Tổng hợp lý thuyết mặt cầu – hình cầu – khối cầu là gì? công thức giải nhanh, thể tích, vị trí tương đối toán lớp 12

Mặt cầu – hình cầu – khối cầu là gì? Công thức giải nhanh,  thể tích, vị trí tương đối

1. Mặt cầu

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm $O$ cố định một khoảng $R$ không đổi gọi là mặt cầu có tâm là $O$ và bán kính bằng $R$. Kí hiệu: $S\left( O;R \right)=\left\{ M\left| OM=R \right. \right\}.$

2. Khối cầu

Mặt cầu $S\left( O;R \right)$ cùng với các điểm nằm bên trong nó được gọi là một khối cầu tâm $O$, bán kính $R$. Kí hiệu: $B\left( O;R \right)=\left\{ M\left| OM\le R \right. \right\}.$

Nếu $OA,OB$ là hai bán kính của mặt cầu sao cho $A,O,B$ thẳng hàng thì đoạn thẳng $AB$ gọi là đường kính của mặt cầu.

image1

Định lí: Cho điểm cố định A, B. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho $\widehat{AMB}={{90}^{0}}$ là mặt cầu đường kính AB .

+ $A\in S\left( O;R \right)\Leftrightarrow OA=R.$ 

+ $O{{A}_{1}}<R\Leftrightarrow {{A}_{1}}$ nằm trong mặt cầu.

+ $O{{A}_{2}}>R\Leftrightarrow {{A}_{2}}$ nằm ngoài mặt cầu.

3. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

C:\Users\PCHP~1\AppData\Local\Temp\FineReader12.00\media\image2.jpeg

Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện $\left( H \right)$ được gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện $\left( H \right)$ và khi đó $\left( H \right)$ được gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó là một đa giác nội tiếp một đường tròn.

Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp.

4. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

a. Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với với tất các mặt của hình chóp.

b. Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp.

5. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, gọi d là khoảng cách từ O đến  $\left( P \right)$ và H là hình chiếu vuông góc của O trên $\left( P \right)$. Khi đó

C:\Users\PCHP~1\AppData\Local\Temp\FineReader12.00\media\image3.jpeg

+  Nếu $d<R$ thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu $S\left( O;R \right)$theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ có tâm là H và có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}.$

Khi $d=0$ thì mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là dường tròn có tâm O và bán kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.

+ Nếu $d=R$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $S\left( O;R \right)$có một điểm chung duy nhất H.

Khi đó ta nói $\left( P \right)$ tiếp xúc với $S\left( O;R \right)$tại H và $\left( P \right)$ gọi là tiếp diện của mặt cầu, H gọi là tiếp diện.

Chú ý. Cho H là một điểm thuộc mặt cầu $S\left( O;R \right)$và mặt phẳng $\left( P \right)$qua H . Thế thì $\left( P \right)$tiếp xúc với $S\left( O;R \right)\Leftrightarrow OH\bot \left( P \right).$

+ Nếu $d>R$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $S\left( O;R \right)$ không có điểm chung.

6. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$ và đường thẳng $\Delta $. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên $\Delta $ và $d=OH$ là  khoảng cách từ O đến $\Delta $. Khi đó:

image4

 

  • Nếu $d<R$ thì $\Delta $ cắt $S\left( O;R \right)$tại hai điểm $A,B$ và H là trung điểm của AB.
  • Nếu $d=R$ thì $\Delta $ và $S\left( O;R \right)$ chỉ có một điểm chung H, trong trường hợp này $\Delta $ được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu $S\left( O;R \right)$ hay $\Delta $ tiếp xúc với $S\left( O;R \right)$và H là tiếp điểm.
  • Nếu $d>R$ thì $\Delta $ và $S\left( O;R \right)$ không có điểm chung.

7. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Gọi R là bán kính của mặt cầu thì

  • Diện tích mặt cầu: $S=4\pi {{R}^{2}}.$
  • Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{2}}.$

8. Một số công thức tính nhanh bán kính đường tròn ngoại tiếp

Tam giác đều cạnh $a\xrightarrow{{}}R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Hình vuông cạnh $a\xrightarrow{{}}R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$Tam giác vuông cạnh huyền $b\xrightarrow[{}]{}R=\frac{b}{2}$Hình chữ nhật đường chéo$d\xrightarrow[{}]{}R=\frac{d}{2}$Tam giác vuông cân cạnh $a\xrightarrow{{}}R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$Định lí hàm sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$Tam giác ba cạnh $a,b,c\xrightarrow{{}}R=\frac{abc}{4S};$ với $S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$và $p=\frac{a+b+c}{2}.$