Khoảng Cách 2 Đường Thẳng Chéo Nhau Và Phương Pháp Tính

Muốn tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau, các em học sinh cần nắm vững các phương pháp như tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, cách dựng hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng,… Trong bài viết này, VUIHOC sẽ hướng dẫn các em 3 phương pháp phổ biến nhất để giải các bài toán về khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau kèm theo các bài luyện tập điển hình.

1. Định nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Trong không gian tọa độ Oxyz, có 4 vị trí tương đối của 2 đường thẳng đó là trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau và song song. Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng chính là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng. Trong đó, đoạn thẳng nối 2 điểm trên 2 đường thẳng chéo nhau, đồng thời vuông góc với cả 2 đường thẳng đó chính là đoạn vuông góc chung. 

Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Lưu ý, đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau là chỉ có một, tồn tại duy nhất.

2. Các phương pháp tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Muốn tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau, các em học sinh cần nắm vững các phương pháp như tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, cách dựng hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng,… Dưới đây là 3 cách tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau thường sử dụng để giải các bài toán nhất

2.1. Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và tính độ dài đoạn vuông góc chung đó

Đây là phương pháp đơn giản nhất và thường được sử dụng nhất để giải bài tập tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau. Các em học sinh áp dụng công thức sau:

$\left\{\begin{matrix}
AB \perp a& \\ 
AB \perp b& \Rightarrow d(a,b)=AB\\ 
AB \,\cap a& \\ 
AB \, \cap b& 
\end{matrix}\right.$

Khi 2 đường thẳng a và b đồng thời chéo nhau và vuông góc với nhau, thường sẽ tồn tại một mặt phẳng ($\alpha$) chứa đường a và vuông góc với đường b. Khi đó, ta dựng đoạn vuông góc chung bằng 2 bước sau:

  • Tìm giao điểm H thỏa mãn thuộc đường thẳng b và nằm trong mặt phẳng ($\alpha$).

  • Tại mặt phẳng ($\alpha$), ta dựng HK vuông góc với đường thẳng a tại K. Khi đó, HK chính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng a và đường thẳng b.

 

Dựng đường vuông góc chung tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Lưu ý, phương pháp 1 chỉ nên sử dụng khi 2 đường thẳng a và đường thẳng b vuông góc với nhau. Khi đó, việc tìm và dựng đường vuông góc chung rất đơn giản. Nhưng nếu 2 đường a và b không vuông góc thì việc dựng đường vuông góc chung rất phức tạp. 

Áp dụng phương pháp 1, ta cùng giải một số ví dụ sau đây:

Ví dụ 1 phương pháp 1 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Ví dụ 2 phương pháp 2 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

2.2. Phương pháp 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất tới mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng thứ hai

Khi 2 đường thẳng a và b chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau, ta áp dụng cách tính khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất tới mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng thứ hai theo các bước sau đây:

  • Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường b và song song với đường a.

  • Bước 2: Dựng một đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a xuống mặt phẳng (α) bằng cách lấy điểm M thuộc đường thẳng a dựng đoạn MN vuông góc với mặt phẳng (α). Vậy, đường thẳng d lúc này sẽ đi qua N và song song với a.

  • Bước 3: Gọi H là giao điểm của d và b, từ đó dựng HK song song với MN.

Như vậy, HK là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng a và  đường thẳng b. Độ dài đoạn vuông góc chung chính bằng đoạn MN.

ách tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau theo phương pháp 2

Để hiểu hơn về cách áp dụng, ta cùng xét các ví dụ sau đây:

Ví dụ 1 (Câu 40 – đề minh họa THPT Quốc gia 2020): Cho hình chóp S.ABCD. SA vuông góc với đáy là (ABC), SA=a, $\Delta$ABC vuông tại đỉnh A, AC=4a, AB=2a. M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa 2 đường SM và BC trong hình.

Giải:

hình minh họa ví dụ 1 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau SM và BC.

Gọi điểm N là trung điểm của cạnh AC, ta có:

$\left\{\begin{matrix}
BC // MN& \\ 
MN \subset (SMN)\\
BC\nsubseteq (SMN)\\ 
\end{matrix}\right.$

Suy ra:

$d(BC,SM)=d(BC,(SMN))=d(B,(SMN))$

Vì đường AB cắt mặt phẳng (SMN) tại trung điểm M, nên:

$\frac{d(B,(SMN))}{d(A,(SMN))}=\frac{BM}{AM}=1$

$\Rightarrow d(B,(SMN))=d(A,(SMN))$

Lần lượt kẻ AHMN và AKSH, áp dụng kết quả hình chóp có 3 tia đồng quy và đôi một vuông góc với nhau, ta có:

$\frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}$

Thay số vào ta được $d(BC,SM)=AK=\frac{2a}{3}$.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có cạnh bằng a, SA=a, SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa 2 đoạn AB và SC.

Giải:

Hình minh họa ví dụ 2  khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Ta có AB//CD => AB//(SCD). Do đó:

$d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))$

Kẻ đường cao AK thuộc tam giác SAD, ta có khoảng cách cần tìm là:

$d(A,(SCD))=AK=\frac{a}{\sqrt{2}}$

2.3. Phương pháp 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đã cho

Đây là phương pháp tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau bằng cách chuyển về tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa 2 đường thẳng đã cho. Công thức chung sẽ là:

$\left\{\begin{matrix}
a \subset (P)\\ 
b \subset (Q) & \Rightarrow d(a,b)=d((P),(Q))\\
(P)//(Q)\\ 
\end{matrix}\right.$

Lưu ý: Phương pháp này thường sử dụng trong trường hợp khi kẻ đường thẳng song song với 1 trong 2 đường đề bài cho ban đầu gặp khó khăn.

Các em học sinh cùng VUIHOC xét ví dụ tính khoảng cách sau đây:

Ví dụ 1 (Đề ĐH khối B năm 2002): Cho hình lập phương cạnh a ABCD.A’B’C’D’. Hãy tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B’D và A’B theo a.

Giải:

ví dụ 1 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau trong hình lập phương

Giải ví dụ 1 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau trong hình lập phương

Ví dụ 2: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ nhận đáy là hình bình hành với AD=2a, AB=a, góc BAD bằng 60 độ và $A’A=a\sqrt{3}$. Gọi 3 điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn A’B’, BD và DD’. Hình chiếu vuông góc của B lên AD là H. Hãy tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau MN và HP trong hình hộp đó.

Giải:

tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau của hình hộp chữ nhật

Giải bài tập ví dụ 2 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau hình hộp chữ nhật

3. Một số bài tập về khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau Oxyz

Để luyện tập thành thạo phần kiến thức khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau Oxyz, các em cùng VUIHOC giải bài tập về khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau dưới đây nhé!

Bài 1: 

Đề bài tập 1 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải: 

Hình vẽ giải bài tập 1 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Vì M là trung điểm của đoạn $AB \Rightarrow AM = BM = \frac{1}{2}AB = a = AD = BC = CD$

Nên tứ giác ADCM và BCDM là hình thoi.

$\Rightarrow DM // BC \Rightarrow DM // (SBC) \Rightarrow d(DM,SB) = d(DM,(SBC)) = d(M,(SBC))$

Do $AM\cap (SBC)=B\Rightarrow \frac{d(M,(SBC))}{d(A,(SBC))}=\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow d(M,(SBC))=\frac{1}{2}d(A,(SBC))$ (1)

Ta xét tam giác ABC có đường trung tuyến $CM=\frac{1}{2}AB\Rightarrow ABC\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại đỉnh $C\Rightarrow AC\perp BC$

Trong tam giác vuông SAC, ta dựng AHSC.

Xét $BC\perp AC, BC\perp SA$ (do $SA\perp (SBC)$) $\Rightarrow BC\perp (SAC)\Rightarrow BC\perp AH$

Xét thấy tam giác ABC vuông tại C, $AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=a\sqrt{3}$

Vì tam giác SAC vuông tại A, ta có:

$\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AS^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$

$\Rightarrow AH=\frac{AS.AC}{AS^{2}+AC^{2}}$

$=\frac{3a.\sqrt{3}a}{\sqrt{9a^{2}+3a^{2}}}$

$=\frac{3a}{2}$

$\Rightarrow d(A,(SBC))=\frac{3a}{2}$

Từ (1) suy ra: $d(M,(SBC))=\frac{3a}{4}$

Kết luận: $d(DM,SB)=d(M,(SBC))=\frac{3a}{4}$.

 

Bài 2: 

Đề bài 2 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải:

Giải bài 2 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 3: 

Đề bài 3 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải:

Giải bài 3 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 4: 

Đề bài 4 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải:

Giải bài tập 4 khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 5: 

Đề bài tập 5 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải:

Giải bài 5 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 6: 

Đề bài tập 6 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải:

Giải bài tập 5 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 6: 

Đề bài tập 6 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải:

Giải bài 6 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 7: 

Đề bài 7 khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải:

Giải bài tập 6 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 8: 

Đề bài 8 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải:

Giải bài 8 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 9: 

Đề bài 9 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải:

Giải bài tập 9 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Bài 10: 

Đề bài tập 10 khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Giải: 

Giải bài tập 10 tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau

Để ôn lại lý thuyết cũng như thực hành các bài tập về khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau nói riêng và các dạng khoảng cách trong không gian, cùng VUIHOC tham dự bài giảng của thầy Anh Tài trong video sau đây nhé!

Trên đây là toàn bộ kiến thức và phương pháp tính khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau thông dụng nhất trong chương trình THPT. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp ích cho các em học sinh, đặc biệt là các bạn đang chuẩn bị thi THPT Quốc gia năm nay bổ sung những phần kiến thức bị thiếu. Để học thêm nhiều kiến thức Toán và các môn khác, truy cập ngay Vuihoc.vn hoặc trung tâm hỗ trợ nhé!