Tổng hợp công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, xác xuất, và nhị thức Newton

Công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, xác xuất, và nhị thức newton là kiến thức lớp 11. Đây là kiến thức quan trọng mà bất kể các em học sinh chuyên toán hay không chuyên đều phải biết, bởi nó sẽ có trong đề thi THPT. Nhưng vẫn có rất nhiều em còn chưa nắm vững kiến thức này. Do vậy, bài viết hôm nay Góc Hạnh Phúc sẽ tổng hợp toàn bộ kiến thức về tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, xác xuất , nhị thức newton và ví dụ minh họa để các em nắm vững kiến thức, dễ dàng giải quyết những bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Công thức tổ hợp

Tổ hợp là cách chọn lựa những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Hoặc tổ hợp chập k của n phần tử chính là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử. Phần tử con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp xếp theo đúng thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử bằng hệ số nhị thức.

Công thức tổ hợp là:

Từ công thức trên ta có thể khai triển hệ giai thừa là:

Trong đó: k ≤ n, và kết quả = 0 khi và chỉ khi k > n. Tập hợp tất cả những tổ hợp k của tập hợp s được ký hiệu là (S/k)

Ví dụ: Có 10 quyển vở ngữ văn khác nhau. Hãy chọn ra 4 quyển, hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Lời giải

Mỗi cách chọn ra 4 quyển trong 10 quyển vở ngữ văn là một tổ hợp chập 4 của 10. Vậy ta có:

Đáp số: Có 210 cách chọn.

Công thức chỉnh hợp

Chỉnh hợp là cách chọn lựa các phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt theo thứ tự sắp xếp, trái ngược so với tổ hợp là không phân biệt theo thứ tự sắp xếp.

Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n phần tử chính là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng thuộc S, có sắp xếp theo thứ tự.

Công thức chỉnh hợp là:

Ví dụ: Sắp xếp 5 người vào một lớp học có 7 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Lời giải

Mỗi cách chọn ra 5 người ngồi vào lớp học, để sắp sắp xếp 5 người vào đó và có hoán vị là một chỉnh hợp chập 5 của 7 ta có:

Đáp số: Có tổng là 2520 cách sắp xếp khác nhau.

Công thức hoán vị

Hoán vị là một song ánh từ một tập hợp hữu hạn X vào chính nó. Hoán vị diễn tả ý tưởng rằng các đối tượng phân biệt có thể được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

Theo định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Công thức hoán vị là:

Ví dụ: Sắp xếp 5 người vào một lớp học có 5 ghế. Hỏi có nhiêu cách?

Lời giải

Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trong lớp học là 1 hoán vị ta có:

P5 = 5! = 120 cách

Đáp số: Có tổng 120 cách

Công thức xác xuất

Xác xuất chính là một số trong khoảng từ 0 đến 1. Trong đó, nói cách khác 0 biểu thị sự bất khả thi của sự kiện và 1 biểu thị của sự chắc chắn. Xác xuất càng cao thì khả năng  xảy ra càng cao.

Công thức xác xuất là:

Ví dụ: Tung đồng xu công bằng, không thiên vị. Bởi vì đồng xu công bằng nên cả 2 có kết quả sắp và ngửa nên có thể xảy ra ra trường hợp như nhau, xác xuất của sấp bằng xác xuất của ngửa. Vì không có kết quả nào khác có thể xảy ra, xác xuất xảy ra sấp hoặc ngửa là ½.

Công thức nhị thức Newton

Nhị thức newton là định lý toán học về việc khai triển hàm, mũ và tổng. Cụ thể là việc khai triển một nhị thức bậc n thành một đa thức n + 1 số hạng

Công thức nhị thức newton là:

Ví dụ: Tìm số hạng chứa x6 của đa thức P(x) = 25×6 + x3(1 + x)4

Lời giải

Theo công thức newton ta có:

• Số hạng chứa x6 trong 25×6 là 25×6
• Do k + 3 = 6 ↔ k = 3 nên số hạng chứa x6 trong x3(1 + x)4 chính là

→ Số hạng chưa x6 trong việc khai triển của P(x) là: 25×6 + 4×6 = 29×6

Trên đây là toàn bộ kiến thức, công thức tổ hợp, chỉnh hợp… Các em nhớ phải chăm chỉ làm bài tập để nhớ công thức được lâu hơn nhé. Ngoài ra, nếu trong khi học có khó khăn không giải đáp được hãy để lại bình luận bên dưới chúng tôi sẽ giúp các em giải đáp những thắc mắc đó.

Có thể bạn quan tâm: