 cm3
D  VABCD . A��
BCD 
3
3
Câu 8: Thầy Tâm cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp
500 3
m
có thể tích bằng 3
. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều
2
rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng /m . Khi đó, kích thước
của hồ nước như thế nào để chi phí th nhân cơng mà thầy Tâm phải trả
thấp nhất:
20
m
A. Chiều dài 20 m , chiều rộng 15 m và chiều cao 3

.
5
m
B. Chiều dài 20 m , chiều rộng 10 m và chiều cao 6 .
10
m
C. Chiều dài 10 m , chiều rộng 5 m và chiều cao 3
.
10
m
D. Chiều dài 30 m , chiều rộng 15 m và chiều cao 27 .
Lời giải
Chọn C

Trang 19

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

Giả sử thầy Tâm xây cái hồ dạng khối hộp chữ nhật không nắp như hình vẽ
500 3
500
m
V  2x2h 
m3
3
trên. Do khối hộp chữ nhật có thể tích là 3
nên ta có
250
h 2

�
3x .

 

2
Vì giá th nhân cơng để xây hồ là 500.000 đồng /m . Do xây bốn xung
quanh và đáy nên
giá nhân công để xây xong cái hồ là:
� 250
�
T   2 xh  2.2 xh  2 x 2  500000  500000 �
6 x. 2  2 x 2 ��
� 3x
�
�500
�
�500
�
T  500000 �  2 x 2 �
T  500000 �  2 x 2 �
�x
�. Ta khảo sát hàm
�x
�với x  0 :

� 500
�
T�
 500000 �

 2  4 x � 0 � x  5
� x
�
.

10
m
Vậy chiều dài 10 m , chiều rộng 5 m , chiều cao 3
.
B C D có AB  x , AD  1 . Biết rằng góc giữa
Câu 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��
A�
 bằng 30�. Tìm giá trị lớn nhất Vmax
C và mặt phẳng  ABB�
đường thẳng A�
BCD .
của thể tích khối hộp ABCD. A��
3 3
3
1
3
Vmax 
Vmax 
Vmax 
Vmax 
4 .
4 .
2.
2.
A.

B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D

Trang 20

50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ

BC  BB�
�
A�

�� CB   ABB�
BC

AB
� A�
B là hình chiếu vng góc của A�
C trên
�
Ta có
ABB�
A�
A�
 � góc giữa đường thẳng A�
 là
C và mặt phẳng  ABB�

mặt phẳng 
�
��
� C
��
A�
B, A�
C   BA
C
C  30�
C vng tại B ). Vậy BA
góc 
(vì BA�
nhọn do BA�
.
BC
1
A�
B

 3
�
A  A�
B 2  AB 2  3  x 2 .
tan BA�
C tan 30�
Ta có
; A�
x2   3  x2  3
�

VABCD. A��

B C D  AB. AD. AA  x 3  x �
2
2.
3
� x  3  x2 � x2  3  x2 � x 
2 (vì x  0 ).
Dấu  xảy ra
3
Vmax 
2.
Vậy
2

Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60 cm ,
3
thể tích 96000 cm . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá
thành 70000 VNĐ/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000
VNĐ/m2. Tính chi phí thấp nhất để hồn thành bể cá.
A. 320000 VNĐ.
B. 32000 VNĐ.
C. 832000 VNĐ.
D. 83200 VNĐ.
Lời giải
Chọn D
x, y  m  ( x  0, y  0)
Gọi
là chiều dài và chiều rộng của đáy bể, khi đó theo đề
0,16

0, 6 xy  0, 096 � y 
x .
ta suy ra
Giá thành của bể cá được xác định theo hàm số sau:
0,16
� 0,16 �
f  x   2.0, 6 �x 
.70000  100000 x.
�
x �
x
�
� 0,16 �
� f  x   84000 �x 
� 16000
x �
�
0,16 �
f�
1 2 �
 x   84000 �
�
 x   0 � x  0, 4
� x �, f �
Ta có bảng biến thiên sau:

Câu 10:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là:
f  0, 4   83200

VNĐ.

Trang 21

Bài tập tương tự và phát triển: Mức độ 1Câu 1. Cho khối hộp chữ nhật có cạnh bên bằng 5 , đáy là hình chữ nhật có diệntích bằng 16 . Hỏi thể tích khối hộp chữ nhật bằng:80A. 21 .B. 64 .C. 80 .D. 3 .Lời giảiChọn CKhối hộp chữ nhật có cạnh bên bằng 5 nên có chiều cao h = 5 .Thể tích khối lăng trụ là: V = S ABCD .h = 16.5 = 80 .Câu 2.B C D có AB  3 , AD  4 , A�A  5 . Thể tíchCho khối hộp chữ nhật ABCD. A��khối hộp đã cho bằng:A. 20 .B. 60 .C. 30 .D. 16 .Lời giảiChọn BTa cóS ABCD  AB. AD  3.4  12Trang 150 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘB C D  A A.S ABCD  5.12  60 .Thể tích khối hộp đã cho bằng ABCD. A��B C D có AB  3 , AD  4 , A�C  13 . Thể tíchCâu 3.Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��khối hộp đã cho bằng:A. 156 .B. 144 .C. 120 .D. 116 .Lời giảiChọn BTa cóS ABCD  AB. AD  3.4  12AA� A�C 2  AC 2  A�C 2  AB 2  BC 2  132  32  42  12 12.12  144B C D  A A.S ABCDThể tích khối hộp đã cho bằng ABCD. A��B C D có đáy AD  3, AB  4 , đường chéoCâu 4. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��AB �của mặt bên ( ABB A ) có độ dài bằng 5 . Tính thể tích của khối hộp đãcho.A. V = 36 .B. V = 45 .C. V = 18 .D. V = 48 .Lời giảiChọn A= AB �- A��B 2 = 3 và có diện tích đáyB có AA�Xét tam giác vng AA��S ABCD = 3.4 = 12B C D = 12.3 = 36 .Thể tích của khối hộp đã cho là VABCD. A��B C D có AB = a , AC = 2a , biết tam giácCâu 5. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��A�AC là tam giác vuông cân tại A . Thể tích khối hộp đã cho bằng:2 3a 33 3a 33 .2 .A.B. 2 3a .C. 3a .D.Lời giảiChọn BTrang 250 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ= AB. AD = a.a 3 = a 2 3Ta có: AD = AC – AB = 4a – a = a 3 � ABCDTam giác A AC vuông cân tại A nên A A = AC = 2a .= A�A.S ABCD = 2a.a 2 3 = 2 3a 3BCDThể tích khối hộp đã cho là ABCD. A��B C D có AB = 3a , AD = 4a , biết tứ giácCâu 6. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��BB ��D D là hình vng. Thể tích khối hộp đã cho bằng:A. 20a .B. 60a .C. 12a .D. 30a .Lời giảiChọn BDiện tích đáyS ABCD  AB. AD  3a.4a  12a 2BD = AB 2 + AD 2 = ( 3a ) +( 4a ) = 5aTa có= BD = 5a .D D là hình vng nên có BB �Do tứ giác BB ��= BB �.S ABCD = 5a.12a 2 = 60a 3BCDThể tích khối hộp đã cho là VABCD. A��B C D có AB = 3a , BC = 4a , biết tam giácCâu 7. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��A�BC là tam giác vng cân tại B . Thể tích khối hộp đã cho bằng:A. 20a .B. 12a 7 .C. 4aLời giải7.D. 60a .Chọn BTrang 350 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ AB. AD  3a.4a  12a 2Diện tích đáy ABCDB = BC = 4a .Do tam giác A BC là tam giác vuông cân tại B nên có A�Ta cóAA�= A�B 2 – AB 2 = ( 4a) – ( 3a ) = a 7= AA�.S ABCD = a 7.12a 2 = 12a 3 7BCDThể tích khối hộp đã cho là ABCD. A��AB3,��AD  4 . Biết đườngCâu 8. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A B C D có đáy ABCD  góc 45�. Thể tích khối hộp đã chothẳng AC �tạo với mặt phẳngbằng:A. 60 .B. 48 .C. 30 .D. 20 .Lời giảiChọn A AB. AD  3.4  12Diện tích đáy ABCDAA�  ABCD  �  AC �,  ABCD    �AC �A� 45�Ta cóA��C  A��B 2  B��C 2  5 � A�A  A��C .tan 45� 5 .B C D  S ABCD . AA  12.5  60 .Thể tích khối hộp đã cho là ABCD. A��B C D có đáy AB  3, AD  4 . Biết đườngCâu 9. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A�� ABCD  góc 45�. Thể tích khối hộp đã chothẳng AB�tạo với mặt phẳngbằng:A. 36 .B. 48 .C. 30 .D. 20 .Lời giảiChọn A AB. AD  3.4  12Diện tích đáy ABCD��AA�  ABCD  �  AB�,  ABCD    ABA� 45�A  A��B .tan 45� 3 .Ta cónên A�B C D  S ABCD . AA  12.3  36 .Thể tích khối hộp đã cho là ABCD. A��Trang 450 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘB C D có AB  3a, AD  4a . Đường thẳng A�Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��B BA) một góc 30 . Thể tích khối hộp chữ nhật đã chotạo với mặt phẳng ( A��bằng:A. 6a 39 .B. a 39 .C. 18a 39 .D. 2a 39 .Lời giảiChọn A AB. AD  3a.4a  12a 2Diện tích đáy ABCD�BC  AB��C ;  ABB�A�B  300   CABCBC  ( ABB��A ) �  A�Ta cóB  4a 3 .B.tan 30o  BC  4a � A�Khi đó A�A  A�B 2  AB 2  a 39 .Do vậy A�B C D làVậy thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A��VABCD. A��39B C D  A A.S ABCD  6a Mức độ 2Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt lần lượt là 6a ;8a ;12 a . Tính thểtích khối hộp chữ nhật đó.A. 8a .B. 12a .C. 24a .D. 18aLời giảiChọn CGọi ba kích thước của hình hộp chữ nhật là x; y; z , điều kiện: x; y; z  0 .Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật lần lượt là xy; yz; zx .Theo giả thiết ta có: xy. yz.zx  6a .8a .12a � ( xyz )  576a � xyz  24a .Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là: V  xyz  24a .B C D biết rằng AB  a , AD  2a ,Câu 2. Tính thể tích V của khối chữ nhật ABCD. A��AC � a 14 .A. V  a 5 .a 3 14V3 .B.C. V  2a .Lời giảiD. V  6a .Chọn DTrang 550 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘTa có:� AA� AC � AB 2  AD 2 � AA� 14a 2  4a 2  a 2  3a .AC � AB 2  AD2  AA�B C D là V  AB. AD. AA� 6a 3 .Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A��B C D có diện tích mặt chéo ACC �A�bằngCâu 3.Cho hình lập phương ABCD. A��2 2a . Thể tích của khối lập phương ABCD. A��B C D là:a3 3A. 3 .C. 2aLời giảiB. a .2.D. 2a 3 .Chọn Cx  0Giả sử hình lập phương có cạnh bằng x Xét ABC vng tại B có: AC  AB  BC  x  x  x 2A� AA . AC  x. x 2  2 2a � x  a 2 .Ta có S ACC �VậyVABCD. A��BCD  a 2 2a 3 2B C D có diện tích tam giác ACD�bằng a 3 .Câu 4. Cho hình lập phương ABCD. A��Tính thể tích V của hình lập phương.A. V  3 3a .B. V  2 2a .C. V  a .D. V  8a .LờigiảiChọn BTrang 650 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘGiả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là x .x 6OD� OD 2  A�A2 Ta có AC  x 2 ,x 6 x2 3S ACD� OD�. AC  x 2.2 .Diệntíchtamgiác ACD�làx 3a2 3 � a2 � xa 2Khi đó, ta cóVậy V  x  2a 2 .Câu 5. Các đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật bằngthể tích V của khối hộp chữ nhật đó.A. V  6 .B. V  5 26 .Chọn AC. V  2 .Lời giảiA�D.5,10,13. TínhV5 263 .D�C�B� 10, AD� 13.Giả sử AC  5, CD�A  z � V  xyz.Đặt AD  x, AB  y , A��x 2  y 2  BD 2  5�x 2  4 �x  2�2B 2  10 � �y 2  1 � �y  1 � V  xyz  6.�y  z  A��z 2  x 2  A��z 2  9 �z  3D 2  13Ta có �B C D có AB  a , AC  2a , diện tích tam giácCâu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��B C D bằng:BDB�bằng a . Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD. A��A. 2a .a3B. 3 .C. aLời giải3.2a 3D. 3 .Chọn CTrang 750 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘXét ABC vng tại B ta có BC  AC  AB  a 3 .2SBB� BDB� aBDXét DBB�vng tại B ta có BD  AC  2a ,Vậy� 3 3VABCD. A��B C D  AB.BC .BB  aB C D có AB  a ; AD  a 2 , mặt phẳngCâu 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��D ABC��tạo với đáy góc 45�. Thể tích của khối hộp đó là:2a2a 3A. 3 .B. 2a .C. 2a .D. 3 .Lời giảiChọn CD là hình chữ nhật nên AD� C ��D .Vì ABC ��D  � A��B C D   C ��D  C ��D ( A��B C D là hình chữ nhật);  ABC ��Mà A��D  ;  A��B C D    �AD�; A��D�AD�A� 45� ABC ��Suy ra � AA� A��D  AD  a 2 ( vì AA��D vuông cân).B C D  AB. AD. AA  a.a 2.a 2  2a .Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là: ABCD. A�� a 5 . ThểCâu 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có AB  a , AD  a 2 , AB�tích của khối hộp đã cho bằng:2a 3 23 .A.B. a 2 .C. 2a 2 .D. a 10 .Lời giảiChọn CTrang 850 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ 2a . AB� AB 2 � BB�Ta có BB� a2 2Diện tích đáy ABCD : ABCDVậy thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ : VABCD. A’ B ‘ C ‘ D ‘  BB .S ABCD� VABCD. A ‘ B ‘C ‘ D ‘  2a 3 2Câu 9. Tính thể tích của một hình hộp chữ nhật biết rằng ba mặt của hình này códiện tích là 20 cm , 10 cm , 8cm .A. 40 cm .B. 1600 cm .C. 80 cm .Lời giảiD. 200 cm .Chọn Aa.b  20a.c  10b.c  8Giả sử hình chữ nhật có ba kích thước là a , b , c . Ta có �� a 2 .b 2 .c 2  1600 � a.b.c  40 .Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là 40 cm .Câu 10.Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 12a . Tính theo athể tích khối lập phương đó.a3A. 8a .B. 2a .C. 3 .D. a .Lời giảiChọn AKhối lập phương có 6 mặt là hình vuông bằng nhau.12a 2 2a 2Từ giả thiết suy ra diện tích một mặt làCạnh của khối lập phương là2a 2  a 2 .V a 2 8a 3Thể tích của khối lập phương là: Mức độ 3B C D có diện tích các mặt ABCD , BCC ��B ,Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��CDD��C lần lượt là 2a 2 , 3a 2 , 6a 2 . Tính thể tích khối hộp chữ nhậtABCD. A��BC D .A. 36a .B. 6a .C. 36a .Lời giảiD. 6a .Chọn DTrang 950 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘTa cóS ABCD  2a 2 � AB.BC  2a 2  1S BCC ��BC .BB 3a 2  2 B  3aSCDD��C  6 aCD .CC 6a 2AB .BB6a 2  3  1 ,  2  ,  3 ta được  AB.BC.BB�  36a 6Nhân vế theo vếVABCD. A�� 6a3 .B C D  AB.BC.BB�AB .BC.BB6a3 .Câu 2. Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB  3cm; AD  6 cmvà độ dài đường chéo A ‘ C  9cm .A. V  102 cm .B. V  81cm .C. V  108cm .Lời giảiD. V  90 cm .Chọn CDiện tích đáy S ABCD  AB. AD  3.6  18cm .Tam giác ADC vuông tại D nên AC  AD  DC  6  3  45 .Tam giác ACC’ vuông tại C nên AC ‘  AC  CC ‘ � 9  45  CC ‘ .� CC ‘2  36 � CC ‘  6cm .Vậy V  AB. AD.CC ‘  3.6.6  108 cm .B C D có diện tích tam giác ACD�bằng a 2 3 .Câu 3. Cho hình lập phương ABCD. A��Tính thể tích V của hình lập phương.A. V  3 3a .B. V  2 2a .C. V  a .D. V  8a .Lời giảiChọn BTrang 1050 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘGiả sử cạnh của hình lập phương có độ dài là x .x 6OD� OD 2  A�A2 Ta có AC  x 2 ,x 6 x2 3S ACD� OD . AC  x 2.2 .Diện tích tam giác ACD�làx2 3x2a2 3 � a2 � xa 2Khi đó, ta cóVậy V  x  2a 2 .B C D có AD  2 AB , cạnh A�C hợp với đáyCâu 4. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A�� 10a ?một góc 45�. Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó biết BD�a 3 103 .A.2a 3 10B.2 5a 33 .D.C. 2 5a .Lời giảiChọn CĐặt AB  x � AD  2 x suy ra BD  AC  x 5 .C trên mặt phẳng  ABCD  .Vì AC là hình chiếu của A�A�C ,  ABCD    �A�C , AC   �A�CA  45�Suy ra� tam giác A�AC vuông cân tại A � AA ‘  AC  x 5 .Tam giác BDD�vng tại D , có BD ‘  DD ‘  BD � 10a  10 x � x  a .B C D là V  AA .S ABCD  a 5.2a  2 5a .Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD. A�� 3a, AC � 5a, A��B  2 B��C . ThểB C D có AA�Câu 5. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A��tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:32 396 332 326 3A. 3 .B. 5 .C. 5 .D. 5 .Lời giảiTrang 1150 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘChọn BC  25a 2  9a 2  4a .C vuông tại A�nên A��Tam giác AA��A��B C vuôngTamgiáctạiA��B��C 2  A��B  A��C 2 � 5B��C 2  A��C 2 � B��C 5 .� B��C B�nên4 58 5A��B vàV  S ABCD . AA�32 296a .3a  a 35 .B C D làThể tích khối lăng trụ ABCD. A��Câu 6. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật là a, b, c . Thể tíchcủa khối hộp đó là:A.C.bVV c 2  a 2   c 2  a 2  b2   a 2  b2  c 2 b c2  a 2   c2  a2  b2   a2  b2  c 2 . B. V  a  b  c .D. V  abc .Lời giảiChọn AzĐặt AB  x, AC  y, AA�a 2  c 2  b2�2 a 2  c 2  b2�x �x 2  y 2  a 2�2a2  b2  c2� 2 a2  b2  c2� �y �z  x  c � �y �y 2  z 2  b 2�2 b  c  ab2  c2  a 2�z �z Ta cóTrang 1250 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘVb c 2  a 2   c 2  a 2  b2   a 2  b2  c 2 Vậy thể tích hình hộp là��ABCDCâu 7: Cho hình hộp chữ nhậtcó đáy là hình vng cạnh a , góc giữaAB)( ABCD) bằng 30�. Thể tích khối hộp( D�mặt phẳngvà mặt phẳngABCD. A��B C D bằnga3 3a3 3a3 3A. 9 .B. 18 .C. a 3 .D. 3 .Lời giảiChọn CTa cóA ) ^ AB( ADD ��nên góc giữa mặt phẳngAB)( D�và mặt phẳng( ABCD) làA��AA�=a 3AD �= 30�tan 30�góc AD �và AA�hay A�. Suy ra. Vậy thể tích khối=a 3BCDhộp chữ nhật đã cho là ABCD. A��ABCD= a đường chéo A�C tạoCâu 8: Cho hình hộp chữ nhậtcó AB = AA�( ABCD) một góc a thỏa cot a = 5 Thể tích khối hộp đã chovới mặt đáybằnga32a 3A. 2a .B. 5a .C. 3 .D. 5 .Lời giảiChọn A) (a= �A�C , ( ABCD ) = �A�C , AC = �A�CATa có :�AC = AA�.cot a = a 5� BC = AC 2 – AB 2 = 2a�AB = AA�=aDo �= AA�. AB.BC = 2aBCDVậy VABCD. A��B C D có đáy ABCD là hình vng có đườngCâu 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��chéo AC  a 2 , đường chéo BD�của hình hộp chữ nhật hợp với đáy ABCD. Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD. A��BCD .một góc 30�Trang 1350 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘa3 6A. 9 .a3 6B. 3 .2a 3 63 .C.D. 2a 6 .Lời giảiChọn BABCD. A��B C D làcóDD�  ABCD  � DD� BDTahìnhhộpchữnhậtnênta ABCD  .và BD là hình chiếu của BD�trêncó:� �BD,  ABCD    DBD 30�Vậy gócĐáy ABCD là hình vng có đường chéo AC  a 2 nên cạnh của hình vngABCD là AB  BC  a .DD� BD.tan 30�Trong tam giác DBD�cóa3 6VABCD. A��DDABBCBCD3 .a 63 .B C D có đáy ABCD có AB  4, AD  2 3 vàCâu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��D ABC ��mặt phẳnghợp với đáy ABCD góc 60�. Tính thể tích hình hộp chữBCD .nhật ABCD. A��A. 48 .B. 48 3 .C. 16 3 .D. 16 .Lời giảiChọn BTa cóD  � ABCD   AB AB   ADD�A� ABC �� � AB  AD�, AD  AB��ABC ��D ) , ( ABCD ) ) = DAD = 60�(�Vậy góc AD.tan 60� 2 3. 3  6 .DA có DD�Trong tam giác D�= DD �. AB. AD = 6.4.2 3 = 48 3 .BCDVậy ABCD. A�� Mức độ 4Trang 1450 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ2a 5B C D . Khoảng cách giữa AB và B�C là5 ,Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA��2a 5a 3giữa BC và AB�là 5 , giữa AC và BD�là 3 . Thể tích của khối hộp đólà:A. 2a .B. a .C. 8a .D. 4a .Lời giảiChọn A=z.Đặt AB = x , AD = y , AA�C , ta có BH là đoạn vng gócGọi H là hình chiếu vng góc của B trên B �2a 5d ( AB, B�C ) = BH == 2+ 2= 2BH4a . (1)C nênchung của AB và B�Gọi I là hình chiếu vng góc của B trên AB �, ta có BI là đoạn vng gócd ( BC , AB �) = BI � 2 = 2 + 2 = 2BI4a . (2)chung của BC và AB �nênGọi M là trung điểm của DD�, O là giao điểm của AC và BD , ta có mặt( ACM )ACBD�phẳngchứavàsongsongvớinênd ( AC , BD �,( ACM ) ) = d ( D �,( ACM ) )) = d ( BD�Gọilà hình chiếu vng góc của D trên AC , K là hình chiếu vng gócMJ ,củatrêntacód ( D�,( ACM ) ) = d ( D,( ACM ) ) = DK �= 2+ 2+ 2= 2DKa . (3)= 2 � z = 2a � x = y = a2aTừ (1), (2) và (3) ta có zThể tích khối hộp là V = xyz = 2a .Câu 2.V  m3 Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tíchhệ số k cho trước ( k – tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy).Gọi x, y, h  0 lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga. Hãyxác định x, y, h  0 xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. x, y , h lần lượt là:x  23A. 2k  1 V ; y 4k2kV 2k  1;h k  2k  1 VTrang 1550 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘxxx4kB.2kV 2k  1 2k  1 V ; y  2 2k  1 V ; y  64kC.D. 2k  1 V ; y 4k 2;h  23k  2k  1 V;h k  2k  1 V;h k  2k  1 V2kV 2k  12kV 2k  1Lời giảiChọn Cx, y , h  x, y , h  0 Gọilần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga.k  � h  kxV  xyh � y  2xh kx .Ta có:vàNên diện tích toàn phần của hố ga là: 2k  1 V  2kx 2S  xy  2 yh  2 xh kxÁp dụng đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi 2k  1 Vx34k 2y  232kV,h k  2k  1 V 2k  1Khi đóCâu 3. Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó(tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết cáccạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tám mặt đềuđó.a3a3a3a3A. 8 .B. 6 .C. 12 .D. 4 .Lời giảiChọn BVì khối tám mặt đều có các đỉnh là tâm của các mặt khối lập phương cạnh aD ‘C a 2x  IN 2 .nên độ dài cạnh khối tám mặt đều làThể tích khối tám mặt đều bằng hai lần thể tích khối chóp tứ giác đềuSABCD có cạnh đáy bằng x và cạnh bên cũng bằng x .Gọi O là tâm của tứ giác ABCD . Ta có SO  ( ABCD)Trang 1650 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ�x 2 � xSO  SA  AO  x  ��2 �� 2 .2 x3VSABCD  .S ABCD .SO  .x 2 .Vậy thể tích khối tám mặt đều bằng�a 2 �2.2 � a32 x32 x3V  2.VSABCD  2. .Câu 4. Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thểtích là V . Để làm thùng hàng tốn ít ngun liệu nhất thì chiều cao củathùng đựng đồ bằng:A. x  VB. x  VC. x  VLời giảiD. x  VChọn B a, x  0 Gọi a là độ dài cạnh đáy, x là độ dài đường cao của thùng đựng đồV  a2 x � a � Stp  2a 2  4ax  2  4 VxKhi đó,StpĐể làm thùng hàng tốn ít ngun liệu nhất thìnhỏ nhấtnhất.f  x   2  4 Vx 0; �Cách 1 : Xét hàm sốtrên2V 2 Vf ‘ x  2 ; f ‘ x  0 � x2 V  V x � x  V 3Ta có�2 4 VxnhỏTừ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao củathùng đựng đồ bằng V .2  4 Vx  2  2 Vx  2 Vx �6 3 V 2Cách 2: ta có x Vx � x3  V � x  3 VDấu ”  ” xảy ra tại xCâu 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ‘ B ‘ C ‘ D ‘ có thể tích là V. Gọi M, N lần lượt làtrung điểm của A ‘ B ‘ và B ‘ C ‘ thì thể tích khối chóp D ‘.DMN bằng:A. 2 .B. 16 .C. 4 .D. 8 .Trang 1750 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘLời giảiChọn D�S MNB ‘  4 S A ‘ B ‘ C ‘  4 S A ‘ C ‘ D ‘�S NC ‘ D ‘  S B ‘ C ‘ D ‘  S A ‘ C ‘ D ‘�S MA ‘ D ‘  2 S A ‘ B ‘ D ‘  2 S A ‘ C ‘ D ‘Ta có ��1 1 1 �� S D ‘ MN  S A ‘ B ‘ C ‘ D ‘  �   �S A ‘C ‘ D ‘  S A’C ‘ D ‘�4 2 2 �3 2 V� VD.D ‘ MN  VD. A ‘ C ‘ D ‘  . 4 3 8.Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = a, AD = b. M, N lần lượtlà hai điểm trên hai cạnh AB và BC. Mặt phẳng (MDD’) cắt A’B’ tại M’, mp(NDD’) cắt B’C’ tại N’ và các mặt phẳng đó chia hình hộp thành 3 phần cóthể tích bằng nhau. Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện DMND’M’N’ vàBMNB’M’N’.A. 5 .B. 4 .C. 6 .D. 7 .Lời GiảiChọn AabS AMD  SCND  S MBND  S ABCD 3 .Từ giả thiết suy ra2S2aS AMD  AM . AD � AM  AMD AD3 .2S2bSCND  CN .CD � CN  CND CD3 .Trang 1850 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘabBM .BN 18 ;Cóab ab 5abS DMN  S MBND  S BMN 3 18 18VDMND ‘ M ‘ N ‘ S DMN5BMNBBMN+ Suy raS BMN B C D có ba kích thước là 2 cm , 3cm và 6 cm .Câu 7. Một hình hộp chữ nhật ABCD. A��D bằng:Thể tích của khối tứ diện A.CB��A. 8 cm .B. 12 cm .C. 6 cm .D. 4 cm .Lời giảiChọn BTa có :VABCD. A��B C D  VB . AB �C  VD . ACD � VA�.B�AD � VC . B ��C D  VA.CB�� VABCD. A��B C D  4VB . AB �C  VA.CB �� VA.CB��D  VABCD . A��B C D  4VB . AB �� VA.CB��D  VABCD . A��B C D  4. VABCD . A��BCD� VA.CB��.2.3.6  12 cm3D  VABCD . A��BCD Câu 8: Thầy Tâm cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp500 3có thể tích bằng 3. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiềurộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng /m . Khi đó, kích thướccủa hồ nước như thế nào để chi phí th nhân cơng mà thầy Tâm phải trảthấp nhất:20A. Chiều dài 20 m , chiều rộng 15 m và chiều cao 3B. Chiều dài 20 m , chiều rộng 10 m và chiều cao 6 .10C. Chiều dài 10 m , chiều rộng 5 m và chiều cao 310D. Chiều dài 30 m , chiều rộng 15 m và chiều cao 27 .Lời giảiChọn CTrang 1950 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘGiả sử thầy Tâm xây cái hồ dạng khối hộp chữ nhật không nắp như hình vẽ500 3500V  2x2h m3trên. Do khối hộp chữ nhật có thể tích là 3nên ta có250h 23x . Vì giá th nhân cơng để xây hồ là 500.000 đồng /m . Do xây bốn xungquanh và đáy nêngiá nhân công để xây xong cái hồ là:� 250T   2 xh  2.2 xh  2 x 2  500000  500000 �6 x. 2  2 x 2 �� 3x�500�500T  500000 �  2 x 2 �T  500000 �  2 x 2 ��x�. Ta khảo sát hàm�x�với x  0 :� 500T� 500000 � 2  4 x � 0 � x  5� x10Vậy chiều dài 10 m , chiều rộng 5 m , chiều cao 3B C D có AB  x , AD  1 . Biết rằng góc giữaCâu 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A��A� bằng 30�. Tìm giá trị lớn nhất VmaxC và mặt phẳng  ABB�đường thẳng A�BCD .của thể tích khối hộp ABCD. A��3 3Vmax Vmax Vmax Vmax 4 .4 .2.2.A.B.C.D.Lời giảiChọn DTrang 2050 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘBC  BB�A�� CB   ABB�BCAB� A�B là hình chiếu vng góc của A�C trênTa cóABB�A�A� � góc giữa đường thẳng A� làC và mặt phẳng  ABB�mặt phẳng �� C��A�B, A�C   BAC  30�C vng tại B ). Vậy BAgóc (vì BA�nhọn do BA�BCA�B 3A  A�B 2  AB 2  3  x 2 .tan BA�C tan 30�Ta có; A�x2   3  x2  3VABCD. A��B C D  AB. AD. AA  x 3  x �2.� x  3  x2 � x2  3  x2 � x 2 (vì x  0 ).Dấu  xảy raVmax 2.VậyĐể thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60 cm ,thể tích 96000 cm . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giáthành 70000 VNĐ/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000VNĐ/m2. Tính chi phí thấp nhất để hồn thành bể cá.A. 320000 VNĐ.B. 32000 VNĐ.C. 832000 VNĐ.D. 83200 VNĐ.Lời giảiChọn Dx, y  m  ( x  0, y  0)Gọilà chiều dài và chiều rộng của đáy bể, khi đó theo đề0,160, 6 xy  0, 096 � y x .ta suy raGiá thành của bể cá được xác định theo hàm số sau:0,16� 0,16 �f  x   2.0, 6 �x .70000  100000 x.x �� 0,16 �� f  x   84000 �x � 16000x �0,16 �f�1 2 � x   84000 � x   0 � x  0, 4� x �, f �Ta có bảng biến thiên sau:Câu 10:Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là:f  0, 4   83200VNĐ.Trang 21

Source: https://bloghong.com
Category: en