Nguyên hàm từng phần: Phương pháp giải & bài tập (Có tài liệu)

Tìm hiểu phương pháp tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo, giúp hỗ trợ làm trắc nghiệm nhanh chóng và chính xác.

Bài học liên quan

Lý thuyết nguyên hàm từng phần

Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được sử dụng để tính tích phân bất định của các hàm số phức tạp và cần phải biến đổi. Điển hình như các hàm số vô tỉ, hàm lượng giác, hàm logarit hay hàm số mũ. Sao cho tích phân được tạo bởi công thức tích phân từng phần dễ tính toán hơn so với bản gốc. [1]Theo Hazewinkel, Tích phân từng phần – Wikipedia Tiếng Việt, cập nhật ngày 24/10/2021

Nguyên hàm từng phầnNguyên hàm từng phần

Nhắc lại kiến thức

+) Công thức: ∫udv = vu – ∫vdu

+) Áp dụng với các dạng nguyên hàm: ∫p(x).eax+bdx; ∫p(x).sin(ax + b)dx

+) Cách đặt :

– Ưu tiên đặt “u” theo: logarit (ln) _ đa thức (p(x)) _ lượng giác (sin x, cos x) _ mũ (ex). Nhất “log”, nhì “đa”, tam “lượng”, tứ “mũ”

– Phần còn lại là “dv”. [2]Theo Hazewinkel, Tích phân từng phần – Wikipedia Tiếng Việt, cập nhật ngày 24/10/2021,Theo Hazewinkel, Tích phân từng phần – Wikipedia Tiếng Việt, cập nhật ngày 24/10/2021

Phương pháp đường chéo

Chia thành 2 cột

  • Cột 1 (cột trái: cột u) luôn lấy đạo hàm tới 0
  • Cột 2 (cột phải: cột dv) luôn lấy nguyên hàm cho tới khi tương ứng với cột 1

Nhân chéo kết quả của hai cột với nhau.

Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu (–), (+), (–)…

Phân dạng và ví dụ minh hoạ

Dạng 1: ∫f(x).eax+bdx

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm I = ∫(2×2 – 3).ex.dx

⇒ I = ex(2×2 – 3) – 4x.ex + 4ex + C = ex(2×2 – 4x + 1) + C

Nguyên hàm từng phần dạng∫f(x).eax+bdxNguyên hàm từng phần dạng∫f(x).eax+bdx

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm nguyen ham tung phan 1

Ta biến đổi đưa I về dạng thuần tuý:

nguyen ham tung phan 2

nguyen ham tung phan 2nguyen ham tung phan 2

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm I = ∫x3.e2x+1.dx

Ta biến đổi

nguyen ham tung phan 3

nguyen ham tung phan 3nguyen ham tung phan 3

Dạng 2: ∫f(x).sin(ax + b).dx; ∫f(x).cos(ax + b).dx

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm I = ∫(2x + 1).cosx.dx

⇒ I = (2x + 1)sinx – 2(–cosx) + C = (2x + 1)sinx + cosx + C

Nguyên hàm từng phần dạng ∫f(x).sin(ax + b).dx; ∫f(x).cos(ax + b).dxNguyên hàm từng phần dạng ∫f(x).sin(ax + b).dx; ∫f(x).cos(ax + b).dx

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm I = ∫(x2 – 2x).sinx.dx

⇒ I = (–cosx)(x2 – 2x) – (2x – 2)(–sinx) + 2cosx + C

= cosx(–x2 + 2x + 2) + (2x + 2)sinx + C

nguyen ham tung phan 5nguyen ham tung phan 5

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm ∫I = (x7 – 2x).cos(x2).dx

Ta biến đổi

nguyen ham tung phan 4

nguyen ham tung phan 6nguyen ham tung phan 6

Dạng 3: ∫f(x).lnn(ax + b)dx

Chú ý : Dạng ∫f(x).lnn(ax + b)dx thì ưu tiên đặt u = lnn(ax + b) vì vậy khi đạo hàm “u” sẽ không bằng 0 được, do vậy cần phải điều chỉnh hệ số rút gọn (nhân ngang → đơn giản tử mẫu) rồi sau đó mới làm tiếp

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm I = ∫x.lnx.dx

Nguyên hàm từng phần dạng ∫f(x).lnn(ax + b)dxNguyên hàm từng phần dạng ∫f(x).lnn(ax + b)dx

(Cách hiểu: do nguyen ham tung phan 5 từ cột đạo hàm đã “nhảy” sang cột nguyên hàm để triệt tiêu với x nên nguyen ham tung phan 6 phải “nhảy” ngược lại sang cột đạo hàm để bù)

nguyen ham tung phan 7

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm I = ∫x.ln2x.dx

nguyen ham tung phan 8

nguyen ham tung phan 8nguyen ham tung phan 8

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm I = ∫(x5 – 3)lnx.dx

nguyen ham tung phan 9

nguyen ham tung phan 9nguyen ham tung phan 9

Ví dụ 4: Tính nguyên hàm I = ∫(2x + 1).ln5(3x).dx

nguyen ham tung phan 10

nguyen ham tung phan 10

Ví dụ 5: Tính nguyên hàm I = ∫ln5(5x).dx

Ta biến đổi

nguyen ham tung phan 11

nguyen ham tung phan 11nguyen ham tung phan 11

Dạng 4: Nguyên hàm lặp (tích phân lặp)

Lý thuyết & phương pháp

Nếu khi ta tính nguyên hàm (tích phân) theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm ban đầu cần tính (theo hàng ngang) thì dừng lại luôn ở hàng đó, không tính tiếp nữa.

+) Dấu hiệu khi dừng lại : nhận thấy trên cùng 1 hàng ngang tích của 2 phần tử ở 2 cột (không kể dấu và hệ số) giống nguyên hàm ban đầu cần tính.

+) Ghi kết quả (nhân theo đường chéo) như các ví dụ trên.

+) Nối 2 phần tử (ở dòng dừng lại), có thêm dấu ∫ trước kết quả và coi gạch nối là 1 đường chéo, sử dụng quy tắc đan dấu.

Bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm I = ∫sinx.ex.dx

nguyen ham tung phan 12

nguyen ham tung phan 12nguyen ham tung phan 12

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm nguyen ham tung phan 13

Ta biến đổi

nguyen ham tung phan 14

nguyen ham tung phan 13nguyen ham tung phan 13

Bài tập tổng hợp tự rèn luyện

Câu 1. Nguyên hàm nguyen ham tung phan 15. Giá trị của F(e) bằng:

A. nguyen ham tung phan 16

B. nguyen ham tung phan 17

C. nguyen ham tung phan 18

D. nguyen ham tung phan 19

Câu 2. Nguyên hàm I = ∫x.sinx.cos2x.dx = F(x) + C. Giá trị của F(π) bằng:

A. nguyen ham tung phan 20

B. nguyen ham tung phan 21

C. π

D. –π

Câu 3. Nguyên hàm I = ∫ex.cos(2x).dx = F(x) + C. Giá trị của F(0) bằng:

A. nguyen ham tung phan 22

B. nguyen ham tung phan 23

C. nguyen ham tung phan 24

D. nguyen ham tung phan 25

Câu 4. Nguyên hàm nguyen ham tung phan 26 thì tổng S = ab + c bằng:

A. S = 14

B. S = 15

C. S = 3

D. S = 10

Câu 5. Nguyên hàm ∫x2.exdx = (x2 + mx + n).ex + C thì giá trị của mn là :

A. 6

B. 4

C. 0

D. –4

Câu 6. Biết nguyen ham tung phan 27, với a, b, c ϵ N* và phân số nguyen ham tung phan 28 tối giản. Tìm khẳng định đúng:

A. a + b = 2c

B. b + b = 3c

C. a + b = c

D. a + b = 4c

Câu 7. Biết nguyen ham tung phan 29, với a, b, c ϵ N* và phân số nguyen ham tung phan 30 tối giản. Tính tổng S = ab + c bằng:

A. 806

B. 559

C. 1445

D. 1994

Câu 8. Biết nguyen ham tung phan 31, chọn khẳng định đúng:

A. a, b, c là số nguyên tố

B. a, c là số nguyên tố

C. b, c là số nguyên tố

D. a, b là số nguyên tố

Câu 9. Hàm số f(x) = (ax2 + bx + c).e–x là một nguyên hàm của g(x) = x(1 – x)e–x. Tính tổng a + b + c:

A. 4

B. –2

C. 3

D. 1

Câu 10. Nguyên hàm I = –∫(x2 – 3x + 2)(4cos3x – 3cosx).d(cosx) = F(x) + C. Giá trị của F(0) bằng:

A. nguyen ham tung phan 32

B. nguyen ham tung phan 33

C. nguyen ham tung phan 34

D. Đáp án khác

Đáp án

nguyen ham tung phan 14nguyen ham tung phan 14

Tài liệu về nguyên hàm từng phần

Thông tin tài liệuTác giảThầy Ngô Quang ChiếnSố trang7Lời giải chi tiếtcó

 Mục lục tài liệu

  • Nhắc lại kiến thức nguyên hàm từng phần
  • Dạng 1: Nguyên hàm hàm hàm e mũ
  • Dạng 2: Nguyên hàm dạng sin cos
  • Dạng 3: Nguyên hàm dạng log – nê – pe
  • Dạng 4: Nguyên hàm hàm lặp

Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 1Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 1

Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 2Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 2

Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 3Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 3

Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 4Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 4

Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 5Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 5

Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 6Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 6

Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 7Tính nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ đường chéo 7

Câu hỏi thường gặp

Nguyên hàm từng phần là gì?

Nguyên hàm từng phần là gì?

Nguyên hàm từng phần là gì?

Nguyên hàm từng phần là gì?

Nguyên hàm từng phần là gì?

Nguyên hàm từng phần là gì?

Nguyên hàm từng phần là gì?

Nguyên hàm từng phần là gì?

Nguyên hàm từng phần là gì?