Tổng hợp công thức môn kinh tế lượng KTL – KINH TẾ LƢỢNG CƠ BẢN – BASIC ECONOMETRICS Bài Mở Đầu 1. – StuDocu

KINH TẾ LƢỢNG CƠ BẢN – BASIC ECONOMETRICS

Bài Mở Đầu

1. Khái niệm về Kinh tế lƣợng (Econometrics)

  • Econo + Metric
    Khái niệm : KTL nghiên cứu những mối quan hệ Kinh tế Xã hội; thông qua việc xây dựng,
    phân tích, đánh giá các mô hình để cho ra lời giải bằng số, hỗ trợ việc ra quyết định.
  • KTL sử dụng kết quả của :
  • Lý thuyết kinh tế
  • Mô hình toán kinh tế
  • Thống kê, xác suất

2. Phƣơng pháp luận

2. Đặt giả thiết về vấn đề nghiên cứu
– Xác định phạm vi, bản chất, tính chất của các đối tượng và mối quan hệ giữa
chúng.
2. Xây dựng mô hình phù hợp

  • Xác định mô hình lý thuyết kinh tế hợp lý.
  • Xây dựng mô hình toán kinh tế :
  • Mỗi đối tượng đại diện bởi một hoặc một số biến số.
  • Mỗi mối quan hệ: Phương trình, hàm số, bất phương trình…
  • Giá trị các tham số : cho biết bản chất mối quan hệ.
    2. Thu thập số liệu và ước lượng tham số
  • Số liệu được dùng : từ thống kê.
  • Bằng phương pháp cụ thể : ước lượng các tham số.
    Với bộ số liệu xác định và phương pháp cụ thể, kết quả ước lượng là những con số
    cụ thể.
    2. Kiểm định
  • Bằng phương pháp kiểm định thống kê: kiểm định giá trị các tham số, bản chất
    mối quan hệ
  • Kiểm định tính chính xác của mô hình.
  • Nếu không phù hợp : quay lại các bước trên.
  • Biến đổi, xây dựng mô hình mới để có kết quả tốt nhất.
    2. Dự báo
  • Dựa trên kết quả được cho là tốt : dự báo về mối quan hệ, về các đối tượng trong
    những điều kiện xác định.
  • Đánh giá quyết định.

3. Số liệu dùng trong KTL

3. Phân loại
– Số liệu theo thời gian.
– Số liệu theo không gian.
– Số liệu chéo
3. Nguồn gốc

  • Điều tra
  • Mua
  • Từ nguồn được phát hành : Niên giám thống kê
    3. Tính chất của số liệu
  • Số liệu ngẫu nhiên phi thực nghiệm.
  • Phù hợp mục đích nghiên cứu.

 2 =

X

EY X

 ( / ): hệ số góc ( slope coefficient )

 PRF cho biết quan hệ giữa biến phụ thuộc và biến giải thích về mặt trung bình
trong tổng thể.
2. Phân loại
Hàm hồi qui tổng thể được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính với tham số.
2. Yếu tố ngẫu nhiên

  • Giá trị cụ thể Yi  ( Y/Xi ), thông thường Yi ≠ E ( Y/Xi )
  • Đặt ui = Yi – E ( Y/Xi ) : là yếu tố ngẫu nhiên (nhiễu, sai số ngẫu nhiên: random
    errors )
  • Tính chất của YTNN : + Nhận những giá trị dương và âm.
  • Kì vọng bằng 0: E ( ui ) = 0  i
    Bản chất của YTNN : đại diện cho tất cả những yếu tố không phải biến giải thích
    nhưng cũng tác động tới biến phụ thuộc:
  • Những yếu tố không biết.
  • Những yếu tố không có số liệu.
  • Những yếu tố mà tác động của nó quá nhỏ không mang tính hệ thống.

3. Mô hình hồi qui mẫu

  • Không biết toàn bộ Tổng thể, nên dạng của PRF có thể biết nhưng giá trị  j thì không
    biết
    .
  • Mẫu : một bộ phận mang thông tin của tổng thể.
  • W = {( Xi, Yi ) , i = 1 ÷ n } được gọi là một mẫu kích thƣớc n , n quan sát ( observation ).
    3. Hàm hồi qui mẫu (SRF : Sample Regression Function )
    Trong mẫu W , tồn tại một hàm số mô tả xu thế biến động của biến phụ thuộc theo
    biến giải thích về mặt trung bình, Y ˆ= f ˆ( X ) gọi là hàm hồi qui mẫu (SRF).
    Hàm hồi qui mẫu có dạng giống hàm hồi qui tổng thể

Nếu PRF có dạng E ( Y/Xi ) =  1 +  2 Xi

Thì SRF có dạng Y ˆ i = ˆ 1 + ˆ 2 Xi

  • Vì có vô số mẫu ngẫu nhiên, nên có vô số giá trị của ˆ 1 và ˆ 2  ˆ j là biến ngẫu
    nhiên.
  • Với một mẫu cụ thể w kích thước n , ˆ j sẽ là con số cụ thể.

3. Phần dƣ
Thông thường Yi ≠ Y ˆ i , đặt ei = Yi – Y ˆ i và gọi là phần dƣ ( residual ).
Bản chất của phần dư ei giống yếu tố ngẫu nhiên ui

Y ˆ i , ˆ 1 ,ˆ 2 , ei là ước lượng điểm tương ứng của E ( Y/Xi ) ,  1 ,  2 , ui.

Tóm tắt chƣơng

E ( Y/Xi ) =  1 +  2 Xi

Yi =  1 +  2 Xi + ui

Y ˆ i = + Xi
Yi = + Xi + ei

Trƣờng hợp tổng quát

E ( Yi ) =  1 +  2 X 2 i +  3 X 3 i + … +  kXki

Yi =  1 +  2 X 2 i +  3 X3i + … +  kXki + ui

Y ˆ i = + X 2 i + ˆ 3 X 3 i + … + ˆ kXki

Yi = + X 2 i + ˆ 3 X 3 i + … + ˆ kXki + ei

ˆ 1 ˆ 2

ˆ 1 ˆ 2

ˆ 1 ˆ 2

ˆ 1 ˆ 2

Phương sai : 2
2
1

2
(ˆ 1 ) 1 
i

n
i

i

n
i
n x

X
Var



 ; 2
2
1

2

(ˆ ) 1 

i

n
i x

Var


Độ lệch chuẩn : Se (ˆ j ) = Var (ˆ j ) ( j = 1,2 )
Hiệp phương sai : Cov ( , ˆ ˆ 1 2 ) XVar ( )ˆ 2.

Với  2 là phương sai yếu tố ngẫu nhiên chưa biết, ước lượng bởi ˆ 2 : ˆ 2 =

n k

ei

n
i

 1 2

với k là số tham số cần phải ƣớc lƣợng của mô hình.
ˆ= ˆ 2 là độ lệch chuẩn của đƣờng hồi qui : ( Se. of Regression )

3. Phân tích các hệ số

Giả thiết : YTNN có phân phối chuẩn : ui  N(0 ;  2 )  i, khi đó:

 N( j ; Var ( ));

22
2

()ˆ
nk   () nk

  ; 2

YiiN (   12  X , ).

3. Ƣớc lƣợng khoảng

Với độ tin cậy (1 –  ) cho trước, ta có

i. Khoảng tin cậy cho các hệ số hồi quy

KTC đối xứng : – Se ( ) t  / 2 ( n – k ) <  j < + Se ( ) t  / 2 ( n – k )

KTC tối đa:  j < + Se ( ) t ( n – k )

KTC tối thiếu: – Se ( ) t ( n – k ) <  j

iiảng tin cậy cho phƣơng sai yếu tố ngẫu nhiên

KTC 2 phía:
( )

ˆ ( )
2
2/

2
n k

n k




 <  2 <

( )

ˆ ( )
2
2/

2
n k

n k




KTC tối đa
2 2
12

ˆ ()
()

nk
 nk

 



 

KTC tối thiếu

22
2

ˆ ()
()

nk
 nk

 

 

3. Kiểm định giả thiết

Với mức ý nghĩa  cho trước

i. Kiểm định giả thiết cho các hệ số hồi quy
Cặp giả thiết Tiêu chuẩn kiểm định Miền bác bỏ H 0






*
1

0 *
H :

H :
j j

j j
 

 

 Tqs  > t  / 2 ( n – k )






*
1

0 *
H :

H :
j j

j j
 

 

Tqs =
(ˆ)

ˆ *

j

j j
Se 

 

Tqs > t ( n – k )

ˆ j ˆ j

ˆ j ˆ j ˆ j ˆ j
ˆ j ˆ j
ˆ j ˆ j






1 *

  • 0
    H :

H :
j j

j j
 

 

Tqs < – t ( n – k )

Trường hợp đặc biệt



H : 0

H : 0
1 2

0 2

 Tqs =
(ˆ)

ˆ 2
Se  j

*** Dùng** P value 
H 1 : jj  *   P value P t t  () qs
H 1 : jj  *   P value P t t  () qs
H 1 : jj  *   P value  2 ( P t | tqs |)
Nếu P value  thì bác bỏ giả thiết H 0
Nếu P value  thì chưa có cơ sở bác bỏ giả thiết H 0.
iiểm định giả thiết cho phƣơng sai yếu tố ngẫu nhiên

Cặp giả thiết Tiêu chuẩn kiểm định Miền bác bỏ H 0
0022
1022

H:
H:





 
 

22 s 1 / 2
22 s / 2

()
()

q
q

nk
nk






 
 

0022
1022

H:
H:





 
 

2 2
s 2
0

()ˆ
q
 nk 

  22

 q s() nk
22
00
22
10

H:
H:






22

 q s1() nk

Chú ý
+) Giả thiết
H 0 bao giờ cũng chứa dấu “=”.
+) Chú ý khi tìm khoảng tin cậy và xây dựng cặp giả thiết với các hệ số
 j âm.

4. Sự phù hợp của hàm hồi qui

4. Hệ số xác định R 2



 

 

 

e Y Y

y Y Y

y Y Y

i i

i i

i i

ˆ

ˆ ˆ yi = y ˆ i + ei ; Và chứng minh được   

  

 

n
i

n
i

n
i i i i

y y e
1

2
1

2
1

2 ˆ

TSS = ESS + RSS

TSS ( Total Sum of Squares ) : đo tổng biến động của biến phụ thuộc
ESS ( Explained Sum of Squares ): tổng biển động của biến phụ thuộc được giải thích
bởi mô hình ( biến giải thích.).
RSS ( Residual SS ) : tổng biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi các yếu
tố nằm ngoài mô hình – Yếu tố ngẫu nhiên.
Đặt R 2 =
TSS

RSS
TSS

ESS  1  gọi là hệ số xác định , 0  R 2  1

Chƣơng 3. MÔ HÌNH HỒI QUI BỘI

1. Mô hình

Mô hình hồi qui trong đó biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào k – 1 biến giải thích X 2 , .. ,Xk có
dạng

E ( Yi ) =  1 +  2 X 2 i +  3 X 3 i + … +  kXki (1)

Yi =  1 +  2 X 2 i +  3 X3i + … +  kXki + ui (2)

Với mẫu W = {( X 2 i, X 3 i,…,Xki, Yi ); i = 1  n }, SRF có dạng

Y ˆ i= + X 2 i + ˆ 3 X 3 i + … + ˆ kXki (3)
Yi = + X 2 i + ˆ 3 X 3 i + … + ˆ kXki + ei (4)

*** Dạng ma trận**

Y 1 =  1 +  2 X 21 + …+  kXk 1 +

u 1

Y 2 =  1 +  2 X 22 + …+  kXk 2 +

u 2

Yn- 1 =  1 +  2 X 2 n- 1 + … +  kXkn- 1 +

un- 1

Yn =  1 +  2 X 2 n + …+  kXkn +

un






   
n

n
k
n kn

n kn

k

k

n

n
u

u

u

u

X X

X X

X X

X X

Y

Y

Y

Y

1

2

1

2

1

2

12 1

22 2

21 1

1

2

1


1 …

1 …

… … … …

1 …

1 …

Y (n1) = X (nk)  (k1) +
U (n1)

Y = X  + U  E ( Y ) = X 

Tương tự, đặt Y ˆ=






n

n
Y

Y

Y

Y

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

2

1

; β ˆ=

 k

ˆ

ˆ

ˆ
2

1
; e =


n

n
e

e

e

e

1

2

1

… , thì
Y ˆ= ˆ
Y = Xβ ˆ + e

2. Phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất

2 .1. Phƣơng pháp

Tìm β ˆ sao cho 1 i 2

n

 i  e = e’e  min  ( Y – Xβ

ˆ)’ ( Y – Xβ ˆ)  min  X’Xβ ˆ = X’Y

Nếu tồn tại ( X’X )-1 thì β ˆ= ( X’X )-1 X’Y
2 .2. Các giả thiết

Gt1 : X là phi ngẫu nhiên
Gt2 : E ( U ) = 0

Gt3 : Var ( ui ) =  2  i

Gt4 : Cov ( ui, uj ) = 0  i ≠ j  Cov ( U ) =  2 I ( I : ma trận đơn vị)

Gt5 : Cov ( ui, Xi ) = 0  i

ˆ 1 ˆ 2

ˆ 1 ˆ 2






1 *

  • 0
    H :

H :
j j

j j
 

 

Tqs < – t ( n – k )


 

 
a

a
i j

i j
 

 

H :

H :
1

0 Tqs =
(ˆ ˆ )

ˆ ˆ

i j

i j
Se

a
 

 

 
 Tqs  > t  / 2 ( n – k )

iiểm định giả thiết cho phƣơng sai yếu tố ngẫu nhiên

Cặp giả thiết Tiêu chuẩn kiểm định Miền bác bỏ H 0
22
00
1022

H:
H:





 
 

22 s 1 / 2
22 s / 2

()
()

q
q

nk
nk






 
 

0022
1022

H:
H:





 
 

2 2
s 2
0

()ˆ
q
 nk 

  22

 q s() nk
22
00
22
10

H:
H:






22

 q s1() nk

4. Sự phù hợp của hàm hồi qui

4 .1. Hệ số xác định

R 2 =
TSS

ESS

Cho biết tỉ lệ sự biến động của biến phụ thuộc được giải thích bởi tất cả các biến
giải thích có trong mô hình.
Hệ số xác định bội điều chỉnh
 R 2 = 1 – (1 – R 2 )
n k

n

 1  R 2 < R 2

4 .2. Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi qui



H : 0

H : 0
1 2

0 2
R

R 


  

  
H : (:0 )

H : … 0
1

0 2
j j

k

 

Fqs =
/( ) 1 1

/( )
2

2

 



k

n k
R

R
RSS n k

ESS k

Fqs > F ( k – 1; n – k ) thì bác bỏ H 0 : hàm hồi qui là phù hợp
4 .3. Kiểm định thu hẹp hồi qui
Nghi ngờ m biến giải thích Xk-m +1,…, Xk không giải thích cho Y


     

    
H : (:0 1 )

H : … 0
1

0 1 2
j j k m k

mk mk k

  

E ( Y/X 2 ,..,Xk – m,..,Xk ) =  1 +  2 X 2 + … +  kXk (L)

E ( Y/X 2 ,…, Xk – m ) =  1 +  2 X 2 + … +  kXk – m (N)

Fqs =
m

n k
R

R R
m

n k
RSS

RSS RSS
L

N L  

    
L 2

L 2 N 2
1
Fqs > F ( m, n – k ) bác bỏ H 0

  • Trường hợp m = 1: Fqs = ( Tqs ) 2 với Tqs ứng với hệ số duy nhất cần kiểm định.
  • Trường hợp m = k – 1 : Fqs trong kiểm định thu hẹp chính là Fqs trong kiểm định sự
    phù hợp.

5. Dự báo

i. Dự báo giá trị trung bình
Y ˆ 0 – Se ( Y ˆ 0 ) t  / 2 ( n – k ) < E ( Y/ X

0 ) <

Y ˆ 0 + Se ( Y ˆ 0 ) t  / 2 ( n – k )
Với Y ˆ 0 = X 0 ’β ˆ và Se ( Y ˆ 0 ) = ˆ X 0 '(X'X)  1 X 0
ii. Dự báo giá trị cá biệt
Y ˆ 0 – Se ( Y 0 ) t  / 2 ( n – k ) < Y 0 < Y ˆ 0 + Se ( Y 0 ) t  / 2 ( n – k )
Với Se ( Y 0 ) = ˆ 1X 0 '(X'X)  1 X 0

6. Một số mô hình Kinh tế

6 .1. Hàm thu nhập – chi tiêu
6 .2. Hàm cầu
6. Hàm chi phí – sản lƣợng
6 .4. Hàm mũ – Hàm Loga tuyến tính

Mô hình kinh tế có dạng Y =  0 X 2  2 X 3  3

 lnY = ln  0 +  2 lnX 2 +  3 lnX 3

Xét mô hình LY =  1 +  2 LX 2 +  3 LX 3 + v

 E ( Y / X 2 , X 3 ) = e  1 X 2  2 X 3  3

 1 : E ( Y/X 2 = X 3 = 1) = e  1

 2 =  E(Y)/X 2 : Khi X 2 thay đổi 1%, yếu tố khác không đổi, thì E ( Y ) thay đổi  2

%

Ví dụ mô hình : E ( Q ) = e  1 K  2 L  3
6. Hàm chi phí – lợi ích
6. Hàm phân tích xu thế

Chƣơng 4. MÔ HÌNH VỚI BIẾN GIẢ

1. Biến định tính – biến giả

1. Biến định tính
– Có những yếu tố mang tính định tính ( qualitative ) tác động đến biến phụ thuộc
+ Chỉ có một số trạng thái xác định
+ Một cá thể chỉ ở trong một trạng thái, rất khó chuyển sang trạng thái khác
+ Không có đơn vị
– Miêu tả biến định tính bằng biến giả
1. Biến giả
VD: Thu nhập có phụ thuộc giới tính?
Y : thu nhập

D =


0

1
Nếu quan sát là Nam
Nếu quan sát là Nữ

Mô hình : E ( Y/D ) =  1 +  2 D

Thu nhập trung bình của nam E ( Y/D = 1) =  1 +  2

Thu nhập trung bình của nữ E ( Y/D = 0) =  1

Nếu  2 ≠ 0 thì TN trung bình có phụ thuộc giới tính

Biến D đặt như trên là biến giả ( dummy variable ).
1. Qui tắc đặt biến giả
– Biến giả chỉ nhận giá trị 0 và 1
– Cá thể nào cũng phải có giá trị của biến giả
– Biến giả phân chia tổng thể thành những phần riêng biệt
 Khi biến định tính có m trạng thái

2. Mô hình có biến giải thích chỉ là biến định tính

2. Một biến định tính

2. Hai biến định tính

VD : Thu nhập trung bình có khác nhau giữa lao động thành thị và nông thôn, nam
và nữ?

3. Mô hình có biến giải thích là định tính và định lƣợng

Xét mô hình tuyến tính Y phụ thuộc vào X có hệ số chặn có dạng:
E ( Y ) = hsc + hsg
Biến định tính có hai trạng thái A 1 và A 2.

D =



1

1
0 quan sát A

1 quan sát A

3. Biến định tính tác động đến hệ số chặn

E ( Y/X, D ) =  1 +  2 X +  3 D

3. Biến định tính tác động đến hệ số góc

E ( Y/X, D ) =  1 +  2 X +  3 DX

3. Tác động đến cả hai hệ số

E ( Y/X, D ) =  1 +  2 X +  3 D +  4 DX


 

 
H : 0

H : 0
1 32 42

0 3 4
 

 

Hàm hồi qui đồng nhất trong hai trạng
thái
Hàm hồi qui không đồng nhất

3. Kiểm định Chow
Kiểm định về sự đồng nhất của hàm hồi qui.

Toàn bộ tổng thể E ( Y ) =  1 +  2 X

Trong A 1 : E ( Y ) =  1 ’ +  2 ’X

Trong A 2 : E ( Y ) =  1 ” +  2 ”X


H :

H :
1

0 [ 1 ’ =  1 ” =  1 ] và [ 2 ’ =  2 ” =  2

]

[ 1 ’ ≠  1 ” ] hoặc [ 2 ’ ≠  2 ” ]

Hàm hồi qui đồng nhất trong hai trạng thái
Hàm hồi qui không đồng nhất

Lấy mẫu W 1 kích thước n 1 trong A 1 , hồi qui MH thu được RSS 1
Lấy mẫu W 2 kích thước n 2 trong A 2 , hồi qui MH thu được RSS 2
Với mẫu W = W 1  W 2 kích thước n 1 + n 2 , hồi qui thu được RSS
Đặt RSS= RSS 1 + RSS 2_._

Fqs =
k

n n k
RSS

RSS  RSS  1  2  2 Nếu F
qs > F ( k ; n 1 + n 2 – 2 k ) : bác bỏ

H 0
Fqs này và Fqs trong kiểm định biến giả sẽ bằng nhau.

4. Hồi qui tuyến tính từng khúc

Hàm hồi qui tuyến tính gấp khúc tại điểm X = X*

D =



*

  • 0 :

1 :
X X

X X

E ( Y/X, D ) =  1 +  2 X +  3 ( X – X* ) D

4. Phát hiện

4 .1. Sự mâu thuẫn giữa kiểm định T và F

  • Kiểm định F không có ý nghĩa, một kiểm định T về các hệ số góc có ý nghĩa.
    • Kiểm định F có ý nghĩa, tất cả các kiểm định T về các hệ số góc không có ý nghĩa.
       có Đa cộng tuyến. Điều ngược lại chưa chắc đúng.

4 .2. Hồi qui phụ

Nghi ngờ biến giải thích Xj phụ thuộc tuyến tính vào các biến giải thích khác, dùng
mô hình hồi qui phụ ( auxilliary regression )

Xj =  1 +  2 X 2 + … +  j-1Xj – 1 +  j+ 1 Xj+ 1 + … + v (*)



H : 0

H : 0
2
1 *

0 * 2
R

R Mô hình ban đầu không có Đa cộng tuyến
Mô hình ban đầu có Đa cộng tuyến

 F qs =
1 * 1
2 *
*

2
*

 
 k

n k
R

R ; F

qs > F ( k* – 1 , n – k* ) thì bác bỏ H 0.

Có thể dùng kiểm định T có các hệ số tương ứng.
(* Có nhiều hồi qui phụ để kiểm định cho hiện tượng Đa cộng tu ến )

4. Độ đo Theil

Dùng để so sánh mức độ đa cộng tuyến không hoàn hảo giữa các mô hình
Khi bỏ biến Xj ra khỏi mô hình, hồi qui thu được R 2 – j

m = R 2 – ( 2 )
2

2
j

k
j

R R 



 được gọi là độ đo Theil

5. Khắc phục

  • Bỏ bớt biến
  • Lấy thêm mẫu
  • Đổi dạng của mô hình