Hình học không gian là phần rất quan trọng trong toán hình học mà các em học sinh cần nẵm vững. Tính thể tích hình chóp cũng là 1 dạng toán hình hoc không gian có nhiều dạng bài tập khác nhau. Mời các em cùng tìm hiểu về thể tích của hình chóp và các dạng toán thường gắp qua bài viết dưới đây.

ĐỊNH NGHĨA HÌNH CHÓP

Hình chóp là một hình không gian gồm có một đa giác gọi là mặt đáy, các tam giác chung đỉnh gọi là mặt bên, đỉnh chung của các mặt bên đó gọi là đỉnh của hình chóp (h.2.4)

CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH HÌNH CHÓP

Gọi Ad là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy), V là thể tích hình chóp. Ta có công thức tính thể tích hình chóp như sau

V=(Ad.h)/3

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ THỂ TÍCH HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP

Tìm thể tích hình chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy

Đối với dạng bài tập này để tìm được thể tích hình chóp ta làm như sau:

• Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy).
• Tính đường cao và diện tích đáy
• Áp dụng công thức để tính thể tích hình chóp

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a, tam giác ABC vuông tại B và Ba = BC = b. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải:

Ta có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC

SABC = 1/2.(BA. BC) = b2 /2

Ta có thể tích khối chóp S.ABC là:

V = 1/3.( SA.SABC = (a /3). (b2 /2) = a.b2 / 6

Ví dụ 2: cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a, tam giác ABC có A =  và AB = b, AC = c. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải:

Ta có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC

Thể tích khối chops S.ABC là:

Tìm thể tích hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với mặt đáy.

Đối với những dạng toán này ta làm như sau

• Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy).
• Tính đường cao và diện tích đáy
• Áp dụng công thức để tính thể tích hình chóp

Ví dụ minh họa

Ví dụ: cho hình chóp S.ABC Dcos hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy. SA = a, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A = 1200. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải:

Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là đường cao của hình chóp S.ABCD

Ta có SABCD = 2.SACD

Hình chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không chứa mặt bên) cùng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy

• Xác định đường cao. (đường nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt đáy).
• Tính đường cao và diện tích đáy.
• Áp dụng công thức để tính thể tích khối chóp.

Vị dụ minh họa

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Giải:

Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là đường cao của hình chóp S.ABCD

IC là hình chiếu vuông góc của SC xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCI = 600. Theo định lý pitago ta có:

Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy

• Xác định đường cao (đường hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa mặt bên đó với mặt đáy.
• Tính đường cao và diện tích đáy.
• Áp dụng công thức để tính thể tích khối chóp.

Ví dụ minh họa

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn là AB = 2a, AD = CD = a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau, tam giác SAB đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải:

Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH vuông góc với AB suy ra SH vuông góc với (ABCD)hay SH là đường cao của hình chóp.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên AB khi đó

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Tìm thể tích hình chóp có một cạnh bên vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt đáy

• Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt đáy).
• Tính đường cao và diện tích đáy.
• Áp dụng công thức để tính thể tích khối chóp.

Ví dụ minh họa

Cho hình chóp S.ABCD trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc, SA = AB = AC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải:

Ta có SA vuông góc với AB, SA cũng vuông góc với AC suy ra SA sẽ vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Nên SA là đường cao của hình chóp S.ABCD

SABC = (1 /2) AB.AC = a2 / 2

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

VSABCD = SA.SABC = (1 /3) .a.(1 /2). a2 = (1 /6) a3

Tìm thể tích hình chóp đa giác đều

• Xác định đường cao (đường hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy).
• Tính đường cao và diện tích đáy.
• Áp dụng công thức để tính thể tích khối chóp.

Ví dụ minh họa

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a , góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

Giải:

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có SO vuông góc với (ABC) nên SO là đường cao của hình chó. Xét tam giác SOA vuông tại O có góc giữa SA và mặt phẳng ( ABC) là góc SAO = 450. Suy ra AO = SA. Cos(SAO) = a

SO = SA.sin(SAO) = a

Gọi M là trung điểm của BC ta có

AM = (3/2).AO = 3a /2

AB = AM / sin 600 = a

Thể tích khối chóp S.ABCD là