Đường cao tam giác vuông cân: Định nghĩa, tính chất & công thức tính
Đường cao trong tam giác vuông cân là phần kiến thức mà ta sẽ gặp thường xuyên trong suốt quá trình học môn Toán từ lớp 7 đến lớp 12. Vậy tính chất đặc biệt của nó là gì và làm thế nào để tính được độ dài đường cao tam giác vuông cân? Bài viết sau đây sẽ giới thiệu tới các em một số tính chất đặc biệt cùng với công thức tính độ dài đường cao tam giác vuông cân.
Trong tam giác MNP vuông cân tại M, đoạn thẳng vuông góc kẻ từ đỉnh M đến đường thẳng chứa cạnh NP được gọi là đường cao của tam giác vuông cân MNP. Cụ thể trong hình vẽ dưới đây, ta nói đoạn thẳng MH là đường cao xuất phát từ đỉnh M của của tam giác vuông cân MNP.
Trong tam giác MNP vuông cân tại M, có đường cao MH. Ta có các tính chất như sau:
(1) Vì tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M, suy ra .
Lại có MH vuông góc với NP, nên ta có .
Trong tam giác vuông MHN có:
(tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra .
Tương tự trong tam giác vuông MHP có:
(tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra .
Do đó ta có .
Xét tam giác vuông MHN và tam giác vuông MHP có:
+
+
+
Do đó ta được: Tam giác vuông MHN bằng tam giác vuông MHP (g.g.g).
(2) Theo tính chất (1), ta có: Tam giác vuông MHN bằng tam giác vuông MHP.
Suy ra NH = PH hay điểm H là trung điểm của đoạn thẳng NP.
Khi đó, đường cao MH chính là đường trung tuyến của tam giác vuông cân MNP.
(3) Dựa vào phần chứng minh của tính chất (1), ta có: .
Khi đó, đường cao MH chính là đường phân giác góc NMP của tam giác vuông cân MNP.
(4) Do NM và PM là hai cạnh góc vuông của tam giác MNP.
Suy ra cạnh NM vuông góc với cạnh MP và cạnh PM vuông góc với cạnh MN.
Khi đó, NM và PM là đường cao xuất phát từ đỉnh N và P tương ứng của tam giác vuông cân MNP.
Trong tam giác MNP vuông cân tại M, có đường cao MH. Khi đó, độ dài đường cao MH trong tam giác vuông cân chính bằng một nửa độ dài cạnh NP hay MH = NP.
Chứng minh
Trong tam giác MHN có: (theo chứng minh tính chất 1).
Suy ra tam giác MHN cân tại H hay NH = MH.
Trong tam giác MHP có: (theo chứng minh tính chất 1).
Suy ra tam giác MHP cân tại H hay PH = MH.
Mà NH = HP = NP (theo tính chất 2).
Khi đó, ta được MH = NP.
*Phương pháp giải: Muốn chứng minh một điều gì đó theo yêu cầu của bài toán, ta sẽ vận dụng các tính chất và công thức tính độ dài của đường cao trong một tam giác vuông cân đã trình bày ở trên vào để giải quyết bài toán đó.
Ví dụ 1. Cho tam giác MNP vuông cân tại M, có đường cao MH. Kẻ đoạn thẳng HK vuông góc với cạnh MP tại điểm K. Chứng minh HK = NM.
Lời giải
Vì MH là đường cao tam giác vuông cân MNP, nên theo tính chất 2 và công thức tính độ dài đường cao MH ta có: MH = HP = NP.
Lại có MH vuông góc với NP nên .
Do đó tam giác MHP là tam giác vuông cân tại H.
Xét tam giác MHP vuông cân tại H có HK là đường cao xuất phát từ đỉnh H.
Suy ra HK = MP (theo công thức tính độ dài đường cao tam giác vuông cân).
Mà MP = MN (tam giác MNP vuông cân tại M).
Do đó, ta suy ra HK = MN.
Vậy HK = NM.
*Phương pháp giải: Ta sử dụng công thức tính độ dài đường cao tam giác vuông cân đã trình bày ở trên.
Ví dụ 2. Cho tam giác MNP vuông cân tại M, có đường cao MH. Biết độ dài cạnh NP = 6 cm. Hãy tính độ dài đường cao MH.
Lời giải
Vì MH là đường cao tam giác vuông cân MNP, nên theo công thức tính độ dài đường cao ta có:
MH = NP = . 6 = 3 (cm)
Vậy đường cao MH có độ dài bằng 3 cm.
Bài 1. Cho tam giác HKT vuông cân tại H có đường cao HR. Biết độ dài cạnh KT = 16 cm. Độ dài đường cao HR là:
Bài 2. Cho tam giác MNP vuông cân tại M, có đường cao MH. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN, nối P với I cắt đoạn thẳng MH tại J. Chứng minh MJ = MH.
Bài 3. Cho tam giác MNP vuông cân tại M, có đường cao MH. Biết độ dài hai cạnh MN = MP = 2 cm. Hãy tính độ dài đường cao MH.
ĐÁP ÁN
Xét tam giác MNP vuông tại M có:
MN2 + MP2 = NP2 (định lý Pi – ta – go).
Suy ra NP2 = 22 + 22 = 8 hay NP = (cm).
Vì MH là đường cao tam giác vuông cân MNP, nên theo công thức tính độ dài đường cao ta có:
MH = NP = . = (cm)
Vậy đường cao MH có độ dài bằng cm.