Tổng hợp lý thuyết Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian hay, chi tiết nhất – Toán lớp 12

Tổng hợp lý thuyết Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Tổng hợp lý thuyết Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Dưới đây là phần tổng hợp kiến thức, công thức, lý thuyết Toán lớp 12 Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian ngắn gọn, chi tiết. Hi vọng tài liệu Lý thuyết Toán lớp 12 theo chương này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức môn Toán lớp 12.

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian

Bài giảng: Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian – Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

    Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→, j→, k→ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

    Chú ý: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Tọa độ của vectơ

    a) Định nghĩa: u→ = (x; y; z) ⇔ k→ = xi→ + yj→ + zk→

    b) Tính chất: Cho a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3), k ∈ R

    • a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3; )

    • ka→ = (ka1; ka2; ka3)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • 0→ = (0; 0; 0), i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)

    • a→ cùng phương b→ (b→0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

    • a→b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

3. Tọa độ của điểm

    a) Định nghĩa: M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→ (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

    Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

    • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .

    b) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

    • AB→ = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

4. Tích có hướng của hai vectơ

    a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ a→b→ kí hiệu là [a→, b→], được xác định bởi

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

    b) Tính chất:

    • [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→

    • [a→, b→] = -[b→, a→]

    • [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→

    • |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→) (Chương trình nâng cao)

    • a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

    c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

    • Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0

    • Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|

    • Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→|

    • Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D' : VABCD.A'B'C'D' = |[AB→, AD→].AA'→|

    • Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|

    Chú ý:

    – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

    – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

5. Phương trình mặt cầu

    a) Định nghĩa:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

    Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = {M|IM = R}

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    b) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

    c) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    * Lưu ý: Trong trường hợp Δ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

        + Xác định: d(I; Δ) = IH

        + Lúc đó:Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

    * Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng .

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    (S): x2 + y2 + z2 – 2ax -2by – 2cz + d = 0

    (α): Ax + By + Cz + D = 0

    * Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).

        + Tâm I' = d ∩ (α) .

    Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(α)

        + Bán kính Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    d) Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

        + Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R

        + Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I;(α)) = R

    * Lưu ý: Tìm tiếp điểm Mo(xo; yo; zo) .

    Sử dụng tính chất :Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

Bài giảng: Bài 2: Phương trình mặt phẳng – Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    • Vectơ n→0→ là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n→ vuông góc với mặt phẳng (α)

    • Chú ý:

    – Nếu n→ là một VTPT của mặt phẳng (α) thì kn→ cũng là một VTPT của mặt phẳng (α).

    – Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

    – Nếu u→, v→ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) thì n→ = [u→, v→] là một VTPT của (α)

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

    – Trong không gian Oxy , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

    Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0

    – Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là n→(A; B; C).

    – Phương trình mặt phẳng đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận vectơ n→(A; B; C) khác 0→ là VTPT là: A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 .

    • Các trường hợp riêng

    Xét phương trình mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0

    – Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    – Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

    – Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

    – Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    – Nếu A = B = 0, C ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

    – Nếu A = C = 0, B ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

    – Nếu B = C = 0, A ≠ 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Chú ý:

    – Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa trục tương ứng.

    – Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α): Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc ≠ 0.

III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

    • Trong không gian Oxyz, cho điểm Mo(xo; yo; zo) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

    Khi đó khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng (α) được tính:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

IV. Góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

    Góc giữa (α) và (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT nα→, nβ→. Tức là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài giảng: Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian – Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Phương trình đường thẳng:

    • Cho đường thẳng Δ đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận vectơ a→ = (a1; a2; a3) với a12 + a22 + a32 ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • Cho đường thẳng Δ đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận vectơ a→ = (a1; a2; a3) sao cho a1a2a3 ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

II. Góc:

1. Góc giữa hai đường thẳng:

    Δ1 có vectơ chỉ phương a1→

    Δ2 có vectơ chỉ phương a2→

    Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2. Ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

    Δ có vectơ chỉ phương aΔ→

    (α) có vectơ chỉ phương nα→

    Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ và α. Ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

III. Khoảng cách:

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ:

    Δ đi qua điểm Mo và có vectơ chỉ phương aΔ→

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

    Δ1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phươnga1→

    Δ2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a2→

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com