Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân & Bài Tập

Công thức cấp số cộng và cấp số nhân là nội dung bài học đòi hỏi các bạn học sinh cần ghi nhớ rõ để dễ dàng áp dụng vào bài tập. Đây cũng là dạng toán thường gặp trong kì thi đại học, vì vậy Vuihoc sẽ mang đến cho các em học sinh bài tổng hợp đầy đủ công thức về cấp số cộng cấp số nhân.

1. Cấp số cộng và cấp số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Trong chương trình toán THPT, cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện số thứ 2 của dãy số đó là tích của số đứng trước với 1 số không đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân. Từ đó ta có định nghĩa về cấp số nhân như sau:

  • Un là cấp số nhân tương đương với un+1=un.q, trong đó n∈N

  • q là công bội và q được tính: $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ 

  • Số hạng tổng quát

Để có thể tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, chúng ta áp dụng công thức sau: 

un =u1. Qn-1

  • Tính chất của cấp số nhân 

Công thức cấp số cộng cấp số nhân và tính chất

  • Tổng n số hạng đầu

tổng n số hạng đầu công thức cấp số cộng và cấp số nhân

1.2. Cấp số cộng

Cấp số cộng được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn số đứng sau bằng tổng của số đứng trước với một số không đổi. Số không đổi này gọi là công sai.

Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ đó chúng ta có định nghĩa:

Un là cấp số cộng nếu: un + 1 = un + d

Trong đó có d là công sai = un + 1 – un

  • Số hạng tổng quát

Chúng ta tính được số hạng tổng quát bằng cách thông qua số hạng đầu và công sai có công thức như sau:

un = u1 + (n – 1)d

  • Tính chất cấp số cộng

7qOQYNQiPKruHR62lIbXXuSVChKEZfnVQvvIxnBXFR2enqY3jGFBzRoIwvRmG3yV4DZmJyO uTaWSMchmnmbgBf5y9bgcxLiq YVsXwMiLXy7k46Y1Tqq9 3YrYf eD4ogsbq7Ce

  • Tổng n số hạng đầu

Tổng n số hạng đầu công thức cấp số cộng và cấp số nhân

2. Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Công thức cấp số nhân cấp số cộng rất dễ ghi nhớ. Đây là các công thức có liên quan tới giá trị đặc trưng của 2 dạng dãy số này. 

2.1. Công thức cấp số cộng

  • Công thức cấp số cộng tổng quát:

un = um + (n-m)d

Từ công thức tổng quát trên ta suy ra số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề nó.

$u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, \forall k \geq 2$

Ví dụ: Số hạng thứ 2 của cấp số cộng là bao nhiêu biết số hạng thứ 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức ta có số hạng thứ 2 của cấp số cộng là:

Ví dụ giải công thức cấp số cộng và cấp số nhân

  •  Chúng ta có 2 công thức để tính tổng n số hạng đầu đối với cấp số cộng. Ta có:

$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}u_{k}=\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng biết cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2. 

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

cấp số cộng và cấp số nhân

​​2.2. Công thức cấp số nhân

  • Ta xét các cấp số nhân mà số hạng đầu và công bội khác 0. Điều đó có nghĩa tất cả các số hạng của cấp số nhân khác 0. Ta có công thức cấp số nhân:

un=um.qn-m

Ví dụ: Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân

Giải:

Áp dụng công thức ta có:

Giải bài tập công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Từ công thức trên ta suy ra được các công thức:

Công thức cấp số cộng và cấp số nhân

  • Tổng n số hạng đầu cấp số nhân được tính theo công thức:

$S_{n}=\sum{k=1}^{n}=u_{1}.\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức ta có:

Giải bài tập ví dụ công thức cấp số cộng và cấp số nhân

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập

3. Một số bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân (kèm lời giải chi tiết)

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết rằng tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng đó lần lượt là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này ta có:

Bài tập công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Kết luận bốn số chúng ta cần tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cấp số cộng:

bFgy7eLAQGsVf5U0BZokJeBrUwn418ilVcH2pOlI uKHAFG8lZ1QesKnDZis2sf0qjOuiKWoVP60Wcqhtv tWGRBcQs11rTL0I87d69fRVttlswSbsdwoum u66C QRZvW8ecwwh

Hãy tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, chúng ta có: 

Bài tập giải công thức cấp số cộng và cấp số nhân

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cấp số cộng 

kcqsh57tSk8lcq HXmPrKgxgav9tac1KyU BeM9O721zL7kC 0 Q3iu Ep4cmyG26p8ynu8cQ7WX8Z5wQ19tCpajnwyIMxo4toI2o6m2d7CFSHZXGL6AKJ4nTKHeQ0HRcw D NIn

Hãy tính công sai, công thức tổng quát cấp số cộng đã cho.

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có: 

Phương pháp giải công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Công sai của cấp số cộng trên d=3, số hạng tổng quát là un=u1+(n-1)d=3n-2

Bài 4: Cho cấp số cộng 

TKi2TcMHzAPOzPiTdPd5ZsQPD3G YDAkIvePc2NiBsHMvDUrqaSKwBNVV55yro4q

Hãy tính S = u1 +u4+u7+…+u2011?

Giải: 

Ta có các số hạng u1, u4,u7 ,…,u2011 lập được thành một cấp số cộng bao gồm 670 số hạng và có công sai d’ = 3d. Do đó ta có: 

Ví dụ công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 5:  Cho cấp số cộng hãy xác định công sai và công thức tổng quát:

bD9

Giải: 

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

Ví dụ bài tập công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát: geMJo7hJVAmONiY WT4HMCwjLNqPsikGiP2dFRJaXJKfgBduK

Bài 6: Cấp số nhân (un) có các số hạng khác 0 hãy tìm u1 biết rằng:

h9sRmGovm00VMeAY4xbWUvBxTSwMZiAjsWHm7PqbS1VZ Awbzr4uoqcrPLW74lj2NkXZuf9bfcHev4PBaEO4FWiY5DY4OcFCiRmtlhJ8V

Giải:

Ví dụ bài tập công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Kết luận u1=1, u1=8

 Bài 7: Cho cấp số nhân sau:

rNDkR630m0kwYtQLenEpHiofgtzsXwtGo7u8FaGtnI7YEQtcGABp7lDJ8UuTfCjCMCLhRshdtsQCWt bADDGPs39aq3OKAvzGpKUzqenf dWKT5QBCVgglImHPzVABEqYpKr0kF9

5 số hạng đầu của cấp số nhân là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cấp số. Theo giải thiết chúng ta có:

Ví dụ bài tập công thức cấp số cộng và cấp số nhân

5 số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là u1=2, u2=23, u3=29, u4=27, u5=281

Bài 8: Cho cấp số nhân sau:

rNDkR630m0kwYtQLenEpHiofgtzsXwtGo7u8FaGtnI7YEQtcGABp7lDJ8UuTfCjCMCLhRshdtsQCWt bADDGPs39aq3OKAvzGpKUzqenf dWKT5QBCVgglImHPzVABEqYpKr0kF9

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân?

Giải:

Ví dụ công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 9: Cho cấp số nhân thỏa mãn ww32QH Pvjisomksx3zmMaK0XE2u8dFK9ZFaiI4diDy5ibNdvfUyLvrfZ6 qElDbfKEIrJTFeJsOWrQxAjg rJQcOr1QyG0nbVG99zDfabAsmesoWCn0m0jswKKHoScV1zjp9AaV

Công bội và công thức tổng quát của cấp số nhân là?

Giải:

Phương pháp giải công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Hy vọng các công thức cấp số cộng và cấp số nhân mà VUIHOC mang đến phần nào giúp các bạn ghi nhớ hiệu quả và và hạn chế sai sót trong quá trình giải bài tập cấp số cộng, cấp số nhân. Các bạn học sinh hãy đăng ký khóa học dành cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT trên Vuihoc.vn nhé! Chúc các bạn ôn thi thật hiệu quả.

c0ce 15 12 banner web 700x200 6 282 29

>> Xem thêm: Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia