Tiệm Cận Đứng Là Gì? Cách Tìm Tiệm Cận Đứng Của Đồ Thị Hàm Số

Tiệm cận đứng là dạng bài hay gặp trong các đề thi. Tuy đây là kiến thức không khó, nhưng các bạn học sinh không nên chủ quan. Bài viết dưới đây sẽ khái quát lại đầy đủ kiến thức cơ bản cùng các ví dụ có lời giải chi tiết. Hãy cùng Vuihoc ôn tập ngay bây giờ.

1. Tiệm cận đứng là gì?

Đường tiệm cận của một đồ thị hàm số y = f(x) được xác định bằng cách ta dựa vào tập xác định D để biết số giới hạn phải tìm.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng $x = x_{0}$ nếu có ít nhất một trong điều kiện sau thỏa mãn:

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}=\pm \infty,$

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}=\pm \infty$

định nghĩa tiệm cận đứng

2. Cách tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số được thực hiện theo các bước như sau:

  • Bước 1: Xác định tập xác định D của hàm số.

  • Bước 2: Xác định điểm hàm số không xác định nhưng có lân cận trái hoặc lân cận phải của điểm đó nằm bên trong tập xác định.

  • Bước 3: Tính giới hạn một bên của hàm số tại các điểm được xác định ở bước 2 và kết luận 

Ví dụ: Cho hàm số $y = \frac{x – 2}{x^{2} – 4}$. Tiệm cận đứng của hàm số là?

Giải:

$D = R \, \setminus  \left \{ \pm 2 \right \}$

Ta có $\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim} \frac{x – 2}{x^{2} – 4} =\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}$

x = 2 không là tiệm cận đứng 

$\underset{x\rightarrow -2^{-}}{lim} f(x)=\frac{x – 2}{x^{2} – 4}=- \infty$

$\underset{x\rightarrow -2^{-}}{lim} f(x)=\frac{x – 2}{x^{2} – 4}=+ \infty$

$\Rightarrow x= – 2$ là tiệm cận đứng

Kết luận: x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 

3. Công thức tính nhanh tiệm cận đứng của đồ thị hàm số phân tuyến tính

Tιệm cận đứng của đồ thị phân tuyến tính $y=\frac{(ax + b)}{(cx + d)}$

với (ad − bc ≠ 0, c ≠ 0) được tính nhanh bằng công thức. 

Hàm số phân tuyến tính có một tιệm cận đứng duy nhất là $x=\frac{-d}{c}$

Ví dụ: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x – 2}{x + 3}$. Tìm tiệm cận đứng theo công thức tính nhanh

Giải:

Hàm số $y = f(x) = \frac{x – 2}{x + 3}$ có một đường tιệm cận đứng là $x = \frac{-d}{c} = −3$.

4. Cách tìm tiệm cận đứng bằng máy tính 

Để xác định tiệm cận đứng của hàm số dạng $\frac{f(x)}{g(x)}$ bằng máy tính thì ta tìm nghiệm của hàm số g(x) sau đó loại những giá trị cùng là nghiệm hàm số f(x), cụ thể:

  • Bước 1: Sử dụng SOLVE để giải nghiệm của hàm số. Nếu mẫu số là hàm bậc 2 hoặc 3 thì ta có thể dùng Equation (EQN) để tìm ra nghiệm

  • Bước 2: CALC để thử nghiệm tìm được có là nghiệm của tử số hay không.

  • Bước 3: Những giá trị $x_{0}$ là nghiệm của mẫu số nhưng không phải là nghiệm tử số thì đường thẳng $x = x_{0}$ là tiệm cận đứng.

Ví dụ: $y=f(x)=\frac{2x – 1 – \sqrt{x^{2} + x + 3}}{x^{2} – 5x + 6}$. Tìm tiệm cận đứng của f(x) bằng máy tính

Giải:

Tính nghiệm phương trình $x^{2} – 5x + 6=0$

Trên máy tính Casio ta bấm lần lượt Mode → 5 → 3 để chế độ giải phương trình bậc 2

Lần lượt bấm các giá trị 1 → = → −5 → = → 6 → = → =

tìm tiệm cận đứng bằng máy tính 

$\Rightarrow$ 2 nghiệm x = 2 và x = 3

Sau đó nhập tử số vào máy tính casio

ví dụ tìm tiệm cận đứng bằng máy tính

CALC rồi ta thay từng giá trị x = 3 và x = 2

Với x = 2 thì tử số bằng 0 và x = 3 thì tử số khác 0

Kết luận: Vậy đồ thị hàm số có x = 3 là tiệm cận đứng.

5. Cách tìm tiệm cận đứng qua bảng biến thiên

Để xác định được tiệm cận dựa vào bảng biến thiên thì ta cần nắm chắc định nghĩa tiệm cận đứng để phân tích dựa trên một số đặc điểm:

Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên để tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Quan sát bảng biến thiên. Tiệm cận đứng là những điểm mà hàm số không xác định

Bước 3: Kết luận 

6. Một số bài tập tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

6.1. Dạng 1: Xác định đường tiệm cận đứng dựa vào định nghĩa

Ta có: Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x) sẽ là đường thẳng $x = x_{0}$ nếu thỏa mãn các điều kiện: 

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\pm \infty,$

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\pm \infty$

Ví dụ: Cho đồ thị hàm số sau, hãy tìm tiệm cận đứng của hàm số:

+) $y = \frac{2x – 3}{x – 1}$

D = R \ {1}

$\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{2x – 3}{x – 1}=-\infty$

$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{2x – 3}{x – 1}=+\infty$

Vậy x = 1 là tiệm cận đứng 

+) $y = \frac{x^{2} – 3x}{x^{2} – 9}$

$\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2} – 3x}{x^{2} – 9}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x(x – 3)}{(x – 3)(x + 3)}=\frac{1}{9}$

$\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\frac{x^{2} – 3x}{x^{2} – 9}=\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\frac{x(x – 3)}{(x – 3)(x + 3)}=\frac{1}{9}$

Kết luận: Vậy đồ thị hàm số y = f(x) không có tiệm cận đứng

6.2. Dạng 2: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số phân thức

$y=\frac{(ax + b)}{(cx + d)}$ với (ad − bc ≠ 0, c ≠ 0). 

$\Rightarrow$ Tiệm cận đứng $x=\frac{-d}{c}$

Ví dụ: Cho đồ thị hàm số, hãy tìm tiệm cận đứng của đồ thị đó

$y=f(x)=\frac{1 – 3x}{x + 2}$

$\underset{x\rightarrow (-2)^{+}}{lim} \frac{1-3x}{x+2}=+\infty$

$\underset{x\rightarrow (-2)^{-}}{lim} \frac{1-3x}{x+2}=-\infty$

Kết luận: x = -2 là tiệm cận đứng

6.3. Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận đứng

Ví dụ 1: Giá trị của tham số m là bao nhiêu để đồ thị hàm số $y = \frac{3x + 1}{m – 2x}$ nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng?

Giải: 

Nghiệm của tử số $x = \frac{-1}{3}$. 

Để đồ thị hàm số có tiệm cận thì $x = \frac{-1}{3}$ không là nghiệm của phương trình m − 2x = 0 hay $m – 2.(\frac{-1}{3}) \neq 0$

$\Rightarrow m \neq \frac{-2}{3}$ 

Đồ thị hàm số có $x = \frac{m}{2}$ là tiệm cận đứng

Để đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng thì $\frac{m}{2} = 1$

$\Rightarrow m = 2$

Vậy giá trị tham số là m = 2

Ví dụ 2: Cho hàm số $f(x) = y = \frac{mx + 9}{x + m}$ có đồ thị (C). Chọn khẳng định đúng sau đây? 

A. m = 3 thì đồ thị không có tiệm cận đứng. 

B. Đồ thị không có đường tiệm cận đứng khi m = –3.

C. Khi m ± 3 thì đồ thị có tiệm cận ngang y = m, tiệm cận đứng x = -m

D. Khi m = 0 thì đồ thị không có tiệm cận ngang.

Giải:

Xét: mx + 9 = 0. 

Với x = −m ta có: $-m^{2} + 9 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 3$ 

Ta thấy hàm số không có tiệm cận đứng và ngang với m = ±3. 

Khi m = ±3 hàm số có tiệm cận đứng x = m hoặc x = −m và tiệm cận ngang y = m
Hy vọng rằng qua bài viết trên đã hệ thống đầy đủ các phần kiến thức và bài tập kèm lời giải giúp các em tự tin hơn với bài toán tiệm cận đứng. Để tiếp cận và ôn luyện nhiều hơn các kiến thức toán 12 quan trọng, hãy truy cập ngay nền tảng Vuihoc.vn để để ôn tập nhiều hơn về các dạng toán khác nhé! Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt điểm số thật cao.