Nhận dạng tam giác. Một số hệ thức lượng giác trong tam giác – VnHocTap.com

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Nhận dạng tam giác. Một số hệ thức lượng giác trong tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

nhan dang tam giac mot so he thuc luong giac trong tam giac 1

nhan dang tam giac mot so he thuc luong giac trong tam giac 2

nhan dang tam giac mot so he thuc luong giac trong tam giac 3

nhan dang tam giac mot so he thuc luong giac trong tam giac 4

nhan dang tam giac mot so he thuc luong giac trong tam giac 5

nhan dang tam giac mot so he thuc luong giac trong tam giac 6

nhan dang tam giac mot so he thuc luong giac trong tam giac 7

nhan dang tam giac mot so he thuc luong giac trong tam giac 8

Nội dung bài viết Nhận dạng tam giác. Một số hệ thức lượng giác trong tam giác:
Nhận dạng tam giác. Một số hệ thức trong tam giác. Biến đổi, dẫn đến sin A = 1 hoặc cos A = 0 sẽ có A = 900. Nếu a2 + b2 = c2 thì C = 900. Nếu sin(A − B) = 0 hoặc cos(A − B) = 1 thì A = B, suy ra tam giác cân. Tam giác cân mà có một góc bằng 600 là tam giác đều. Một số lưu ý khi giả thiết cho A, B, C là ba góc của một tam giác A + B + C = 180◦ ⇒ (A + B) và C bù nhau, tương tự với (B + C) và A. Các góc A, B, C đều có số đo trong khoảng (0◦; 180◦). Các góc A đều là các góc nhọn nên có các giá trị lượng giác đều dương.
BÀI TẬP DẠNG 8. Ví dụ 1. Chứng minh rằng ∆ABC vuông khi sin A sin C = cos A cos C. Ta có sin A sin C = cos A cos C ⇔ cos A cos C − sin A sin C = 0 ⇔ cos(A + C) = 0 ⇔ − cos B = 0 ⇔ cos B = 0 ⇔ B = 90◦. Vậy tam giác ABC vuông tại B. Ví dụ 2. Chứng minh rằng ∆ABC cân khi 2 sin A sin B = 1 + cos C. (1). Ta có (1) tương đương với cos(A − B) − cos(A + B) = 1 + cos C ⇔cos(A − B) + cos C = 1 + cos C ⇔cos(A − B) = 1 ⇔ A − B = 0 ⇔ A = B. Vậy tam giác ABC cân tại C. Ví dụ 3. Cho ∆ABC với diện tích S và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng: sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2S. Lời giải. Đặt Q = sin 2A + sin 2B + sin 2C. Khi đó Q = 2 sin(A + B) cos(A − B) + 2 sin C cos C = 2 sin C cos(A − B) + 2 sin C cos C = 2 sin C [cos(A − B) + cos C] = 2 sin C [cos(A − B) − cos(A + B)] = 4 sin A sin B sin C = 4. Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng a sin(B − C) + b sin(C − A) + c sin(A − B) = 0. Lời giải. Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2R[sin A sin(B − C) + sin B sin(C − A) + sin C sin(A − B)] = 0. Mà ta có sin A sin(B − C) = sin(B + C) sin(B − C) = −(cos 2B − cos 2C) sin B sin(C − A) = sin(C + A) sin(C − A) = −(cos 2C − cos 2A) sin C sin(A − B) = sin(A + B) sin(A − B) = −(cos 2A − cos 2B). Cộng lại ta được: sin A sin(B − C) + sin B sin(C − A) + sin C sin(A − B) = 0. Từ đây ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 6. Cho A, B, C và a, b, c là các góc và các cạnh của ∆ABC. Chứng minh rằng: 2 sin(A − B) sin C = a2 − b2 c2. Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có sin A + sin B − sin C = 4 sin A 2 sin B 2 cos C. Ví dụ 8. Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có sin A + sin B − sin C cos A + cos B − cos C + 1.