Logarit tự nhiên – Wikipedia tiếng Việt

300px Log.svg Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên .

Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) là logarit cơ số e do nhà toán học John Napier thông minh ra. Ký hiệu là: ln(x), loge(x).

Logarit tự nhiên của một số x là bậc của số e để số e lũy thừa lên bằng x. Tức là ln(x)=a ⇔ ea=x. Ví dụ, ln(7.389) bằng 2 vì e2=7.389… Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 và logarit tự nhiên của 1 bằng 0

Logarit tự nhiên được xác định với mọi số thực a (trừ số 0) là vùng dưới đồ thị

y
=

1
x

{displaystyle y={1 over x}}

{displaystyle y={1 over x}} từ 1 tới a. Sự đơn thuần của khái niệm được sánh với những công thức khác kéo theo logarit tự nhiên, dẫn tới thuật ngữ "tự nhiên". Khái niệm với thể được mở rộng tới số phức, được giảng giải dưới đây.

Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số với nghĩa của biến thực, là hàm số của hàm mũ. Điều này dẫn tới sự y chang :

e ln ⁡ ( x ) = x lúc x > 0 { displaystyle e ^ { ln ( x ) } = x qquad { mbox { lúc } } x > 0 , ! }{displaystyle e^{ln(x)}=xqquad {mbox{khi }}x>0,!}
ln ⁡ ( e x ) = x { displaystyle ln ( e ^ { x } ) = x , ! }{displaystyle ln(e^{x})=x,!}

Như toàn bộ những logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành cùng :

ln ⁡ ( x y ) = ln ⁡ ( x ) + ln ⁡ ( y ) { displaystyle ln ( xy ) = ln ( x ) + ln ( y ) ! , }{displaystyle ln(xy)=ln(x)+ln(y)!,}

Do đó, hàm số logarit là một hàm số đơn điệu đi từ tập số thực dương dưới phép nhân vào tập số thực dưới phép cùng. Được miêu tả :

ln : R + → R { displaystyle ln : mathbb { R } ^ { + } to mathbb { R } }{displaystyle ln :mathbb {R} ^{+}to mathbb {R} }

Logarit được khái niệm cho cơ số dương khác 1, ko riêng gì là số e. Tuy nhiên, logarit của những cơ số khác chỉ khác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên và thường được khái niệm bằng thuật ngữ sau cuối. Logarit được sử dụng để giải những phương trình với số mũ là biến số. Ví dụ, Logarit được sử dụng để tính chu kì bán rã, hằng số phân rã, hoặc thời hạn chưa biết trong những yếu tố phân rã chứa mũ. Logarit rất quan yếu trong nhiều nghành nghề nhà sản xuất của toán học và khoa học và được sử dụng trong kinh tế tài chính để xử lý những yếu tố tương quan tới lãi suất vay kép .

Người trước hết nhắc tới logarit tự nhiên là Nicholas Mercator trong tác phẩm Logarithmotechnia được công bố vào năm 1668, mặc dù thầy giáo toán John Speidell đã soạn một bản về logarit tự nhiên. Ban sơ nó được gọi là logarit hyperbol, vì nó tương ứng với diện tích của một hyperbol. Nó cũng thỉnh thoảng được gọi là logarit Nêpe, mặc dù ý nghĩa ban sơ của thuật ngữ này là khá khác nhau.

Nguồn gốc của thuật ngữ logarit tự nhiên

[sửa|sửa mã nguồn]

Ban sơ, logarit tự nhiên được coi là logarit cơ số 10, cơ số này " tự nhiên " hơn cơ số e. Nhưng theo toán học thì số 10 ko với ý nghĩa đặc trưng quan yếu. Ứng dụng của nó về văn hóa truyền thống – làm hạ tầng cho nhiều mạng lưới hệ thống đánh số xã hội, với năng lực phát sinh từ đặc trưng những ngón tay của con người. Những nền văn hóa truyền thống khác đã dựa trên mạng lưới hệ thống số đếm của họ cho sự lựa chọn ví dụ tiêu biểu như 5, 8, 12, 20, và 60 .Loge là logarit tự nhiên chính bới nó được bắt nguồn và Open tiếp tục trong toán học. Ví dụ hãy xem xét những yếu tố phân biệt một hàm lôgarit :

d d x log b ⁡ ( x ) = d d x ( 1 ln ⁡ ( b ) ln ⁡ x ) = 1 ln ⁡ ( b ) d d x ln ⁡ x = 1 x ln ⁡ ( b ) { displaystyle { frac { d } { dx } } log _ { b } ( x ) = { frac { d } { dx } } left ( { frac { 1 } { ln ( b ) } } ln { x } right ) = { frac { 1 } { ln ( b ) } } { frac { d } { dx } } ln { x } = { frac { 1 } { x ln ( b ) } } }{displaystyle {frac {d}{dx}}log _{b}(x)={frac {d}{dx}}left({frac {1}{ln(b)}}ln {x}right)={frac {1}{ln(b)}}{frac {d}{dx}}ln {x}={frac {1}{xln(b)}}}

Nếu cơ số b bằng e, thì đạo hàm chỉ đơn thuần là

1
x

{displaystyle {1 over x}}

{displaystyle {1 over x}}, và tại x=1 thì đạo hàm bằng 1. Mặt khác logarit cơ số e là logarit tự nhiên nhất vì với thể khái niệm nó tiện lợi trong thuật ngữ của tích phân đơn thuần hay dãy Taylor và điều này lại ko đúng đối với logarit khác.

Những chiều hướng sau của sự tự nhiên ko với ứng dụng trong tính toán. Như ví dụ sau, với một số dãy số đơn thuần liên quan tới logarit tự nhiên. Pietro Mengoli và Nicholas Mercator gọi nó là logarithmus naturalis trong vài thập kỷ trước lúc Isaac Newton và Gottfried Leibniz phát triển phép tính.

Những khái niệm[sửa|sửa mã nguồn]

220px Log pole ln(x) được định tức thị diện tích dưới đường cong f ( x ) = 1 x { displaystyle f ( x ) = { 1 over x } }{displaystyle f(x)={1 over x}}từ 1 tới x.

ln(x) được khái niệm chính là diện tích dưới đường cong f (x) =

1
x

{displaystyle {1 over x}}

từ 1 tới x, sắp giống như tích phân.

ln ⁡ ( a ) = ∫ 1 a 1 x d x. { displaystyle ln ( a ) = int _ { 1 } ^ { a } { frac { 1 } { x } } , dx. }{displaystyle ln(a)=int _{1}^{a}{frac {1}{x}},dx.}

Điều này khái niệm một logarit vì nó phân phối những đặc tính cơ bản của một logarit :

ln ⁡ ( a b ) = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) { displaystyle ln ( ab ) = ln ( a ) + ln ( b ) , ! }{displaystyle ln(ab)=ln(a)+ln(b),!}

Điều này với thể được chứng minh bằng cách cho phép:

t
=

x
a

{displaystyle t={tfrac {x}{a}}}

{displaystyle t={tfrac {x}{a}}} như sau:

ln ⁡ ( a b ) = ∫ 1 a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ a a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 t d t = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) { displaystyle ln ( ab ) = int _ { 1 } ^ { ab } { frac { 1 } { x } } ; dx = int _ { 1 } ^ { a } { frac { 1 } { x } } ; dx ; + int _ { a } ^ { ab } { frac { 1 } { x } } ; dx = int _ { 1 } ^ { a } { frac { 1 } { x } } ; dx ; + int _ { 1 } ^ { b } { frac { 1 } { t } } ; dt = ln ( a ) + ln ( b ) }{displaystyle ln(ab)=int _{1}^{ab}{frac {1}{x}};dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};dx;+int _{a}^{ab}{frac {1}{x}};dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};dx;+int _{1}^{b}{frac {1}{t}};dt=ln(a)+ln(b)}

Số e sau đó được định tức thị số thực duy nhất để ln ( a ) = 1 .

Ngoài ra, nếu hàm số mũ được khái niệm bằng cách sử dụng chuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên được định tức thị hàm ngược của nó, tức ln là hàm số sao cho

e

ln

(
x
)

=
x

{displaystyle e^{ln(x)}=x!}

{displaystyle e^{ln(x)}=x!}. Vì phạm vi của hàm mũ trên những đối số thực là tất cả những số thực dương và vì hàm số mũ là hàm luôn tăng, nên hàm log được xác định cho tất cả số dương x.

  • ln ⁡ ( 1 ) = 0 { displaystyle ln ( 1 ) = 0 , }{displaystyle ln(1)=0,}
  • ln ⁡ ( − 1 ) = i π { displaystyle ln ( – 1 ) = i pi quad , }{displaystyle ln(-1)=ipi quad ,}
  • ln

    (
    x
    )
    < ln ⁡ ( y ) , 0 < x < y {displaystyle ln(x)7a3f0767a245db5466d9ac5aabb229fd14c418c5

  • h 1 + h ≤ ln ⁡ ( 1 + h ) ≤ h, h > − 1 { displaystyle { frac { h } { 1 + h } } leq ln ( 1 + h ) leq h quad { rm {, } } quad h > – 1 ; }{displaystyle {frac {h}{1+h}}leq ln(1+h)leq hquad {rm {,}}quad h>-1;}
  • lim x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) x = 1 { displaystyle lim _ { x to 0 } { frac { ln ( 1 + x ) } { x } } = 1 , }{displaystyle lim _{xto 0}{frac {ln(1+x)}{x}}=1,}

Logarit tự nhiên trong giải tích[sửa|sửa mã nguồn]

Logarit tự nhiên thừa nhận hàm số của giải tích đơn thuần theo dạng : g ( x ) = f ' ( x ) / f ( x ) : một nguyên hàm của g ( x ) được cho bởi ln ( | f ( x ) | ). Đó là một trường hợp chính bới những quy tắc của chuỗi và thực tiễn sau đây :

d d x ( ln ⁡ | x | ) = 1 x { displaystyle { d over dx } left ( ln left | x right | right ) = { 1 over x } }{displaystyle  {d over dx}left(ln left|xright|right)={1 over x}}

cách khác

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C { displaystyle int { 1 over x } dx = ln | x | + C }{displaystyle int {1 over x}dx=ln |x|+C}

∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln ⁡ | f ( x ) | + C. { displaystyle int { { frac { f ' ( x ) } { f ( x ) } } , dx } = ln | f ( x ) | + C. }{displaystyle int {{frac {f'(x)}{f(x)}},dx}=ln |f(x)|+C.}

Đây là một ví dụ trong trường hợp của g(x) = tan(x):

∫ tan ⁡ ( x ) d x = ∫ sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x { displaystyle int tan ( x ) , dx = int { sin ( x ) over cos ( x ) } , dx }{displaystyle int tan(x),dx=int {sin(x) over cos(x)},dx}
∫ tan ⁡ ( x ) d x = ∫ − d d x cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x. { displaystyle int tan ( x ) , dx = int { – { d over dx } cos ( x ) over { cos ( x ) } } , dx. }{displaystyle int tan(x),dx=int {-{d over dx}cos(x) over {cos(x)}},dx.}

Đặt f(x) = cos(x) và f'(x)= – sin(x):

∫ tan ⁡ ( x ) d x = − ln ⁡ | cos ⁡ ( x ) | + C { displaystyle int tan ( x ) , dx = – ln cos ( x ) right + C }{displaystyle int tan(x),dx=-ln +C}
∫ tan ⁡ ( x ) d x = ln ⁡ | sin ⁡ ( x ) | + C { displaystyle int tan ( x ) , dx = ln sin ( x ) right + C }{displaystyle int tan(x),dx=ln sin(x)right+C}

với C là một hằng số tùy ý của tích phân.

Logarit tự nhiên hoàn toàn với thể được tích hợp bằng cách sử dụng tích phân của những phòng ban :

∫ ln ⁡ ( x ) d x = x ln ⁡ ( x ) − x + C. { displaystyle int ln ( x ) , dx = x ln ( x ) – x + C. }{displaystyle int ln(x),dx=xln(x)-x+C.}

Trị giá số[sửa|sửa mã nguồn]

Để tính trị giá số logarit tự nhiên của một số ít, dãy số Taylor lan rộng ra hoàn toàn với thể được viết lại như sau :

ln ⁡ ( 1 + x ) = x ( 1 1 − x ( 1 2 − x ( 1 3 − x ( 1 4 − x ( 1 5 − ⋯ ) ) ) ) ) f o r | x | < 1. { displaystyle ln ( 1 + x ) = x , left ( { frac { 1 } { 1 } } - x , left ( { frac { 1 } { 2 } } - x , left ( { frac { 1 } { 3 } } - x , left ( { frac { 1 } { 4 } } - x , left ( { frac { 1 } { 5 } } - cdots right ) right ) right ) right ) right ) quad { rm { for } } quad left | x right | < 1. , ! }726f7ff2a428795b9d0bf277d319621c4f9a54be

Để đạt được véc tơ vận tốc tức thời tốt hơn của độ quy tụ, tính y chang sau đây hoàn toàn với thể được sử dụng :

ln ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 1 + y 1 − y ) { displaystyle ln ( x ) = ln left ( { frac { 1 + y } { 1 – y } } right ) }{displaystyle ln(x)=ln left({frac {1+y}{1-y}}right)} = 2 y ( 1 1 + 1 3 y 2 + 1 5 y 4 + 1 7 y 6 + 1 9 y 8 + ⋯ ) { displaystyle = 2 , y , left ( { frac { 1 } { 1 } } + { frac { 1 } { 3 } } y ^ { 2 } + { frac { 1 } { 5 } } y ^ { 4 } + { frac { 1 } { 7 } } y ^ { 6 } + { frac { 1 } { 9 } } y ^ { 8 } + cdots right ) }{displaystyle =2,y,left({frac {1}{1}}+{frac {1}{3}}y^{2}+{frac {1}{5}}y^{4}+{frac {1}{7}}y^{6}+{frac {1}{9}}y^{8}+cdots right)}
= 2 y ( 1 1 + y 2 ( 1 3 + y 2 ( 1 5 + y 2 ( 1 7 + y 2 ( 1 9 + ⋯ ) ) ) ) ) { displaystyle = 2 , y , left ( { frac { 1 } { 1 } } + y ^ { 2 } , left ( { frac { 1 } { 3 } } + y ^ { 2 } , left ( { frac { 1 } { 5 } } + y ^ { 2 } , left ( { frac { 1 } { 7 } } + y ^ { 2 } , left ( { frac { 1 } { 9 } } + cdots right ) right ) right ) right ) right ) }{displaystyle =2,y,left({frac {1}{1}}+y^{2},left({frac {1}{3}}+y^{2},left({frac {1}{5}}+y^{2},left({frac {1}{7}}+y^{2},left({frac {1}{9}}+cdots right)right)right)right)right)}

với

y
=

x

1

x
+
1

{displaystyle y={x-1 over x+1}}

{displaystyle y={x-1 over x+1}} và x>0

Cho ln ( x ) vào x > 1, trị giá của x càng sắp 1, véc tơ vận tốc tức thời của sự quy tụ càng nhanh. Những sự y chang phối hợp với logarit tự nhiên hoàn toàn với thể được đẩy lên để khai thác điều này :

ln ⁡ ( 123.456 ) { displaystyle ln ( 123.456 ) ! }{displaystyle ln(123.456)!} = ln ⁡ ( 1.23456 × 10 2 ) { displaystyle = ln ( 1.23456 times 10 ^ { 2 } ) , ! }{displaystyle =ln(1.23456times 10^{2}),!}
= ln ⁡ ( 1.23456 ) + ln ⁡ ( 10 2 ) { displaystyle = ln ( 1.23456 ) + ln ( 10 ^ { 2 } ) , ! }{displaystyle =ln(1.23456)+ln(10^{2}),!}
= ln ⁡ ( 1.23456 ) + 2 × ln ⁡ ( 10 ) { displaystyle = ln ( 1.23456 ) + 2 times ln ( 10 ) , ! }{displaystyle =ln(1.23456)+2times ln(10),!}
≈ ln ⁡ ( 1.23456 ) + 2 × 2.3025851 { displaystyle approx ln ( 1.23456 ) + 2 times 2.3025851 , ! }{displaystyle approx ln(1.23456)+2times 2.3025851,!}

Kỹ thuật này đã được sử dụng trước máy tính, bằng cách tìm hiểu thêm bảng số và triển khai những thao tác như trên .

Độ đúng chuẩn cao[sửa|sửa mã nguồn]

Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số đúng mực, hướng tiếp cận của dãy số Taylor ko với hiệu suất cao vì sự quy tụ rất chậm. Vì vậy, những nhà toán học đã thay thế sửa chữa hướng này và sử dụng chiêu thức Newton để đảo ngược hàm mũ để với sự quy tụ của dãy nhanh hơn .Cách tính khác cho hiệu quả với độ đúng chuẩn khá cao là công thức :

ln ⁡ x ≈ π 2 M ( 1, 4 / s ) − m ln ⁡ 2 { displaystyle ln x approx { frac { pi } { 2M ( 1,4 / s ) } } – m ln 2 }{displaystyle ln xapprox {frac {pi }{2M(1,4/s)}}-mln 2}

với M là dãy truy hồi giữa trung bình cùng và trung bình nhân của 1 và 4/s và:

s = x 2 m > 2 p / 2, { displaystyle s = x , 2 ^ { m } > 2 ^ { p / 2 }, }{displaystyle s=x,2^{m}>2^{p/2},}

với m được chọn sao cho p đạt tới sự đúng mực. ( Đối với hầu hết những hiệu quả, trị giá 8 của m là đúng. ) Trong thực tiễn, nếu giải pháp này được sử dụng, phép nghịch đảo Newton so với logarit tự nhiên hoàn toàn với thể được đo lường và thống kê hàm mũ với hiệu suất cao. ( Hằng số ln2 và pi hoàn toàn với thể được đo lường và thống kê trước với độ đúng mực mong ước để sử dụng nhiều dãy số cho trước một cách nhanh gọn. )

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Source: https://bloghong.com
Category: Là Gì