Kiến thức Cách xác định nhanh góc giữa hai đường thẳng chéo nhau – Công thức và bài tập có đáp án chi tiết – Banmaynuocnong

Dưới đây là các thông tin và kiến thức về chủ đề góc giữa 2 đường thẳng hay nhất do chính tay đội ngũ chúng tôi biên soạn và tổng hợp:

Cách xác định nhanh góc giữa hai đường thẳng chéo nhau – Công thức và bài tập có đáp án

1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ.

Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng ${a}’$, ${b}’$ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng ${a}’$ và ${b}’$ không thay đổi.

Liên quan: góc giữa 2 đường thẳng

Do đó ta có định nghĩa:

Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng ${a}’$ và ${b}’$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

Nếu $overrightarrow{u}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng a và $overrightarrow{v}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng b và $left( overrightarrow{u};overrightarrow{v} right)=alpha $ thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng $alpha $ nếu $0le alpha le 90{}^circ $ và bằng $180{}^circ -alpha $ nếu $90{}^circ <alpha le 180{}^circ $. Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng $0{}^circ $. Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo $0le alpha le 90{}^circ $.

3. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian chúng ta cần nhớ các công thức sau:

■ Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: $cos widehat{BAC}=frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$

Tương tự ta có: $cos widehat{ABC}=frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2.BA.BC}$ và $cos widehat{ACB}=frac{C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.CA.CB}$

Chú ý: $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=AB.ACcos widehat{BAC}=frac{1}{2}left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}} right)$

■ Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{CD}$ dựa vào công thức $cos left( overrightarrow{AB};overrightarrow{CD} right)=frac{overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}}{left| overrightarrow{AB} right|.left| overrightarrow{CD} right|}Rightarrow cos left( AB;CD right)=frac{left| overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD} right|}{left| overrightarrow{AB} right|.left| overrightarrow{CD} right|}$ từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài tập tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, $SAbot left( ABC right)$ và $SA=asqrt{3}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.

Lời giải chi tiết

1583504423 chu e 5 bai toan ve goc.002

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra $AM=CE=frac{a}{2}$.

Khi đó $AE//CMRightarrow left( widehat{AE;CM} right)=left( widehat{AN;AE} right)=varphi .$

Mặt khác $SC=sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2aRightarrow $ độ dài đường trung tuyến AN là $AN=frac{SC}{2}=a.AE=CM=frac{asqrt{3}}{2}.$

Do $Delta ABC$ đều nên $CMbot AMRightarrow $ AMCE là hình chữ nhật.

Khi đó $CEbot AE$ mà $CEbot SARightarrow CEbot left( SAE right)Rightarrow CEbot SE.$

$Delta SEC$ vuông tại E có đường trung tuyến $EN=frac{1}{2}SC=a.$

Ta có: $cos widehat{NAE}=frac{A{{N}^{2}}+A{{E}^{2}}-N{{E}^{2}}}{2.AN.AE}=frac{sqrt{3}}{4}>0Rightarrow cos varphi =frac{sqrt{3}}{4}.$

Cách 2: Ta có: $overrightarrow{AN}=frac{1}{2}left( overrightarrow{AS}+overrightarrow{AC} right);overrightarrow{CM}=overrightarrow{AM}-overrightarrow{AC}=frac{1}{2}overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC}.$

Khi đó $overrightarrow{AN}.overrightarrow{CM}=frac{1}{2}left( overrightarrow{AS}+overrightarrow{AC} right)left( frac{1}{2}overrightarrow{AB}-overrightarrow{AC} right)=frac{1}{4}overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}-frac{1}{2}A{{C}^{2}}=frac{1}{4}{{a}^{2}}cos 60{}^circ -frac{{{a}^{2}}}{2}=frac{-3{{a}^{2}}}{8}.$

Lại có: $AN=frac{SC}{2}=a;CM=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow cos varphi =frac{left| frac{-3{{a}^{2}}}{8} right|}{a.frac{asqrt{3}}{2}}=frac{sqrt{3}}{4}.$

Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=AB=a;AC=asqrt{2}$ và $BC=asqrt{3}$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.

Lời giải chi tiết

1583504423 chu e 5 bai toan ve goc.003

Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó $left{ begin{array} {} MP//SC \ {} N//AB \ end{array} right.Rightarrow left( widehat{SC;AB} right)=left( widehat{MP;MN} right).$

Ta có: $MN=frac{AB}{2}=frac{a}{2};MP=frac{SC}{2}=frac{a}{2}.$

Mặt khác $Delta SAC$ vuông tại S $Rightarrow SP=frac{AC}{2}=frac{asqrt{2}}{2}.$

$B{{P}^{2}}=frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-frac{A{{C}^{2}}}{4}=frac{3}{2}{{a}^{2}}Rightarrow BP=frac{asqrt{6}}{2}.$

Suy ra $P{{N}^{2}}=frac{P{{S}^{2}}+P{{B}^{2}}}{2}-frac{S{{B}^{2}}}{4}=frac{3{{a}^{2}}}{4}Rightarrow NP=frac{asqrt{3}}{2}.$

Khi đó $cos widehat{NMP}=frac{M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}-N{{P}^{2}}}{2.MN.MP}=-frac{1}{2}Rightarrow widehat{NMP}=120{}^circ Rightarrow varphi =left( widehat{SC;AB} right)=60{}^circ .$

Cách 2: Ta có: $overrightarrow{AB}=overrightarrow{SB}-overrightarrow{SA}Rightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{SC}=left( overrightarrow{SB}-overrightarrow{SA} right).overrightarrow{SC}=overrightarrow{SB}.overrightarrow{SC}-overrightarrow{SA}.overrightarrow{SC}$

$=frac{1}{2}left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}} right)-frac{1}{2}left( S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} right)=-frac{{{a}^{2}}}{2}.$

Suy ra $cos left( SC;AB right)=frac{left| frac{-{{a}^{2}}}{2} right|}{a.a}=frac{1}{2}Rightarrow left( SC;AB right)=60{}^circ .$

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có $AB={{x}_{1}},CD={{x}_{2}};AC={{y}_{1}},BD={{y}_{2}},BC={{z}_{1}},AD={{z}_{2}}$. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AD.

Lời giải chi tiết

Ta có: $overrightarrow{BC}.overrightarrow{DA}text{ }=text{ }overrightarrow{BC}left( overrightarrow{DC}+overrightarrow{CD} right)=overrightarrow{CB}.overrightarrow{CD}-overrightarrow{CB}.overrightarrow{CD}$

$=frac{1}{2}left( C{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-B{{D}^{2}} right)-frac{1}{2}left( C{{B}^{2}}+C{{A}^{2}}-A{{B}^{2}} right)=frac{1}{2}left( A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}-C{{A}^{2}} right).$

Khi đó $cos left( BC;DA right)=frac{left| overrightarrow{BC}.overrightarrow{DA} right|}{BC.DA}=frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2{{z}_{1}}{{z}_{2}}}.$

Đặc biệt: Nếu $AB=CD=x;AC=BD=y$ và $BC=AD=z$ ta đặt $left{ begin{array} {} alpha =left( widehat{BC;AD} right) \ {} beta =left( widehat{AB;CD} right) \ {} gamma =left( widehat{AC;BD} right) \ end{array} right.$ thì ta có:

$cos alpha =frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}};cos beta =frac{left| {{y}^{2}}-{{z}^{2}} right|}{{{x}^{2}}};cos gamma =frac{{{z}^{2}}-{{z}^{2}}}{{{y}^{2}}}.$

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a, $SAbot left( ABCD right)$ và $SB=asqrt{5}$. Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SM và DN .

Lời giải chi tiết

1583504423 chu e 5 bai toan ve goc.004

■ Cách 1: Do $SAbot left( ABCD right).$

Ta có: $SA=sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$. Gọi E là trung điểm của AD và I là trung điểm của AE. Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình trong tam giác ABE. Khi đó $DN//BE//MI.$

Tacó: $AM=a;AI=frac{AE}{2}=frac{a}{2}.$

Mặt khác: $S{{M}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}=2{{a}^{2}};S{{I}^{2}}=frac{5{{a}^{2}}}{4}.$

$MI=A{{I}^{2}}+A{{M}^{2}}=frac{5{{a}^{2}}}{4}$. Do vậy $cos widehat{SMI}=frac{S{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}-S{{I}^{2}}}{2.SM.MI}=frac{sqrt{10}}{5}=cos(widehat{SM;DN}).$

Cách 2: Ta có: $overrightarrow{SM}.overrightarrow{DN}text{ }=text{ }overrightarrow{SM}.left( overrightarrow{SN}-overrightarrow{SD} right)=overrightarrow{SM}.overrightarrow{SN}text{ }-text{ }overrightarrow{SM}.overrightarrow{SD}$

$text{=}frac{1}{2}left( S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}-M{{N}^{2}} right)-frac{1}{2}left( S{{M}^{2}}+S{{D}^{2}}-M{{D}^{2}} right)$

Mặt khác: $S{{N}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}=6{{a}^{2}},MN=frac{AC}{2}=text{ }asqrt{2},S{{D}^{2}}=5{{a}^{2}},M{{D}^{2}}=5{{a}^{2}}.$

Do đó $overrightarrow{SM}.overrightarrow{DN}=2{{a}^{2}}Rightarrow cos left( SM;DN right)=frac{left| 2{{a}^{2}} right|}{SM.DN}=frac{2{{a}^{2}}}{asqrt{2}.asqrt{5}}=frac{sqrt{10}}{5}.$

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a;AD=asqrt{2},text{ }SAbot left( ABCD right)$ và $text{SA=2a}text{.}$

a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD.

b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AI.

Lời giải chi tiết

1583504423 chu e 5 bai toan ve goc.005

a) Do $BC//ADRightarrow (widehat{SD;BC})=(widehat{SD;AD})=widehat{SDA}$

$Delta SAD$ vuông tại A $Rightarrow cos widehat{SDA}=frac{AD}{SD}=frac{AD}{sqrt{A{{D}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{3}}.$

b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AB và SA thì MK là đường trung bình trong tam giác SAB.