Hình Elip là gì? Công thức tính chu vi, diện tích hình elip
Hình Elip là một phần nội dung kiến thức không thể bỏ qua trong hệ thống hình học lớp 10. Bạn đã biết hình elip là gì? Cách tính diện tích hình elip ra sao? Phương trình elip như thế nào?
Vậy mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây sẽ tổng hợp kiến thức về phần elip để có thể lưu lại và trau dồi cho bản thân về phần kiến thức hình học của bậc trung học phổ thông này nhé!
Định nghĩa
Hình Elip là gì?
Hình elip thường được định nghĩa là một hình cầu dẹt, có dạng của một hình bầu dục. Để dễ hiểu nhất về hình dạng của một hình elip là chúng ta cắt một hình nón có góc lớn hơn 0.
Theo định nghĩa toán học thì hình elip là một đường cong kín mà trong đó, tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của nó đến hai điểm được xác định nằm trên trục chính là một giá trị không đổi và được gọi là foci.
Để làm rõ hơn về định nghĩa này, cùng nhìn vào hình ảnh dưới đây mô tả về một hình elip.
Cho 2 điểm F1, F2 cố định với F1F2 = 2c và một độ dài không đổi 2a, trong đó a>c.
Khi đó, đường elip là tập hợp những điểm M sao cho:
-
F
1
, F
2
là hai tiêu điểm
-
F
1
, F
2
= 2c, gọi là tiêu cự
-
F
1
M, F
2
M gọi là bán kính qua tiêu.
Cách vẽ hình Elip
Để vẽ được hình elip ta thực hiện theo 3 bước đơn giản dưới đây:
-
Bước 1: Vẽ hai đường tròn tâm O với đường kính AB và CD, trong đó AB là trục dài còn CD là trục ngắn.
-
Bước 2: Chia 2 đường tròn vừa vẽ được ở bước 1 thành 12 phần bằng nhau.
-
Bước 3: Kẻ các đường thẳng song song với trục AB, CD từ các điểm 1,2,3… và 1’,2’,3’. Giao điểm của các đường 1-1’, 2-2’, 3-3’,… là các điểm nối thành hình Elip.
Đặc điểm hình học của hình Elip
-
Một hình elip sẽ có 2 trục đối xứng vuông góc và cắt nhau tại tâm đối xứng, cắt đường elip tại các trục lớn và trục nhỏ. Như hình vẽ 1.1, 2 trục đối xứng AB và CD vuông góc và cắt nhau tại tâm đối xứng là O, cắt đường elip tại trục lớn AB và trục nhỏ CD là một hình elip.
Nửa chiều dài của trục lớn và trục nhỏ (AB và CD) được gọi lần lượt là bán trục lớn (a) và bán trục nhỏ (b). Khoảng cách từ tâm elip đến mỗi tiêu điểm được gọi là bán tiêu cự (c).
Với bất kỳ một hình elip nào ta luôn có:
c² = a² – b²
-
Tâm sai hay còn gọi là độ lệch tâm của elip (độ dẹt của hình elip) là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài của trục lớn:
e = c/a (0 ≤ e < 1)
e = 0 khi và chỉ khi 2 tiêu điểm trùng nhau và hình elip lúc này trở thành hình tròn.
Phương trình Elip là gì?
Phương trình chính tắc
Cho hình elip có tiêu điểm F1, F2, chọn trục tọa độ Oxy sao cho: F1(-c; 0), F2 (c; 0).
Khi đó phương trình chính tắc của Elip được biểu diễn dưới dạng:
Phương trình chính tắc của elip
Trong đó: M(x,y) ∈ elip
c² = a² – b²
Phương trình tham số
Dạng lượng giác từ phương trình chính tắc của elip ta có thể suy ra như sau:
Trong các trường hợp phương trình chính tắc phức tạp, với phương trình đường elip dạng tham số sẽ giúp chúng ta giải quyết được rất nhiều các bài toán. Bởi, việc chuyển phương trình về dạng phương trình tham số sẽ làm đơn giản hóa bài toán nhờ tính chất của tham số.
Phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến của elip (E) với M(x0; y0) ∈ (E):
Điều kiện tiếp xúc của (E) và Δ: Ax + By + C = 0
A²b² + B² b² = C²
Cách tính diện tích hình Elip
Diện tích hình elip được tính theo công thức sau: S = π.a.b
Trong đó:
π là một hằng số toán học có giá trị: π = 3.14159265359
a: là nửa chiều dài của trục lớn
b: là nửa chiều dài của trục nhỏ
Chu vi của hình Elip được tính như thế nào?
Công thức tính chu vi của một hình elip là:
Trong đó:
π là một hằng số toán học có giá trị: π = 3.14159265359
r1, r2 lần lượt là độ dài một nửa của trục lớn và trục nhỏ.
Bài tập áp dụng kiến thức về hình Elip
Bài 1: Tính diện tích hình elip, biết:
-
Trục lớn và trục nhỏ có độ dài lần lượt là 8cm và 4cm.
-
Trục lớn MN= 4cm, trục nhỏ IK = 2.5cm
-
Khoảng cách từ điểm xa nhất nằm trên elip đến gốc tọa độ là 7cm và khoảng cách từ điểm gần nhất nằm trên đến gốc tọa độ là 6cm.
Hướng dẫn cách giải:
a). Tạm gọi trục lớn và trục nhỏ của elip là AB và CD. Theo đề bài ta có:
AB = 8cm => 2a = 8cm => a = 4cm
CD = 4cm => 2b = 4cm => b = 2cm
Như vậy, diện tích hình elip là: S = π.a.b = π.4.2 = 8π (cm²).
b). MN = 4cm => 2a = 4cm => a = 2cm
IK = 2,5cm => 2b = 2,5cm => b = 1,25cm
Diện tích hình elip là: S = π.a.b = π.2.1,25 = 2,5π (cm²)
c). Theo đề bài ta có:
Khoảng cách từ điểm xa nhất nằm trên elip đến gốc tọa độ là 7cm => a = 7cm
Khoảng cách từ điểm gần nhất nằm trên elip đến gốc tọa độ là 6cm => b = 6cm
Vậy, diện tích elip là: S = π.a.b = π.7.6 = 42π (cm²)
Bài 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong các trường hợp dưới đây:
-
Một đỉnh trên trục lớn là (3; 0) và một tiêu điểm là (-2; 0)
-
(E) đi qua điểm: M(0; 1) và N(1,
√3/2)
Hướng dẫn cách giải:
a). Ta có: a = 3, c =2 => b² = a² – c²=9 – 4 =5
Vậy phương trình chính tắc của elip là: x²⁄9 + y²⁄5 = 1
b). Phương trình chính tắc của (E) có dạng: x²⁄a² + y²⁄b²= 1
Vì (E) đi qua 2 điểm M(0;1) và N(1, √3⁄2) nên thay tọa độ của M và N vào phương trình (E) ta được:
Vậy, phương trình của hình elip (E) có dạng: x²⁄4 + y²⁄1 = 1
Chúng ta vừa tổng hợp lại những kiến thức cơ bản về hình elip cùng áp dụng làm bài tập. maynenkhikhongdau.net hy vọng những thông tin trên hữu ích đối với bạn.